Les op´erateurs pseudo-diff´erentiels elliptiques

C₀^∞(X) dansD0(Y ). On introduit

W F⁰(K) ={(x, ξ; y, −η) ∈ T?(X× Y ) − 0, (x, ξ; y, η) ∈ W F (K)} W F_X⁰ (K) ={(x, ξ) ∈ T?X− 0, (x, ξ; y, 0) ∈ W F0(K)} W F_Y⁰ (K) ={(y, η) ∈ T?Y − 0, (x, 0; y, η) ∈ W F0(K)} On peut alors ´enoncer une remarque :

Si u∈ E⁰(Y ), W F (u)∩W FY⁰(K) =∅, alors Ku peut ˆetre d´efini, et W F (Ku) ⊂ W F⁰(K)(W F (u))∪ W F_X⁰ (K).

Cette remarque sera utilis´ee lors de la d´emonstration du th´eor`eme de propagation des singularit´es.

8.3 Les op´erateurs pseudo-diff´erentiels elliptiques

8.3.1 D´efinition

D´efinissons un op´erateur elliptique d’ordre m :

D´efinition 8.7 • On dit que Op(p) ∈ Lm(X) est un op´erateur elliptique au voisinage de x0

si il existe un compact K contenant x0 et une constante c > 0 tels que le symbole p(x, ξ)∈ Sm(X× IR^N) v´erifie, pour|ξ| ≥ R >> 1

∀x ∈ K, ∀ξ ∈ IR^N− {0}, |p(x, ξ)| ≥ c|ξ|^m. (8.3.2) • On dit que Op(p) est un op´erateur elliptique microlocalement au voisinage de (x0, ξ0)∈ X× IR^N si il existe un voisinage conique V de (x0, ξ0) tel que, sur V , on ait (8.3.2).

8.3.2 Inversion d’un op´erateur elliptique

On d´emontre la proposition fondamentale du calcul pseudo-diff´erentiel

Proposition 8.5 1. Soit P un op´erateur pseudo-diff´erentiel elliptique proprement sup-port´e, de symbole p(x, ξ) ∈ Sm(X × IR^d). Il admet un inverse `a droite et un inverse `

a gauche, ´egaux modulo L^−∞.

2. Soit P un op´erateur elliptique au voisinage de (x0, ξ0). Il existe un voisinage conique V1

de (x0, ξ0), un op´erateur B dont le support essentiel ne rencontre pas V1et un op´erateur Q tels que

Q◦ P = Id + B Notons que Q est appel´e parametrix de l’op´erateur P.

Preuve Tout d’abord, v´erifions que Q1◦ P = Id + R1 et P ◦ Q2 = Id + R2 implique Q1 ◦ P ◦ Q2 = Q2+ R1◦ Q2 = Q1+ Q1◦ R2. Si Q1 et Q2 sont proprement support´es, Q1◦ R2∈ L−∞et R1◦ Q2∈ L−∞, donc Q1est ´egal `a Q2modulo L−∞.

Par analogie avec l’inverse d’une s´erie, nous commen¸cons par d´emontrer le r´esultat pour p symbole classique. On suppose que Q est un op´erateur pseudo-diff´erentiel associ´e `a un symbole classique q. Lorsque P n’est pas associ´e `a un symbole classique, on utilisera ¹_p]p = 1+P

α 1 i|α|α!∂α

ξ(¹_p)∂α

xp. Soit q(x, ξ)'P qj(x, ξ), qj(x, ξ)∈ S−m−j(X×IR^N). L’´egalit´e Q◦P = Id + R1se traduit par les ´egalit´es

q0p = 1 P

|α|+l=nα!i¹|α|∂_ξ^αql∂x^αp = 0, n≥ 1

On a donc q0(x, ξ) = (p(x, ξ))−1, qui est dans S−m(X× IR^N). Alors on trouve

q1(x, ξ) =−¹_p ^X |α|=1 1 iα!^∂ α ξ((p(x, ξ)⁻¹)∂_x^αp(x, ξ) = ¹ i 1 (p(x, ξ))3 X j ∂ξjp(x, ξ)∂xjp(x, ξ)

