Sensibilit´e d’une mesure utilisant la technique Pound-Drever-Hall

Nous avons pr´esent´e dans le chapitre 2 les limites de sensibilit´e de la mesure de d´eplacements, en supposant que la mesure a directement acc`es `a la quadrature de phase du faisceau r´efl´echi par la cavit´e, comme c’est le cas par exemple avec une d´etection homodyne. Le concept du signal Pound-Drever-Hall est diff´erent puisqu’on reporte l’information contenue dans le d´ephasage du faisceau r´efl´echi sur le battement avec les bandes lat´erales, que l’on r´ecup`ere ensuite par d´emodulation. Aussi bien la d´ependance de la mesure avec les d´eplacements du r´esonateur que les bruits ajout´es par la lumi`ere sont diff´erents. Nous allons dans un premier temps d´eterminer ces caract´eristiques dans le cas id´eal d’une cavit´e sans perte et `a r´esonance. Nous ´etudierons ensuite l’effet des pertes et du d´esaccord.

Fig.4.37 – D´efinition des champs dans la d´etection Pound-Drever-Hall.

Le sch´ema de la d´etection Pound-Drever-Hall et des champs intervenant dans le calcul sont pr´esent´es sur la figure 4.37. Le champ α_o incident sur l’´electro-optique est d´ecrit comme la somme d’un champ moyen α_o ind´ependant du temps et des fluctuations semi-classiques δα_o(t). Le champ αinincident sur la cavit´e est obtenu par modulation de phase, soit comme pr´ec´edemment par multiplication du champ αo(t) par le terme exponentiel e^{iβ cos ∆t} (voir ´equation 4.22). Dans le calcul qui suit, il est n´ecessaire de d´evelopper jusqu’`a l’ordre 2 en la profondeur de modulation β. Cela signifie2 qu’on se limite dans le d´eveloppement pr´ec´edent aux termes en J2(β). On obtient :

αⁱⁿ(t) = (αo+ δαo(t))©J0+ iJ1(e^i∆t+ e^−i∆t) − J2¡e2i∆t+ e^−2i∆t¢ª . (4.29)

On s´epare le champ incident en un champ moyen αin et en des fluctuations δαin. Il faut noter que le champ moyen d´epend du temps, comme on l’a d´ej`a vu lors de l’´etude du signal d’erreur (´equation 4.23) puisqu’il est modul´e en phase. Les transform´ees de Fourier s’´ecrivent :

αⁱⁿ[Ω] = α_o{J0δ(Ω) + iJ₁(δ(Ω − ∆) + δ(Ω + ∆))

−J2(δ(Ω − 2∆) + δ(Ω + 2∆)) } , (4.30)

δαⁱⁿ[Ω] = J₀δα_o[Ω] + iJ₁(δα_o[Ω − ∆] + δαo[Ω + ∆])

−J2(δα_o[Ω − 2∆] + δαo[Ω + 2∆]) . (4.31)

2

Les d´eveloppements des premi`eres fonctions de Bessel limit´es `a l’ordre 2 en β s’´ecrivent : J0(β) = 1 −β2

4 , J1(β) = β

2 et J2(β) =β² 8 .

4.6. SENSIBILIT ´E DE LA MESURE 139

On peut retrouver `a partir de ces expressions un certain nombre de propri´et´es de l’intensit´e Iⁱⁿ transmise par l’´electro-optique, dont la transform´ee de Fourier est d´efinie par :

Iⁱⁿ[Ω] = Z

dω α^in⋆[ω]αⁱⁿ[Ω − ω]. (4.32)

A l’ordre deux dans la profondeur de modulation, on trouve que l’intensit´e transmise par le modulateur ´electro-optique v´erifie Iⁱⁿ[Ω] = α_o2δ(Ω) et δIin[Ω] = α_oδp_o[Ω] o`u δp_o[Ω] est la quadrature d’amplitude du champ α_o. Ces relations signifient simplement que la modulation de phase n’affecte pas l’intensit´e du champ transmis : celle-ci a les mˆemes valeur moyenne et fluctuations que l’intensit´e incidente. Notons toutefois que si l’intensit´e totale a les mˆemes caract´eristiques, le champ est maintenant d´ecompos´e en une porteuse d’intensit´e J₀²α²_o et des bande lat´erales aux diff´erents harmoniques de ∆.

