R´eduire le bruit d’intensit´e d’un laser

Le principe de l’asservissement consiste `a faire passer le faisceau `a travers un modula-teur ´electro-optique suivi d’un polariseur, l’ensemble se comportant alors comme une lame s´eparatrice `a transmission variable, pilotable par la tension appliqu´ee au modulateur. L’as-servissement mesure l’intensit´e transmise et ajuste la tension appliqu´ee en cons´equence, de fa¸con `a ´eliminer les fluctuations d’intensit´e. On ne peut toutefois pas mesurer l’int´egralit´e de l’intensit´e transmise puisque cela nous priverait d’un faisceau utilisable. On est donc amen´e `

a pr´elever une partie du faisceau `a l’aide d’une seconde lame s´eparatrice, comme le montre la figure 4.11.

Fig. 4.11 –Le principe de l’asservissement d’intensit´e.

L’intensit´e I_m mesur´ee par la photodiode est compar´ee `a une valeur de r´ef´erence I<sub>ref</sub> qui est ajust´ee pour avoir l’intensit´e desir´ee en sortie. Le signal d’erreur ǫ = Im− Iref est amplifi´e puis envoy´e sur le modulateur ´electro-optique de fa¸con `a modifier sa transmission t₀. On va chercher `a d´eterminer l’effet de l’asservissement sur le bruit d’intensit´e du faisceau, en tenant compte des bruits quantiques. On se place pour cela autour du point de fonctionnement, o`u la transmission a une valeur moyenne t₀ telle que l’intensit´e mesur´ee I_m soit ´egale `a I_ref. La transmission instantan´ee du modulateur s’´ecrit alors :

t₀(t)/t₀ = 1 + Z ∞

−∞

o`u δpm est la quadrature d’amplitude mesur´ee par la photodiode, et g est une fonction de transfert suppos´ee causale (g(τ ) = 0 pour τ < 0) qui inclut la r´eponse de l’´electronique, de la photodiode et de l’´electro-optique. α_m est le champ moyen incident sur la photodiode de mesure.

Bruit d’intensit´e en sortie

On peut ´ecrire les relations temporelles d’entr´ee-sortie sur les lames :

α = t₀αⁱⁿ+ r₀α₁ α^out = tα + rα₂

αm = −rα + tα2. (4.3)

Les champs α_i repr´esentent les fluctuations du vide coupl´ees aux champs par le modulateur et la lame. A partir de ces ´equations, on trouve simplement que les champs moyens sortant α^out et mesur´e αm sont ´egaux au champ incident att´enu´e par les deux lames :

α^out= t₀t αⁱⁿ, α_m= −t0r αⁱⁿ. (4.4)

Les ´equations (4.2) et (4.3) permettent de relier entre elles les fluctuations d’amplitude δp[Ω] des diff´erents champs :

δp = t₀ δpⁱⁿ+ r₀δp₁+ t₀αⁱⁿα_mgδp_m δp^out = t δp + r δp₂

δp_m = −r δp + t δp2, (4.5)

o`u le dernier terme dans l’´equation de δp[Ω] repr´esente le seul effet correctif de l’asservisse-ment, d´eduit de (4.2). En ´eliminant les termes en δp dans ces ´equations, on obtient finalement les spectres de bruit d’intensit´e Sm

p et Sout

p des faisceaux mesur´es sur la photodiode et sortant :

|1 + G[Ω]|²S^m_p [Ω] = 1 + r²t²₀ Qⁱⁿ(Ω) (4.6)

|1 + G[Ω]|²Q^out[Ω] = t²t²₀ Qⁱⁿ(Ω) + ^t

2

r2|G[Ω]|², (4.7)

o`u G[Ω] = rt₀αⁱⁿα_mg[Ω] est le gain global de l’asservissement, et Qⁱⁿ, Q^out les facteurs de Mandel des faisceaux entrant et sortant, d´efinis par :

S_p[Ω] = 1 + Q[Ω]. (4.8)

Le facteur de Mandel correspond `a l’´ecart entre le bruit du faisceau et le bruit de photon stan-dard. Il repr´esente de ce fait le bruit classique d’intensit´e du faisceau [43]. Sans asservissement, c’est-`a-dire pour G = 0, on obtient

Q^out[Ω] = t²t₀²Qⁱⁿ[Ω]. (4.9)

On trouve la relation usuelle pour la travers´ee de deux lames de transmission t₀ et t : le facteur de Mandel est r´eduit dans les mˆemes proportions que l’intensit´e moyenne (´equation 4.4).