donc q1 ∈ S−m−1(X× IRN). On poursuit le raisonnement par r´ecurrence. En effet, le sym-bole ∂α

xp est un symbole de Sm(X × IRN), le symbole ∂α

ξ(ql) est, pour l < n, un symbole de S−m−l−|α|(X × IR^N) = S−m−n(X × IR^N). On trouve alors que qn est un symbole de S−m−n+m−m(X× IR^N) et la d´emonstration par r´ecurrence s’en d´eduit. La somme des qj est un symbole par la proposition de compl´etude asymptotique (Proposition 6.4).

Le cas g´en´eral s’en d´eduit : en effet on a trouv´e Op(¹_p)◦ P = Id + R, o`u R est un op´erateur d’ordre−1 de symbole r ∈ S−1. Plus pr´ecis´ement lorsque le symbole est dans Sm

ρ,δ on trouve que r est dans S−ρ+δ). On s’est ramen´e `a l’inversion de Id + R. On peut v´erifier que

(1− r)](1 + r) = 1 − r2

− ^X

|α|≥1

∂^α_ξr∂_x^αr = 1− r2

o`u r2 est d’ordre−2. L’inverse suppos´e est la s´erie de Neumann pour la loi ]. Soit

rp= 1− r + r]r − r]r]r + ... + (−1)^pr]r]...]r. On a

rp](1 + r) = 1 + (rp+1− rp)

(l’op´erateur Rp+1− Rp est, `a (−1)p+1 pr`es, la compos´ee de p + 1 termes R, il est dans L^−p, son symbole rp+1− rp est dans S^−p. On utilise alors le r´esultat de completude asymptotique. D´emontrons l’alin´ea 2 dans le cas o`u p est, modulo S<sup>−∞</sup>, homog`ene de degr´e m. On se place sur le voisinage conique V de l’hypoth`ese de la d´efinition 8.7. Le symbole p est ´evidemment non nul sur le bord de V∩X ×SN−1des ´el´ements de V dont la norme de ξ vaut 1. Notons π la projection canonique sur X. On peut alors prolonger p en une fonction, dont toutes les d´eriv´ees sont born´ees qui est C∞(π(V ))×SN−1. On ´etend le symbole ainsi obtenu `a π(V )×(IR^N−{0}) par homog´en´eit´e de degr´e m, utilisant les constantes permettant de borner p sur le bord. On note p1le symbole ainsi ´etendu. C’est le symbole d’un op´erateur elliptique Op(p1).

Par l’alin´ea 1, Op(p1) admet un inverse q proprement support´e tel que Op(q)◦ Op(p1) = Id + r

ce qui donne

Op(q)◦ Op(p) = Id + r + Op(q) ◦ Op(p − p1).

On choisit V1 tel que V1 ⊂ V . Alors le support essentiel de p − p1 ´etant contenu dans le compl´ementaire de V , et Op(q) ´etant proprement support´e, l’op´erateur r + Op(q)◦ Op(p − p1) a son support essentiel distinct de V . Ceci ach`eve la d´emonstration de la proposition 8.5.

8.3. LES OP ´ERATEURS PSEUDO-DIFF ´ERENTIELS ELLIPTIQUES 129

8.3.3 R´egularit´e elliptique

Nous cherchons dans cette section `a quantifier la relation entre le front d’onde de u et le front d’onde de P u pour un op´erateur pseudo-diff´erentiel elliptique P . Nous rappelons d’abord une caract´erisation du front d’onde :

Lemme 8.6 Pour u∈ D0(X), on a

W F (u) =∩{Car(p), p ∈ S0(X× IRN), Op(p)u∈ C∞(X)},

Car(p) d´esignant l’ensemble des points (x, ξ) ∈ X × IRN tels que p(x, ξ) = 0. On appelle cet ensemble la vari´et´e caract´eristique de p.

