RT 0 (ψ, u)dt =RT 0 (tLv, u)dt =RT 0 (−∂tv +tGv, u)dt =RT 0 ((−∂tv, u) + (v, Gu))dt =−RT 0 ((∂tv, u) + (u, ∂tv))dt = (u(., 0), v(., 0))− (u(., T ), v(., T )) = 0.
Ceci est valable pour toute fonction ψ dans la classe de Schwartz. Comme u appartient `a l’espace C(IR, Hσ(IRd)), on en d´eduit qu’il existe une suite de ψn tendant vers u par densit´e deS(IR × IRd). On a alors u = 0.
2.2 Formalisme asymptotique pour les syst`emes
hyper-boliques
On montre dans cette section que l’on peut ´etendre aux syst`emes hyperboliques la no-tion de d´eveloppement asymptotique, avec en particulier l’introducno-tion de l’´equano-tion eikonale. Soit L(x, t, ∂x, ∂t) un op´erateur hyperbolique (D´efinition 2.1), agissant sur des distributions u(x, t)∈ (D0)m(IRd× IR). Nous introduisons une fonction u(x, t, ε) (appel´ee Ansatz) sous la forme
u(x, t, ε) = a(x, t, ε)eiφ(x,t)/ε, o`u il existe une suite aj(x, t) telle que
a(x, t, ε)'X
j
aj(x, t)εj.
On a donn´e le nom traditionnel d’Ansatz `a cette forme, ce qui veut dire en allemand Conjec-ture. En effet, on conjecture que le syst`eme hyperbolique admet une solution de cette forme. Cette fonction est suppos´ee v´erifier :
L(x, t, ∂x, ∂t)u(x, t, ε)' 0.
Notons que l’on ´ecrit parfois u(x, t, ε) = A(x, t, ε, θ)|θ=ε−1φ(x,t) = a(x, t, ε)eiθ o`u, sous les notations classiques de Joly-Metivier-Rauch [50], θ est la variable “rapide” et (x, t) sont les variables “lentes”.
Alors
L(x, t, ∂x, ∂t)(a(x, t, ε)eiφ(x,t)/ε)'
∞
X
j=−1
εjWj(x, t)eiφ(x,t)/ε, o`u les Wj sont donn´es par :
W−1= iL(x, t,∇xφ, ∂tφ)a0,
Wj= iL(x, t,∇xφ, ∂tφ)aj+1+ L(x, t, ∂x, ∂t)aj, j≥ 0. On obtient les ´equations
L(x, t,∇xφ, ∂tφ)a0(x, t) = 0,
iL(x, t,∇xφ, ∂tφ)aj+1(x, t) + L(x, t, ∂x, ∂t)aj(x, t) = 0, j ≥ 0.
A premi`ere vue, il semble que la premi`ere ´equation soit la mˆeme que pour le probl`eme sca-laire. Mais il n’en est rien : en effet dans le cas scalaire cette ´egalit´e impliquait la nullit´e de L(x, t,∇xφ, ∂tφ) qui ´etait un nombre (ce qui donnait l’´equation eikonale). En revanche dans le cas vectoriel cette ´equation a une solution non triviale en a0lorsque le d´eterminant est nul, et dans ce cas a0 appartient au noyau de la matrice L(x, t,∇xφ, ∂tφ).
det(L(x, t,∇xφ(x, t), ∂tφ(x, t))) = 0 (2.2.4) On peut appeler l’´equation (2.2.4) l’´equation eikonale g´en´eralis´ee. L’´equation (2.2.4) est une ´equation de degr´e m en ∂tφ. Cette ´equation a donc, en g´en´eral, m racines. L’´equation eikonale g´eneralis´ee correspond donc `a m feuilles et sur chaque feuille on aura un syst`eme d’´equations de transport.
Traitons un exemple afin de montrer la diff´erence entre le syst`eme d’´equations hyperbo-liques et les ´equations scalaires. Dans le cas du syst`eme des ´equations de Maxwell vu dans la section 1.3, nous obtenons
detK = det ε∂tφI3 0 ∂x3φ −∂x2φ −∂x3φ 0 ∂x1φ ∂x2φ −∂x1φ 0 0 −∂x3φ ∂x2φ ∂x3φ 0 −∂x1φ −∂x2φ ∂x1φ 0 µ∂tφI3 = 0.
