introduisons la matrice ˜M(u, l) = (∂jyk, ∂lyk).
On introduit Φ(u) = φ0(y(u)), on v´erifie que ∂Φ ∂uj = y(u)− x |y(u) − x|. ∂y ∂uj .
Les vecteurs (∂u∂yj) forment une base de l’espace tangent Ty(u)S. La phase Φ stationne si et seulement si y(u)− x est orthogonal au vecteur ∂u∂yj(u) pour tout j, donc orthogonal `a l’hyperplan tangent Ty(u)S. Soit y(u0) un point critique. Il existe λ tel que
y(u)− x
|y(u) − x| = λ~n(y(u)). (4.7.13) La comparaison des normes donne λ =±1 et l’orientation donne λ = −1.
Il existe donc u0 et l0 tels que x = y(u0) + l0~n(y(u0)). Alors u = u0 est une solution de (4.7.13). Le point y correspondant est donc un point qui rend extremum la distance au bord. Il n’est pas n´ecessairement unique ; en effet, si la surface S est une sph`ere, et si le point x est le centre de la sph`ere, alors tous les points de la surface conviennent.
Cependant, lorsqu’on suppose S = ∂Ω, o`u Ω est convexe, et si y ∈ V (y0)∩ CΩ, alors le vecteur ~n(y0) d´efini ci-dessus est la normale ext´erieure `a Ω en y0, il y a unicit´e de la solution de (4.7.13). Pour montrer ceci, calculons le Jacobien. Il suffit de montrer que la matrice
∂2Φ
∂ui∂uj est non d´eg´en´er´ee pour obtenur l’unicit´e locale de la solution du syst`eme ∂u∂Φi = 0. De
∂Φ
∂uj =|y(u)−x|y(u)−x.∂u∂y
i, on d´eduit ∂2Φ ∂uj∂um = y(u)− x |y(u) − x|. ∂2y ∂uj∂um +∂umy.∂ujy |y(u) − x| − (y(u)− x, ∂ujy)(y(u)− x, ∂umy) |y(u) − x|3 . (4.7.14) On calcule cette valeur au point critique u0. De l’orthogonalit´e de ~n et du vecteur tangent `a la surface, on d´eduit
∂2Φ
∂uj∂um(u0) =−~n(y(u0)).∂u∂j2∂uym +∂um|y(u)−x|y.∂ujy −(~n(y(u0)),∂ujy)(~n(y(u0)),∂umy) |y(u0)−x|3
=−~n(y(u0)).∂u∂2y
j∂um +∂um|y(u)−x|y.∂ujy Comme ~n(y(u)).∂ujy(u) = 0, on obtient les identit´es
∂
∂um(~n(y(u))).∂ujy(u) + ~n(y(u)). ∂
2y
∂uj∂um(u) = 0.
Il en d´ecoule, introduisant comme dans la section 1 la matrice de Weingarten W qui est la d´eriv´ee du vecteur normal le long d’une direction tangente (et dont les valeurs propres sont les courbures principales de la surface ∂Ω), de sorte que ∂
∂um(~n(y(u))) = W (y(u))∂u∂ym W (y(u)).∂umy(u)∂ujy(u) + ~n(y(u)).∂u2jumy(u) = 0, (4.7.15) ce qui conduit `a
∂2Φ ∂uj∂um
(u0) =−W (y(u)).∂umy(u)∂ujy(u) +∂umy.∂ujy |y(u) − x|.
Le d´eterminant de (∂u∂j2∂uΦm(u0)) est nul lorsque le point x est situ´e au centre de courbure de S. On introduit la matrice
L(x, y(u)) = W (y(u)) + 1 |x − y(u)|Id
Il vient
(det(∂u2jumΦ)(u0))−12dσS(y)/du = (det(W (y(u)) + 1
|x − y(u)|Id))
−1 2, et l’´equivalent de Ik donn´e par le th´eor`eme de la phase stationnaire est ´egal `a
Ik(x)' (2πk )n−12 c(y(u0))(det(W (y(u0)) + 1
|x − y(u0)|Id))
−1
2eik|x−y(u0)|. Le calcul ci-dessus a ´et´e effectu´e lorsque c(y) est ind´ependant de k.
Cas o`u c pr´esente une phase oscillante en k On suppose dans une deuxi`eme application que c(y, k) = a(y, k)eikφ(y)o`u a est `a support compact en y. La phase consid´er´ee est
ψ(y) =|x − y| + φ(y).
Le gradient de la phase, utilisant la mˆeme repr´esentation du bord y = y(u), est ∂ujψ(y(u)) = [ y(u)− x
|y(u) − x| +∇φ].∂ujy(u).
