La vari´et´e lagrangienne Λφ introduite dans la section 9.4.1 a une propri´et´e importante et contraignante : la projection canonique de T∗X sur X est inversible. Relaxer cette hy-poth`ese nous permettra de tenir compte des caustiques. En effet, en un point voisin de la caustique, la vari´et´e sera repr´esent´ee grˆace `a plusieurs phases, ce qui ´equivaut `a l’existence de plusieurs rayons passant par ce point. Les bicaract´eristiques correspondantes, quant `a elles, ne s’intersectent pas.
On consid`ere maintenant un op´erateur P sur C∞(X), de symbole principal p(x, ξ). Si P est un op´erateur diff´erentiel, une phase φ est solution de l’´equation eikonale associ´ee `a P lorsque p(x, dφ(x)) = 0. En d’autres termes, Λφ⊂ Car(P ).
Une g´en´eralisation de ce r´esultat a ´et´e d´emontr´ee dans le chapitre pr´ec´edent (lemme 9.1) pour les op´erateurs pseudo-diff´erentiels.
Dans ce chapitre, nous ´etudions les vari´et´es lagrangiennes associ´ees `a un op´erateur diff´erentiel ou pseudo-diff´erentiel. On les appelle des solutions lagrangiennes de l’´equation ca-ract´eristique de l’op´erateur P . La vari´et´e caract´eristique (ou ´equation caract´eristique) est d´efinie par p(x, ξ) = 0, p ´etant le symbole principal de l’op´erateur pseudo-diff´erentiel P . Ces vari´et´es lagrangiennes sont la g´en´eralisation des vari´et´es Λφ o`u φ est solution de l’´equation eikonale p(x,∇xφ) = 0.
D´efinition 10.1 Une solution lagrangienne Λ de p = 0 est une vari´et´e – maximale (dimT(x0,ξ0)Λ = dimTx0(X)),
– isotrope (σ|Λ= 0),
– solution (p|Λ= 0). On omettra parfois p = 0 pour n’´ecrire que p.
Nous avons remarqu´e que le symbole principal est invariant sur les courbes int´egrales du chap hamiltonien. On en d´eduit le premier alin´ea de la proposition 10.1 :
Proposition 10.1 1. Si une courbe bicaract´eristique rencontre la vari´et´e caract´eristique, elle est contenue dans la vari´et´e caract´eristique,
2. Si une courbe bicaract´eristique de p rencontre en un point une solution lagrangienne Λ de p, alors elle est contenue dans Λ.
Une version plus faible du deuxi`eme alin´ea de la proposition 10.1 est :
Proposition 10.2 Soit φ une solution de l’´equation eikonale. Si une courbe bicaract´eristique rencontre Λφ, elle est contenue dans Λφ.
Preuve de la proposition 10.2 Nous consid´erons un symbole polynˆome homog`ene d’ordre 2, p(x, ξ) =P
i,jai,j(x)ξiξj. On suppose que les donn´ees de Cauchy des ´equations de Hamilton (9.2.9), (x0, ξ0), v´erifient ∇φ(x0) = ξ0 o`u φ est solution de p(x,∇xφ(x)) = 0. On note
exp(sHp(x0, ξ0)) = (x(s),∇φ(x(s)))
la solution de (9.2.9), notation utilis´ee car exp(sHp(x0, ξ0)) est la solution de l’´equation de Cauchy1 d
ds(ρ(s)) = Hp(ρ(s)), ρ(0) = ρ0. L’´equation satisfaite par φ est :
p(x,∇φ(x)) = 0 (10.1.1)
En la d´erivant par rapport `a chaque variable, on trouve (∂xip +X
j
∂x2ixjφ∂ξjp)|Λφ = 0. (10.1.2) Soit ωi(s) = ξi(s)− ∂xiφ(x(s)). On remarque que ω(0) = 0. D´emontons que ω est solution d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires. On v´erifie que
−dωdsi = ∂xip(x(s), ξ(s))−X
j
∂x2jxiφ(x(s))∂ξjp(x(s), ξ(s)).