On note que ce r´esultat s’´ecrit aussi

W F (u) =∩{Car(σ(P )), P ∈ L0(X), P u∈ C^∞(X)}.

Preuve Soit (x0, ξ0) /∈ W F (u). Il existe χ, ´egale `a 1 dans un voisinage de x0 et Γ voisinage conique de ξ0 tel queF(χu) soit `a d´ecroissance rapide. On d´esigne par

P u(x) = ¹ (2π)N

Z

ψ(ξ)F(χu)(ξ)eixξdξ

o`u ψ est homog`ene de degr´e 0 hors d’un compact, ψ ≡ 1 sur Γ0 ∩ {|ξ| > R}, Γ0 voisinage conique de ξ0. Alors P u ∈ C∞ et on v´erifie que p(x, y, ξ) = ψ(ξ)χ(y) est un ´el´ement de S0(X × X × IR^N). Il vient alors σ(p)(x, ξ) ' ψ(ξ)χ(x) + r(x, ξ), r ∈ S−1(X × IR^N), et le symbole principal de p est donc non nul au voisinage de (x0, ξ0). On a d´emontr´e

∩{Car(p), Op(p) ∈ L0(X), Op(p)u∈ C^∞(X)} ⊂ W F (u).

R´eciproquement, soit (x0, ξ0) tel qu’il existe p ∈ S0(X× IRN) tel que Op(p)u ∈ C∞ et p(x0, ξ0) 6= 0. Alors p est elliptique dans un voisinage de (x0, ξ0) et on note q et B comme dans la proposition 8.5. Alors

Op(q)◦ Op(p)u = u + ru ∈ C^∞.

On a u =−ru+Op(q)[Op(p)u]+Op(q)◦Op(p−p1)u. Modulo C∞(X), u = Op(q)◦Op(p−p1)u. On utilise l’inclusion (d´emontr´ee ci-dessous en utilisant des arguments diff´erents) W F (Av)⊂ W F (v)∩ Supp(A). Il vient donc W F (Op(q) ◦ Op(p − p1)u)⊂ Supp(q) ∩ Supp(p − p1). Comme (x0, ξ0) /∈ Supp(p − p1), on en d´eduit (x0, ξ0) /∈ W F (u). Le lemme est d´emontr´e. On g´en´eralise en la

Proposition 8.6 Soit P un op´erateur d’ordre 0, de symbole p. Soit u une distribution telle que il existe U , ensemble cˆonique contenant Supp(P), avec U∩ W F (u) = ∅. Alors P u ∈ C∞. D´emonstration de la proposition. On se donne P un op´erateur d’ordre 0 de symbole p et on suppose W F (u) disjoint d’un ensemble cˆonique U qui contienne le support essentiel de P Supp(P ).

On consid`ere χ∈ S0 telle que suppχ∩ W F (u) = ∅, χ ≡ 1 pr`es de SuppP . L’´egalit´e P u = P χu + P (1− χ)u

Autre d´emonstration On peut, suivant Taylor [93], construire χ en utilisant une partition microlocale de l’unit´e.

– Comme le front d’onde est le compl´ementaire de l’intersection des ensembles caract´eristiques de P tels que P u soit C∞, pour tout (x, ξ) dans Supp(p) il existe Q tel que Qu ∈ C∞ et (x, ξ) non caracteristique pour Q. On utilise l’homog´en´eit´e du symbole, et on se restreint `a un compact K en x, et `a un compact K sur la sph`ere unit´e. Ensuite, on construit, pour tout point (x, ξ) de Supp(P ), l’op´erateur Q comme pr´ec´edemment. On v´erifie donc que, pour tout point (x, ξ)∈ K × K, il existe un voisinage V(x,ξ)tel que l’op´erateur ˜Q que l’on peut choisir en tout point de ce voisinage soit Q. On recouvre alors le compact K× K par les V(x,ξ). De ce recouvrement, on peut extraire un sous-recouvrement fini, et donc des op´erateurs Qj. En consid´erant Q =PQ∗

jQj, Qu∈ C∞et Car(Q)∩ Supp(P ) = ∅.