4.3. R ´EDUCTION DU BRUIT D’INTENSIT ´E DU LASER 107

Fig.4.12 –Bruit d’intensit´e Sout

p en sortie en fonction du bruit classique incident Qin, pour des gains nul, infini et optimum.

Si on applique maintenant un gain infini, on peut r´eduire les fluctuations dans la voie de mesure jusqu’`a z´ero, comme l’indique l’´equation (4.6). Formellement, le faisceau de mesure pr´esente alors des fluctuations d’intensit´e inf´erieures au bruit de photon standard ; cependant, ce faisceau est inexploitable car il est enti`erement d´etruit au niveau de la photodiode. L’ab-sence de bruit dans la voie mesur´ee par la photodiode ne se traduit malheureusement pas par une absence de bruit dans la voie de sortie, puisqu’on y retrouve alors l’int´egralit´e du bruit de r´epartition produit par la lame s´eparatrice. L’´equation (4.7) avec G infini donne en effet un facteur de Mandel Qout = t2/r2 non nul, ou encore un bruit d’intensit´e Sout

p = 1/r2 toujours sup´erieur `a 1.

Entre les deux situations pr´ec´edentes, on peut trouver un compromis permettant une r´eduction optimale du bruit en sortie. Pour un bruit classique incident Qⁱⁿ donn´e, la valeur optimale r´esulte d’un compromis entre l’att´enuation par l’asservissement de ce bruit (premier terme dans l’´equation 4.7), et la contamination par le bruit de r´epartition amplifi´e par l’as-servissement (second terme dans l’´equation 4.7). Le gain optimal G_opt et le bruit en sortie s’´ecrivent :

G_opt[Ω] = r²t²₀Qⁱⁿ[Ω] (4.10)

Q^out_opt[Ω] = ^t

2t²₀Qⁱⁿ[Ω]

1 + G_opt[Ω]^{. (4.11)}

La premi`ere ´equation montre que le gain `a appliquer est d’autant plus important que le fais-ceau incident pr´esente du bruit classique. On peut ´egalement v´erifier que le niveau optimal est bien inf´erieur au deux situations extrˆemes d´ecrites plus haut, c’est `a dire en gain nul et en gain infini. Compar´e au bruit obtenu sans asservissement (´equation 4.9), l’asservissement r´eduit le bruit grˆace `a la pr´esence du d´enominateur dans l’´equation (4.11). On atteint tou-tefois une limite t²/r² correspondant `a un gain infini lorsque le bruit incident Q<sup>in</sup> devient infini. La figure 4.12 repr´esente la d´ependance de S<sub>p</sub><sup>out</sup> en fonction du bruit incident t<sup>2</sup><sub>0</sub>Q<sup>in</sup>, pour diff´erents cas : gain nul, gain infini et gain optimal. On a choisi un coefficient de r´eflexion r<sup>2</sup> de la lame assez faible, ´egal `a 0.25, pour exag´erer le changement de r´egime. On constate tout d’abord que pour des faisceaux avec un fort exc`es de bruit, le gain optimal est tr`es

proche de la situation obtenue en poussant le gain au maximum. Par contre, pour des fais-ceaux suffisamment peu bruyants, le gain optimal d´evie fortement de la situation gain infini et tend vers 0 `a la limite o`u le faisceau incident est d´ej`a au niveau du bruit de photon standard. Si on peut esp´erer am´eliorer le bruit en sortie par rapport `a la situation de gain infini lorsque le bruit incident n’est pas trop important, il peut ˆetre difficile de r´ealiser cette optimi-sation sur une large plage de fr´equence, puisque le gain optimum d´epend alors de la fr´equence par l’interm´ediaire du facteur de Mandel Qⁱⁿ[Ω] (´equation 4.10). Dans tous les cas, on constate que le bruit r´esultant en sortie est toujours inf´erieur `a 1/r2. Pour avoir un asservissement ef-ficace, on a donc int´erˆet `a pr´elever la plus grande partie possible du faisceau laser vers la voie de mesure (r grand). On est bien sˆur limit´e `a la fois par la puissance d´esir´ee en sortie et par la puissance accept´ee par les photodiodes. En prenant des surfaces photosensibles les plus ´elev´ees possible (1 mm2 pour une ETX 1000), on peut s’autoriser un peu plus de 50 mW sur la photodiode.