Exprimant la relation (10.1.1) au point x(s), et retranchant l’´egalit´e obtenue `a l’´equation donnant dωi ds, on obtient : −dωi ds = −P j∂x2jxiφ(x(s))[∂ξjp(x(s), ξ(s))− ∂ξjp(x(s),∇φ(x(s)))] +∂xip(x(s), ξ(s))− ∂xip(x(s),∇φ(x(s))). Utilisant ξiξj− ηiηj= ηj(ξi− ηi) + (ξi− ηi)(ξj− ηj) + ηi(ξj− ηj), on trouve : −dωi ds = P j,k∂xiaj,k(x(s))ωj(s)ωk(s) +P j,k∂xiaj,k(x(s))(ξj(s)ωi(s) + ξi(s)ωj(s)) −2P j,k∂2 xjxiφ(x(s))aj,k(x(s)ωk(s). qui se met sous la forme condens´ee dω
ds = A(s)ω(s)− B(s)(ω(s), ω(s)). Comme ω(0) = 0, le th´or`eme de Cauchy-Lipschitz donne ω(s) = 0. On note pour compl´eter la preuve que les fonctions employ´ees sont bien d´efinies pour s ∈ [0, T∗]. On se place alors `a T < T∗, et on v´erifie que le probl`eme de Cauchy admet une solution pour s < s0 dont le temps d’existence s0d´epend des solutions sur [0, T ]. Il ne d´epend donc pas du point initial. On peut alors reproduire l’argument pr´ec´edent avec pour donn´ees initiales (x(s0), ξ(s0)). On conclut `
a l’´egalit´e ξ(s) = ∇φ(x(s)) pour 0 ≤ s ≤ 2s0. On peut continuer l’argument jusqu’`a [0, T ], puisque l’intervalle o`u l’´egalit´e est vraie a ´et´e prolong´e d’une quantit´e fixe.
Dans le cas o`u le symbole n’est plus polynˆomial, par utilisation d’une formule de Taylor avec reste int´egral, on trouve que ∂xip(x(s), ξ(s))−∂xip(x(s),∇φ(x(s))) = Gi(x(s), ξ(s),∇φ(x(s))).ω(s) et ∂ξjp(x(s), ξ(s))− ∂ξjp(x(s),∇φ(x(s))) = Rj(x(s), ξ(s),∇φ(x(s))).ω(s) et le syst`eme s’´ecrit
˙ω = H(s).ω(s), H ´etant connu `a l’aide des fonctions explicites x(s), ξ(s) et φ(x), donc le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz s’applique encore.
Preuve de la proposition 10.1 L’alin´ea 2 de la proposition 10.1 se d´emontre en utilisant la maximalit´e de la vari´et´e isotrope en (x0, ξ0). Il existe donc un syst`eme de coordonn´ees y = (y1, ..yn) tel que Λ s’´ecrive, au voisinage de (x0, ξ0), {(x(y), ξ(y)), y ∈ IRn∩ V }. Nous utilisons les deux relations
p(x(y), ξ(y)) = 0 ω|Λ= 0
1Cette notation est facile `a comprendre ; lorsque Hpest une fonction scalaire Hp(ρ(s)) = a(ρ(s)), le probl`eme de Cauchy ci-dessus a pour solution a(ρ(s)) = a(ρ0)es.
10.1. D ´EFINITION DES SOLUTIONS LAGRANGIENNES 169 L’´egalit´e ω|Λ= 0 s’´ecrit X i ∂ξi ∂yj ∂xi ∂yk −X i ∂ξi ∂yk ∂xi ∂yj = 0 (10.1.3)
(ceci est l’´equivalent, lorsque x(y) = y, de ∇ ∧ ξ(x) = 0, d’o`u ξ(x) = ∇ψ(x).) La vari´et´e est lagrangienne maximale. La diff´erence avec les expressions pr´ec´edentes est que la relation x(y) n’est pas forc´ement inversible (la projection canonique dans ce cas ci n’est pas surjective). Cependant, comme la vari´et´e est maximale, il existe un sous-ensemble de (x(y), ξ(y)), not´e (x0(y), ξ”(y)), o`u x0 comporte p coordonn´ees en ξ00comporte q coordonn´ees telles que p + q = n. On a det(Jac(x0(y), ξ”(y))) 6= 0 en y = 0. On d´efinit alors J−1 l’application telle que y =J−1(x0(y), ξ”(y)).
Notons que ce choix n’est pas le seul possible. On fixe ainsi un choix de variables x et de variables ξ qui soit bijectif. On appelle, pour ce choix, J1l’ensemble des indices correspondant aux coordonn´ees de x0(y) et J2l’ensemble des indices correspondant aux coordonn´ees de ξ”(y). Si J1∩J2=∅, on passe directement `a l’´etude de la vari´et´e, sachant ainsi que J1∪J2={1, .., n}.