– On prend alors Q1 un op´erateur elliptique coincidant avec Q sur un voisinage W de Supp(P ). On peut le construire en utilisant une fonction localisante, car il suffit que Q1 soit non nul sur le compl´ementaire du voisinage W et ´egal `a Q, elliptique sur le voisinage W . Une parametrix de Q1 existe (car Q1 est elliptique). On note A = P Q−1

1 . On v´erifie qu’il existe R3∈ L−∞ tel que

AQ = P Q⁻¹₁ (Q1+ (Q− Q1)) = P + R3+ P Q⁻¹₁ (Q− Q1)

Comme le support essentiel d’un produit d’op´erateurs est contenu dans l’intersection des sup-ports essentiels, et Q− Q1= 0 sur le support de P , on voit que Supp(Q− Q1)∩ Supp(P ) = ∅. Cet op´erateur est donc dans L−∞. Lui ajoutant R3, on trouve un op´erateur R4 de L−∞, ce qui donne

AQ = P + R4, et donc P u = AQu− R4u, ce qui donne P u∈ C∞. On veut prouver la

Proposition 8.7 1. W F (P u)⊂ W F (u) ∩ Supp(P ) 2. Si P est elliptique, W F (P u) = W F (u)

La deuxi`eme ´egalit´e du th´eor`eme provient de la premi`ere et de l’existence d’une para-metrix d’un op´erateur elliptique. En effet, soit E une telle parapara-metrix. Alors W F (EP u) = W F ((Id + R)u) = W F (u) donc

W F (EP u)⊂ W F (P u) ⇒ W F (u) ⊂ W F (P u) ⊂ W F (u). Prouvons, pour un op´erateur g´en´eral, les deux inclusions.

Pour prouver W F (P u) ⊂ Supp(P ), on prend un point (x0, ξ0) /∈ Supp(P ). Il existe un voisinage conique V de (x0, ξ0) et un op´erateur q, identiquement ´egal `a 1 sur V , tel que Supp(Q)∩ Supp(P ) = ∅. Alors QP ∈ L−∞ (car Supp(QP )⊂ Supp(P ) ∩ Supp(Q)) et QP u ∈ C∞. En utilisant la premi`ere d´efinition du front d’onde de v, on voit que le front d’onde de P u est dans l’ensemble caract´eristique de Q, qui ne contient pas (x0, ξ0). On a ainsi d´emontr´e la premi`ere inclusion.

Pour prouver W F (P u) ⊂ W F (u), on se donne un voisinage conique Γ de W F (u). On ´ecrit P = P1+ P2 tels que Supp(P1) ⊂ Γ et Supp(p2)∩ W F (u) = ∅. Alors P2u∈ C∞ et W F (P u) = W F (P1u). On vient de voir W F (P1u) ⊂ Supp(P1) donc W F (P1u) ⊂ Γ. Ceci est vrai pour tout voisinage cˆonique de W F (u) donc W F (P u)⊂ W F (u). On ach`eve ainsi la preuve de la proposition 8.7.

8.3.4 R´esolubilit´e locale d’un op´erateur elliptique

Nous d´emontrons la

Proposition 8.8 Soit A un op´erateur diff´erentiel elliptique d’ordre m `a coefficients C∞ sur l’ouvert X⊂ IRⁿ et soit x0∈ X. Il existe un voisinage ouvert V ⊂ X de x0 tel que, pour tout v∈ D0(V ) et tout W ⊂ V , il existe u ∈ D0(V ) tel que Au = v dans W

8.4. CHANGEMENT DE VARIABLE ET OPD 131