Apr`es calculs ´el´ementaires (bas´es sur le calcul de det A B C D = detAdet(D−BA−1C)), on trouve detK = det((εµ(∂tφ)2− (∇φ)2)I3+ (∇φ)(∇φ)t) = εµ(∂tφ)2[εµ(∂tφ)2− (∇φ)2]. L’´equation eikonale est ´equivalente aux trois ´equations
∂tφ = c|∇φ|, ∂tφ =−c|∇φ|, ∂tφ = 0. Chacune est une feuille de la vari´et´e caract´eristique.
Etudions maintenant les ´equations sur a0. Pour φ donn´ee, telle que, en (x0, t0), Ker(L(x0, t0,∇xφ(x0, t0), ∂tφ(x0, t0))) (qui est un sous-espace de IRm) soit non r´eduit `a{0}, on suppose qu’il existe un voisinage V
de (x0, t0) tel que la codimension de Ker(L(x, t,∇xφ(x, t), ∂tφ(x, t))) soit constante. Dans ce cas, on peut ´ecrire
∀(x, t) ∈ V, a0(x, t)∈ Ker(L(x, t, ∇xφ(x, t), ∂tφ(x, t))), (2.2.5) d’o`u une premi`ere condition sur a0.
Nous remarquons que cette condition n’est pas une condition diff´erentielle sur a0, mais une relation entre les diff´erents coefficients. Nous avions d´ej`a remarqu´e ce ph´enom`ene pour le premier terme correspondant aux ´equations de Maxwell harmoniques. Cette relation est donc une g´en´eralisation de la condition de compatibilit´e obtenue dans la section 1.6. Pour simplifier les expressions, on note L(∂φ(x, t)) la matrice L(x, t,∇xφ(x, t), ∂tφ(x, t)), ´egale `a
∂φ
∂tA0(x, t) +Pj=d j=1
∂φ
∂xjAj(x, t). Elle ne suffit pas pour d´eterminer a0.
On d´etermine a0en ajoutant aux relations de compatibilit´e (2.2.5) les ´equations diff´erentielles que l’on obtient en annulant le terme suivant du d´eveloppement asymptotique W0. En effet, comme L(∂φ(x, t)) est non injective, la relation L(x, t, ∂x, ∂t)a0(x, t) = −iL(∂φ(x, t))a1(x, t) implique
L(x, t, ∂x, ∂t)a0(x, t)∈ ImL(∂φ(x, t)). (2.2.6) Les deux relations (2.2.5) et (2.2.6) forment un syst`eme de m ´equations `a m inconnues, constitu´e de
m− dim(Ker(L(∂φ(x0, t0)))) ´equations diff´erentielles d’ordre 1 et de
2.2. FORMALISME ASYMPTOTIQUE POUR LES SYST `EMES HYPERBOLIQUES 37 relations pour a0. On introduit π(x, t) la projection orthogonale sur KerL(∂φ(x, t)).
On d´emontre la proposition suivante
Proposition 2.2 On consid`ere une donn´ee initiale en temps a0(x, t0) v´erifiant π(x, t0)a0(x, t0) = a0(x, t0). Le vecteur a0(x, t) est la solution unique du syst`eme hyperbolique sym´etrique
[π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)π(x, t) + (I− π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π(x, t))]a0(x, t) = 0. (2.2.7) Elle v´erifie π(x, t)a0(x, t) = a0(x, t).
POur d´emontrer cette proposition, on utilise le lemme suivant
Lemme 2.1 On a les relations Imπ = KerL(∂φ(x, t)) et Kerπ = ImL(∂φ(x, t)). La restriction de L(∂φ(x, t)) `a Kerπ est inversible.
On utilise les hypoth`eses de la d´efinition 2.1. En effet, pour tout (x, t), l’op´erateur aux d´eriv´ees partielles est sym´etrique donc l’op´erateur lin´eaire L(∂φ(x, t)) est sym´etrique. Son noyau et son image sont donc en somme directe orthogonale. La restriction de L(∂φ(x, t)) `a son image est inversible.