Pour une cavit´e `a r´esonance avec la porteuse dont la bande passante γ/τ est petite devant la fr´equence de modulation ∆, l’amplitude du champ dans la cavit´e est donc r´eduite d’un facteur J0 par rapport au cas sans modulation (´equation 2.14) :

α =r 2

γ^{J0αo, (4.33)}

A partir des ´equations (2.7) `a (2.10), on peut ´ecrire les relations d’entr´ee-sortie de la cavit´e `a r´esonance sous la forme :

α^out[Ω] = r₀[Ω]αⁱⁿ[Ω] + ⁱ

2^{δqcav[Ω] , (4.34)}

o`u r<sub>0</sub>[Ω] = (γ + iΩτ ) / (γ − iΩτ) est le coefficient de r´eflexion effectif de la cavit´e `a r´esonance (´equation 4.24), et δq_cav repr´esente les variations de phase du champ r´efl´echi induites par les d´eplacements δx du miroir :

δqcav[Ω] = ⁴ √

2γ

γ − iΩτ^{αkδx[Ω]. (4.35)}

On notera que ces variations sont aussi r´eduites d’un facteur J_o par rapport au cas sans mo-dulation, puisqu’elles sont proportionnelles au champ intracavit´e α.

L’intensit´e I^out r´efl´echie par la cavit´e est donn´ee par une ´equation similaire `a (4.32). En utilisant les expressions (4.30) `a (4.32), on peut calculer sa valeur moyenne I^out et ses fluctuations δI^out. L’intensit´e moyenne r´efl´echie est donn´ee par

I^out[Ω] = α_o²©δ(Ω) + 2J1²δ(Ω − 2∆) + 2J1²δ(Ω + 2∆)ª , (4.36)

o`u on a utilis´e le fait qu’`a l’ordre 2 dans β, on a 4J0J2 ≃ 2J1²≃ 1 − J0². L’intensit´e r´efl´echie ne pr´esente pas de modulation `a la fr´equence ∆, comme on s’y attend d’apr`es les r´esultats de la section 4.5.1 lorsque la cavit´e est exactement `a r´esonance. Par contre, il apparaˆıt une modulation `a la fr´equence double, qui est due au fait que le point de fonctionnement est

modul´e `a la fr´equence ∆ au sommet du pic d’Airy. Les fluctuations de l’intensit´e r´efl´echie sont donn´ees par l’expression :

δI^out[Ω] = α_oⁿ|^l¡J₀2r₀[Ω] − J1²r₀[Ω + ∆] − J1²r₀[Ω − ∆]¢ δp_o[Ω] −J0J₁ ^X ǫ=±1 (r₀[Ω] + r₀[Ω + ǫ∆]) δq_o[Ω + ǫ∆] − ^X ǫ=±1 ¡J1²r₀[Ω + ǫ∆] + J₀J₂(r₀[Ω] − r0[Ω + 2ǫ∆])¢ δp_o[Ω + 2ǫ∆] −J1(δqcav[Ω − ∆] + δqcav[Ω + ∆])|^lo. (4.37)

On peut comprendre les diff´erents ´el´ements apparaissant dans cette expression en termes de battement entre le champ moyen compos´e de la porteuse et des bandes lat´erales, avec les fluctuations du champ r´efl´echi par la cavit´e. Ainsi la premi`ere ligne repr´esente les bruits d’in-tensit´e de la porteuse (terme en J0<sup>2</sup>) et des deux bandes lat´erales `a ±∆ (termes en J1²). La deuxi`eme ligne correspond au bruit de phase δq<sub>o</sub>[Ω ± ∆] du faisceau ramen´e `a la fr´equence Ω par le battement avec les deux bandes lat´erales. Enfin, la derni`ere ligne correspond au si-gnal proprement dit δqcav[Ω±∆], ramen´e de la mˆeme fa¸con `a la fr´equence Ω par le battement.

On peut noter qu’une mesure directe du bruit d’intensit´e `a une fr´equence Ω petite devant ∆ ne fournit aucune information utile puisque le signal δqcav[Ω ± ∆] est alors pris `a une fr´equence proche des bandes lat´erales, donc bien en-dehors de la bande passante de la cavit´e. Il est n´ecessaire de d´emoduler `a la fr´equence de modulation ∆ pour r´ecup´erer un signal δq<sub>cav</sub> non nul. Lors de la d´emodulation, le photocourant, proportionnel `a I^out(t) est multipli´e par une tension sinuso¨ıdale oscillant `a la fr´equence ∆, avec un d´ephasage choisi pour maximiser l’amplitude du signal, comme on l’a vu en section 4.5.1. Ce signal est ensuite envoy´e dans un filtre passe-bas qui ne conserve que les fr´equences inf´erieures `a celle de la modulation, ce qui fournit le signal d’erreur V_err. Ses fluctuations s’´ecrivent :