Ce gradient est nul lorsque le vecteur [|y(u)−x|y(u)−x +∇φ] est orthogonal aux vecteurs (∂ujy(u)). Cela signifie qu’il est colin´eaire `a ~n(y(u)). Pour un point critique, il existe λ tel que
y(u)− x
|y(u) − x|+∇φ = λ~n(y(u)).
On remarque que ∇φ est tangent `a S, donc orthogonal `a ~n au point consid´er´e et de plus |∇φ(y(u))| ≤ 1. On suppose que S = ∂Ω, Ω convexe et que x ∈ CΩ. Il vient λ2+(∇φ(y(u)))2= 1, ainsi on d´efinit un vecteur normal unitaire par
y(u)− x
|y(u) − x| = (1− ||∇φ(y(u))||
2)12~n(y(u))− ∇φ(y(u)) = ~t(u). (4.7.16) La recherche de u est ´equivalente `a la r´esolution de l’´equation x = y(u) + µ~t(y(u)).
Un cas particulier int´eressant est le cas o`u ∇φ(y(u)) est de norme 1. Le point x est alors situ´e sur la tangente `a S parall`ele au vecteur∇φ(y). Il s’agit donc, pour x donn´e, de trouver le point de tangence de toute droite issue de x tangente `a S, ce qui donnera les points y(u) admissibles.
On utilise |∇φ(y(u))| ≤ 1 pour calculer le jacobien de u → φ(y(u)). La relation (4.7.14) permet d’obtenir
∂2
ujum(ψ(y(u))) = |y(u)−x|y(u)−x .∂2
ujumy +∂um|y(u)−x|y.∂ujy +∇φ(y(u)).∂2 ujumy −((y(u)−x).∂ujy)((y(u)−x).∂umy)
|y(u)−x|3 + Hessφ∂ujy∂umy. ´
Eliminant des termes grˆace `a (4.7.16) et utilisant l’orthogonalit´e de ~n(y(u)) avec ∂ujy(u), on trouve
∂2
ujum(ψ(y(u))) = (1− (∇φ(y(u)))2)12~n(y(u)).∂2
ujumy +∂um|y(u)−x|y.∂ujy −(∇φ(y(u)).∂ujy)((∇φ(y(u)).∂umy)
|y(u)−x| + Hessφ∂ujy∂umy. Utilisant enfin (4.7.15), on obtient
∂2
ujum(ψ(y(u))) = (1− (∇φ(y(u)))2)12W (y(u))∂ujy∂umy +∂um|y(u)−x|y.∂ujy −(∇φ(y(u)).∂uj|y(u)−x|y)((∇φ(y(u)).∂umy)+ Hessφ∂ujy∂umy. On introduit la projection orthogonale π parall`element `a∇φ(y(u)). On a
4.7. SOLUTION RAYONN ´EE 83
∂2
ujum(ψ(y(u))) = (1− (∇φ(y(u)))2)12[W (y(u)) +|y(u)−x|1 Id]∂ujy∂umy +Hessφ∂ujy∂umy +|∇φ(y(u))||y(u)−x|2π(∂ujy).π(∂umy).
Ceci permet d’obtenir, dans le cas o`u |∇φ| = 1, que le jacobien de la transformation est ´egal `a det[Hessφ +|y(u)−x|1 Id].
Nous ´enon¸cons les r´esultats de ce paragraphe
Proposition 4.5 La contribution asymptotique d’une source c(y, k) (suppos´ee `a support com-pact en y ou bien S est comcom-pacte) sur un bord S `a l’int´egrale
Ik(x) = Z
S
eik|x−y|
|x − y|c(y, k)dσS(y)
d´epend de mani`ere cruciale du comportement de la phase de la source sur le bord, suppos´ee de la forme
c(y, k) = a(y, k)eikφ(y).
Le point y(u(x)) o`u on calcule a(y, k) (qui est le point du bord influen¸cant la valeur de Ik(x)) est solution de
y(u)− x
|y(u) − x| = (1− (∇φ(y(u)))
2)12~n(y(u))− ∇φ(y(u)). Le jacobien de la phase est alors
det[(1− |∇φ|2)W (y(u)) + Hessφ(y(u)) + 1 |y(u) − x|]. Les deux cas limites que nous pouvons utiliser sont
• la phase φ est nulle. Le point y(u) est celui qui minimise la distance `a S. Le jacobien est ´egal au produit Π(κi+d(x,S)1 ), les κi´etant les courbures principales de la surface au point y(u).
• la phase φ de norme de gradient 1. Soit y(u) un point du bord tel que la droite (xy(u)) est tangente `a S. Le jacobien de la phase est le produit des β + 1
|y(u)−x| o`u β est une valeur propre de la matrice hessienne de φ.