L’´equation (2.2.5) est ´equivalente `a
π(x, t)a0(x, t) = a0(x, t). (2.2.8) Pour connaˆıtre a0, nous ajoutons aux relations de compatibilit´e (2.2.8) l’´equation de transport (2.2.6)
L(x, t, ∂x, ∂t)a0∈ ImL(∂φ(x, t)).
Cette ´equation de transport se r´e´ecrit π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)a0(x, t) = 0, ´equation ´equivalente `a π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)(π(x, t)a0(x, t)) = 0. (2.2.9) Remarquons que (2.2.9) est une ´equation sur l’espace vectoriel Imπ. Pour trouver a0, on montre Lemme 2.2 Le syst`eme d’´equations (2.2.8), (2.2.9) + une donn´ee initiale en temps a0(x, t0) v´erifiant π(x, t0)a0(x, t0) = a0(x, t0) est ´equivalent au syst`eme hyperbolique sym´etrique
[π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)π(x, t) + (I− π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π(x, t))]a0(x, t) = 0.
De ce lemme, on d´eduit imm´ediatement le r´esultat de la proposition (2.2). En effet le syst`eme hyperbolique sym´etrique (2.2.7) admet une solution unique pour toute donn´ee initiale, ce qui prouve le r´esultat d’unicit´e de la proposition.
L’´egalit´e π(x, t)a0(x, t) = a0(x, t) provient du fait que (I− π(x, t))a0(x, t) est solution de (2.2.7) pour une donn´ee initiale nulle, donc par l’unicit´e des solutions de (2.2.7) on en d´eduit que (I−π(x, t))a0(x, t) = 0 pour tout (x, t). Pour plus de commodit´e, on notera G(x, t, ∂x, ∂t) = π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)π(x, t) + (I− π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π(x, t)) qui intervient dans l’´egalit´e (2.2.7).
Preuve du lemme D’apr`es (2.2.5), (I− π(x, t))a0(x, t) = 0, donc (I− π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π(x, t))a0(x, t) = 0. On obtient donc, par addition de (2.2.9) `a cette ´egalit´e, l’´egalit´e (2.2.7).
La matrice coefficient de ∂t dans l’op´erateur G est ˜A0(x, t) = π(x, t)A0(x, t)π(x, t) + (I− π(x, t))A0(x, t)(I− π(x, t)). Comme A0(x, t) est d´efinie positive, ˜A0 est aussi d´efinie positive. En effet, d´ecomposons A0 sur Kerπ⊕ Imπ sous la forme
A11 0 (x, t) A12 0 (x, t) tA12 0 (x, t) A22 0 (x, t) , les matrices A11 0 (x, t) et A22
0 (x, t) ´etant sym´etriques. L’in´egalit´e A0 ≥ cId se traduit, en d´ecomposant u = (u1, u2), par l’in´egalit´e
tu1A110 (x, t)u1+tu2A220 (x, t)u2+ 2(tu1A120 (x, t)u2)≥ ctu1u1+ ctu2u2. Consid´erant successivement u2= 0 puis u1= 0, on trouve que A11
0 (x, t)≥ cId et A22 0 (x, t)≥ cId, donc la matrice
˜ A0(x, t) = A11 0 (x, t) 0 0 A22 0 (x, t) v´erifie ˜A0(x, t)≥ cId1.
De mˆeme, toutes les matrices π(x, t)Aj(x, t)π(x, t) sont sym´etriques positives si les Aj(x, t) le sont. Le syst`eme (2.2.7) est donc un syst`eme hyperbolique de Cauchy car l’op´erateur G est de Cauchy strictement hyperbolique en temps.
R´eciproque On suppose (2.2.7) satisfaite et on d´emontre que c0(x, t) = (I− π(x, t))a0(x, t) est solution de G(x, t, ∂x, ∂t)c = 0. Comme (I−π(x, t))2= (I−π(x, t)) et (I −π(x, t))π(x, t) = 0, l’´equation (2.2.7) conduit `a
(I− π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π(x, t))a0(x, t) = 0.
En utilisant cette relation dans l’´equation (2.2.7), on obtient [π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)π(x, t)]a0(x, t) = 0. En utilisant cette fois π2= π et (I− π)π = 0, on trouve successivement
[π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)π(x, t) + (I− π(x, t))L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π(x, t))](π(x, t)a0(x, t)) =
π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)π(x, t)a0(x, t) = 0.