δVerr[Ω] = ¹

2¡δIout[Ω + ∆] + δI^out[Ω − ∆]¢ F [Ω], (4.38)

o`u la fonction F [Ω] est la fonction de transfert du filtre passe-bas, avec une fr´equence de coupure comprise entre la bande passante de la cavit´e et la fr´equence de modulation. Par rapport au calcul du signal d’erreur effectu´e dans la section 4.5.1 (´equation 4.27), on a suppos´e l’efficacit´e quantique η ´egale `a 1, ce qui correspond `a une d´etection id´eale. En supposant que la fr´equence de modulation est tr`es grande devant la bande passante de la cavit´e, les fluctuations δV_err[Ω] du signal d’erreur sont donn´ees par les relations (4.37) et (4.38), avec r₀[Ω±n∆] = −1 pour les bandes lat´erales (n 6= 0). Ces fluctuations d´ependent du bruit de phase incident δqo[Ω] et du signal δqcav[Ω] `a la fr´equence Ω, du bruit d’amplitude incident δpo[Ω ± ∆] autour des porteuses et d’autres bruits `a des fr´equences plus ´elev´ees :

δV_err[Ω] = α_oⁿ|^l − J1δq_cav[Ω] + J₀J₁(1 − r0[Ω])δq_o[Ω] −^{µ J} 2 0 − J2 1 2 ^{+ r0[Ω]J} 2 1 ¶ (δpo[Ω + ∆] − δpo[Ω + ∆]) +J₀J₁(δq_o[Ω − 2∆] + δqo[Ω + 2∆]) +^J1 2 2 ^(δpo[Ω − 3∆] + δpo[Ω + 3∆])|^lo. (4.39)

4.6. SENSIBILIT ´E DE LA MESURE 141

Les termes importants se trouvent sur la premi`ere ligne : il s’agit du signal δqcav et d’un bruit li´e aux fluctuations de phase δq<sub>o</sub>que l’on va bientˆot identifier comme le bruit de fr´equence du faisceau laser. Toutes les autres fluctuations sont `a des fr´equences plus ´elev´ees, l`a o`u le faisceau laser ne pr´esente plus d’exc`es de bruit classique si la fr´equence de modulation est suffisamment grande. En d’autres termes, toutes ces fluctuations correspondent au bruit de photon standard (S_po[Ω ± n∆] = Sqo[Ω ± n∆] ≡ 1) et vont induire une limite de sensibilit´e dans la mesure. Dans ces conditions, le spectre de bruit du signal d’erreur s’´ecrit :

S_err[Ω] = α_o² ½ J₁²S_q^cav[Ω] + J₀²J₁²|1 − r0[Ω]|²(S_qo[Ω] − 1) +^J0 2 2 ¡1 + 4J₁2¢ ¾ . (4.40)

Il fait apparaˆıtre trois termes : le signal proportionnel `a S_q^cav, le bruit de fr´equence reli´e au bruit classique de phase S_qo − 1 (voir les sections suivantes) et un terme constant reli´e aux bruits de photon de la porteuse et des bandes lat´erales.

Avant de d´ecrire plus en d´etail ces diff´erents bruits, nous g´en´eralisons cette expression au cas d’une cavit´e pr´esentant des pertes. Celles-ci sont d´ecrites par un coefficient P et par des fluctuations entrantes δαv (voir figure 4.37). Elles r´eduisent l’amplitude α du champ dans la cavit´e (´equations 4.33 et 2.14) et modifient l’expression (4.35) du signal δq_cav en fonction du d´eplacement δx. D’apr`es les relations (2.14) et (2.23), on obtient :

α = √ T γ ^{J0αo (4.41)} δq_cav[Ω] = ⁴ √ T γ − iΩτ^{αkδx[Ω]. (4.42)}

Elles modifient ´egalement le coefficient de r´eflexion effectif de la cavit´e, donn´e par l’´equation (4.24). En effectuant le calcul comme dans le cas sans pertes, on obtient une expression pour le spectre de bruit du signal d’erreur qui g´en´eralise (4.40) :

S_err[Ω] = α_o² ½ J₁²S_q^cav[Ω] + J₀²J₁²|r0[0] − r0[Ω]|²(S_qo[Ω] − 1) +^J0 2 2 ¡r₀[0]²+ (3 + r₀[0]) J₁²¢ ¾ . (4.43)

On retrouve les mˆemes termes, except´e pour les facteurs num´eriques multiplicatifs qui font maintenant apparaˆıtre le coefficient r₀[0] = (γ − P )/γ, ´egal `a 1 dans le cas sans pertes.