La discussion pr´ec´edente sur les points critiques de la phase permet d’obtenir un d´eveloppement asymptotique de Ik(x).
Nous terminons cette section d’applications de la m´ethode de la phase stationnaire `a l’´equation des ondes par le calcul de scattering qui se trouve dans tous les cours de matrice de scattering. On le trouve par exemple dans le cours de R. B. Melrose, donn´e `a l’universit´e de Stanford [77].
Pour cela, on introduit la r´esolution spectrale de l’identit´e, qui est la transcription en coordonn´ees polaires de l’identit´e
f (x) = (2π)−n Z IRn eizξf(ξ)dξˆ qui se r´e´ecrit f (x) = (2π)−n Z +∞ 0 Z Sn−1 eiλx.ωf (λω)λˆ n−1dλdω. Soit E0(λ) est le projecteur spectral, donn´e par
E0(λ)f (x, λ) = (2π)−n Z
Sn−1
eiλx.ωλn−1f(λω)dω.ˆ D’apr`es le th´eor`eme spectral
Id = Z ∞
0
E0(λ)dλ.
Soit Φ0(x, ω, λ) = eiλx.ω la famille d’ondes planes caract´eris´ee par la direction ω et la norme du vecteur d’onde λ > 0. Alors
E0(λ) = (2π)−nλn−1F0(λ)F0∗(λ) o`u F0 agit deC∞(Sn−1) dansS0(IRn) :
F0(λ)g(x) = Z
Sn−1
Φ0(x, ω, λ)g(ω)dω et F∗
0(λ) agit deS(IRn) dansC∞(Sn−1) : F0∗(λ)h(ω) =
Z
IRnΦ0(x, ω,−λ)h(y)dy On obtient, par l’application du th´eor`eme de la phase stationnaire
F0(λ)g(θ|x|) ' eiλ|x|(λ|x|)−1 2e−1 4π(n−1)i(2π)n−12 P j≥0|λx|−jh+j(θ) +e−iλ|x|(λ|x|)−1 2e41π(n−1)i(2π)n−12 P j≥0|λx|−jh−j(θ). (4.7.17) On ´ecrit x =|x|θ. La phase s’´ecrit alors iλ|x|θ.ω. Comme l’int´egrale est invariante par rotation, on choisit les coordonn´ees sur Sn−1 de sorte que θ.ω = ω1, avec ω1=±(1 − (ω0)2)12. On note J(ω0) le jacobien de la transformation dSn−1ω en dω0. Il vient
F0(λ)g(θ|x|) = R IRn−1eiλ|x|ω1g(ω1, ω0)J(ω0)dω0 =R Sn−1eiλ|x|(1−(ω0)2)12g((1− (ω0)2)12, ω0)J(ω0)dω0 +R IRn−1e−iλ|x|(1−(ω0)2)12 g(−(1 − (ω0)2)12, ω0)J(ω0)dω0. Grˆace au d´eveloppement limit´e (1− (ω0)2)12 = 1− 1
2(ω0)2+ o((ω0)2), on v´erifie que le th´eor`eme de la phase stationnaire s’applique au point ω0 = 0 et que h+0(θ) = g(θ), h−0(θ) = g(−θ). Les termes h±j sont des r´esultats de l’action d’it´er´ees du laplacien sur la sph`ere, qui est l’op´erateur L associ´e au point critique θ.ω =±1 de la phase θ.ω.
De l’expression ∆ =−R∞
0 λ2E0(λ)dλ, on d´eduit le fait que toute solution de (∆−λ2)u = 0 v´erifie donc (|ξ|2
− λ2)ˆu(ξ) = 0, soit, en prenant ξ = rθ, l’´egalit´e ˆu(ξ) = δ(r− λ)g1(θ). Par transform´ee de Fourier inverse, on trouve
u(x) = (2π)−n Z
IRneirx.θδ(r− λ)g1(θ)rn−1drdθ donc
u = F0(λ)((2π)−nλn−1g1).
Le d´eveloppement asymptotique ci-dessus ´etendu `a g1 distribution conduit `a
Lemme 4.7 Pour toute fonction h(θ) de classe C∞(Sn−1), il existe une solution de (∆ + λ2)u = 0 admettant pour |x| → ∞ le d´eveloppement
u(|x|θ) = eiλ|x||x|−1
2(n−1)h(θ) + e−iλ|x||x|−1
2(n−1)h1(θ) + O(|x|−1 2(n+1)). La relation entre h1 et h est, en vertu du d´eveloppement asymptotique
h1(θ) = in−1h(−θ) qui est la plus simple des matrices de scattering.