Le vecteur π(x, t)a0(x, t) est donc solution du mˆeme syst`eme hyperbolique que a0 et de plus, π(x, t0)a(x, t0) = a(x, t0). Le r´esultat d’unicit´e rappell´e ci-dessous pour les syst`emes hyperboliques donne π(x, t)a0(x, t) = a0(x, t). Donc (2.2.7) + condition initiale implique `a la fois (2.2.8) et (2.2.9). Ceci ach`eve la preuve du lemme 2.2, puisque a0 est alors d´etermin´e de mani`ere unique.
On d´efinit la vitesse maximale c de sorte que la diff´erentielle de φ(x, t) ne s’annule pas sur Ω ={(t, x), 0 < t < T ≤ R/c, |x − a| < R − ct}.
Soit φ(x, t) une solution de l’´equation eikonale :
detL(x, t, ∂φ(x, t)) = 0.
On lui associe la projection orthogonale π(x, t) sur Imπ = KerL(∂φ(x, t)). On introduit alors l’inverse Q sur ImL(∂φ(x, t)) de l’op´erateur (I− π)L(∂φ(x, t))(I − π).
On recherche la solution des ´equations successives i) (condition initiale) bj(x, t0) = aj(x), pour j≥ 0 ii) (´equation d’imp´edance) L(∂φ(x, t))b0(x, t) = 0,
iii) (´equations de transport) iL(∂φ(x, t))bj(x, t) + L(x, t, ∂x, ∂t)bj−1(x, t) = 0.
La condition de compatibilit´e `a l’ordre j sur aj(x) est donn´ee, pour j ≥ 1, `a l’aide de la solution bj−1(x, t) des relations i), ii), iii) par
(I− π(x, t0))aj(x) = iQ(x, t0)[L(x, t, ∂x, ∂t)bj−1](x, t0). (2.2.10)
1Les matrices identit´es utilis´ees dans ce paragraphe ne sont pas ´egales, on voit respectivement intervenir l’identit´e sur Kerπ, l’identit´e sur Imπ et l’identit´e sur l’espace entier.
2.2. FORMALISME ASYMPTOTIQUE POUR LES SYST `EMES HYPERBOLIQUES 39 Th´eor`eme 2.1 On suppose que la condition de compatibilit´e initiale est v´erifi´ee
π(x, t0)a0(x) = a0(x). (2.2.11) On suppose que (2.2.10) est v´erifi´ee pour tout j et on se donne pour tout j la valeur de π(x, t0)aj(x) dans=π(x, t0).
Il existe une suite unique bj(x, t) de fonctions C∞( ¯Ω) v´erifiant i), ii), iii).
Preuve Nous ´etudions ici les ´equations de transport inhomog`enes. L’´equation de transport sur bj−1 est donc obtenue en annulant le terme d’ordre j du d´eveloppement asymptotique de l’´equation. Elle s’´ecrit
L(x, t, ∂x, ∂t)bj−1+ iL(∂φ(x, t))bj = 0.
La preuve du th´eor`eme se fait par r´ecurrence sur j. Elle est identique pour chaque j, on l’´ecrit donc pour l’obtention de b1. De l’´egalit´e
b1(x, t) = πb1(x, t) + (I− π)b1(x, t). (2.2.12) En rempla¸cant (2.2.12) dans l’´equation de transport et en utilisant L(∂φ(x, t))π(x, t) = 0, il vient
L(∂φ(x, t))(I− π)b1= iL(x, t, ∂x, ∂t)b0. L’´equation de transport est ainsi inhomog`ene. On en d´eduit
(I− π)L(∂φ(x, t))(I − π)b1(x, t) = i(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)b0(t, x).
La matrice (I− π)L(∂φ(x, t))(I − π) a pour noyau KerL(∂φ(x, t)). Le noyau et l’image de L(∂φ(x, t)) sont suppl´ementaires, elle est donc inversible dans Kerπ = ImL(∂φ(x, t)). On note son inverse partiel Q. On en d´eduit
(I− π)b1(x, t) = iQ(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)b0(x, t) (2.2.13) qui d´etermine donc (I− π)b1 en fonction de b0. Il reste `a d´eterminer πb1. Le syst`eme dont πb1
est solution `a partir de l’´equation sur b2 :
iL(∂φ(x, t))b2(x, t) + L(x, t, ∂x, ∂t)b1(x, t) = 0. Comme L(∂φ(x, t))b2(x, t)∈ ImL(∂φ(x, t)) on obtient
π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)b1(x, t) = 0. On utilise (2.2.13) et (2.2.12) pour avoir
π(x, t)L(x, t, ∂x, ∂t)[πb1(x, t) + iQ(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)b0] = 0. (2.2.14) D´eduisant de (2.2.13) l’´egalit´e
(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π)b1= i(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)Q(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)b0
et ajoutant (2.2.14) `a ces ´equations, on obtient le syst`eme hyperbolique suivant G(x, t, ∂x, ∂t)b1(x, t) = i(I− 2π)L(x, t, ∂x, ∂t)Q(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)b0.
Proposition 2.3 Soit a0(x) qui v´erifie π(x, t0)a0(x) = a0(x). On d´etermine b0(x, t) par la proposition 2.2. Sous la condition de compatibilit´e des donn´ees initiales
(I− π)a1(x) = iQ(x, t0)L(x, t, ∂x, ∂t)b0(x, t0), le syst`eme (I− π)b1= iQ(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)b0, πL(x, t, ∂x, ∂t)πb1=−iπL(x, t, ∂x, ∂t)(Q(L(x, t, ∂x, ∂t)b0), est ´equivalent `a G(x, t, ∂x, ∂t)b1= i(I− 2π)L(x, t, ∂x, ∂t)(Q(L(x, t, ∂x, ∂t)b0), b1(x, t0) = a1(x).
Il a donc une unique solution b1.
Preuve l’implication⇒ vient d’ˆetre d´emontr´ee. L’implication r´eciproque est la suivante. On suppose ainsi
G(x, t, ∂x, ∂t)b1(x, t) = i(I− 2π)L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π)QL(x, t, ∂x, ∂t)b0. (2.2.15) On remarque que πG(x, t, ∂x, ∂t) = πL(x, t, ∂x, ∂t)π et que (I − π)G(x, t, ∂x, ∂t) = (I − π)L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π). Ainsi, de l’´egalit´e (2.2.15), on d´eduit
πL(x, t, ∂x, ∂t)πb1(x, t) =−iπL(x, t, ∂x, ∂t)QL(x, t, ∂x, ∂t)b0,
(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π)b1= i(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)QL(x, t, ∂x, ∂t)b0. De la deuxi`eme ´equation de ce syst`eme, on d´eduit
(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)[(I− π)b1− iQL(x, t, ∂x, ∂t)b0] = 0. Comme I− π est l’identit´e sur l’image de Q et (I − π)2= I− π, on a
(I− π)L(x, t, ∂x, ∂t)(I− π)[(I − π)b1− iQL(x, t, ∂x, ∂t)b0] = 0.
Comme πQ = 0, on a πL(x, t, ∂x, ∂t)π[(I− π)b1− iQL(x, t, ∂x, ∂t)b0] = 0. Ainsi, pour tout t G(x, t, ∂x, ∂t)[(I− π)b1− iQL(x, t, ∂x, ∂t)b0] = 0.
La condition de compatibilit´e est la condition de Cauchy nulle pour ce syst`eme hyperbolique. On en d´eduit pour tout t que (I−π(x, t0))b1(x, t) = i[QL(x, t, ∂x, ∂t)b0]. On en d´eduit les deux ´egalit´es cherch´ees. La proposition est d´emontr´ee, ce qui d´emontre par r´ecurrence le th´eor`eme 2.1.
Remarque 1 Le syst`eme v´erifi´e par πb1 est
G(x, t, ∂x, ∂t)(πb1) =−iπLQLb0
et celui v´erifi´e par b1est
G(x, t, ∂x, ∂t)b1= i(I− 2π)LQLb0.
Ces deux syst`emes sont identiques uniquement lorsque L(QLb0) est dans Imπ = KerL(∂φ). La seule relation qu’implique le syst`eme sur b0 est π(Lb0) = 0, c’est-`a-dire Lb0 ∈ Kerπ = ImL(∂φ).
2.3. APPLICATION AUX ´EQUATIONS DE MAXWELL 41