Si J1∩ J2= J 6= ∅, les coordonn´ees formant un syst`eme libre sont alors [(xj)j∈J1\J, (xj)j∈J, (ξj)j∈J, (ξj)j∈J2\J].
On note (unions disjointes)
{1, .., n} = J1∪ K1,{1, .., n} = (J1\J) ∪ J ∪ (J2\J) ∪ K2+, K2= (J1\J) ∪ K2+. Soit k∈ K1. Par le th´eor`eme d’inversion locale s’appuyant sur le fait que la famille (x0, ξ”) est maximale, il existe une fonction Xk telle que
xk(y) = Xk[(xj)j∈J1\J, (xj)j∈J, (ξj)j∈J, (ξj)j∈J2\J]. De mˆeme, pour l∈ K2, il existe une fonction Ξl telle que
ξl(y) = Ξl[(xj)j∈J1\J, (xj)j∈J, (ξj)j∈J, (ξj)j∈J2\J]. Soit p ∈ J. Alors, pour k ∈ K1, {xp, xk} = ∂xk
∂ξp = 0, et donc les fonctions Xk sont ind´ependantes des variables ξp, p∈ J. Comme de plus, {ξp, xk} = 0 car J ∩ K1=∅, on trouve que Xk ne d´epend pas des variables ξp, p∈ J. Un raisonnement identique conduit `a affirmer l’ind´ependance des variables ξl pour l∈ K2 des (xp, ξp), p∈ J. On ´ecrit
xk(y) = Yk[(xj)j∈J1\J, (ξj)j∈J2\J]. ξl(y) = Σl[(xj)j∈J1\J, (ξj)j∈J2\J]. La vari´et´e lagrangienne s’´ecrit donc (localement)
Λ ={ [(xj)J1\J, (xj)J, (Yk[(xj)J1\J, (ξj)J2\J])k∈K1, (Σl[(xj)J1\J, (ξj)J2\J])l∈J1\J
, (ξp)J, (ξl)J2\J, (Σl[(xj)J1\J, (ξj)J2\J])l∈K+
2] }.
Ainsi on remarque que localement Λ = ˜Λ× IR2dimJ, o`u ˜Λ est une vari´et´e lagrangienne dans IRn−dimJ (ne d´ependant que des coordonn´ees (xj)j∈J1\J, (ξj)j∈J2\J). On s’est ramen´e au cas ´el´ementaire o`u J1\J ∩ J2\J = ∅, et o`u les coordonn´ees ind´ependantes sont de la forme (x0, ξ”) (aucun indice commun). C’est celui que nous consid`ererons maintenant.
Soit (X(s), Ξ(s)) la courbe bicaract´eristique telle que (X(0), Ξ(0)) = (x0, ξ0) = (x(0), ξ(0)). La fonction y(s) d´efinie par
existe au voisinage de y = 0 donc de s = 0 puisque dans ce voisinage, on a un diff´eomorphisme (y(s) =J−1(X0(s), Ξ”(s))).
Notons (V (s), W (s)) le vecteur (x(y(s)), ξ(y(s))− (X(s), Ξ(s)). Par construction, il a la moiti´e de ses composantes nulles.
On v´erifie l’´egalit´e : P l ∂ξl ∂ym(y(s))dVl ds −P l0 ∂xl0 ∂ym(y(s))dWl ds = P l,j ∂ξl ∂ym ∂xl ∂yj dyj ds −P l ∂ξl ∂ym(y(s))∂ξ∂pl(X(s), Ξ(s)) −P l0,j ∂xl0 ∂ym(y(s)∂ξl0 ∂yj(y(s))dyj ds −P l0 ∂xl0 ∂ym(y(s))∂x∂p l0(X(s), Ξ(s)) (10.1.4)
En utilisant l’´egalit´e (10.1.3), valable sur Λ, on ´echange les d´eriv´ees en m et j dans le pre-mier terme du membre de droite. On en d´eduit l’´egalit´eP
l,j ∂ξl ∂ym ∂xl ∂yj dyj ds =P l0,j ∂xl0 ∂ym(y(s)∂ξl0 ∂yj(y(s))dyj ds. Pour les autres termes, on d´erive par rapport `a tout yj, 1≤ j ≤ n, l’´egalit´e p|Λ= 0. Alors
[X j ∂p ∂xj p∂xj ∂ym +X n0 ∂p ξn0p.∂ξn0 ∂ym ]|(x(y(s)),ξ(y(s)))= 0. On ajoute ces relations `a l’´egalit´e (10.1.4) pour obtenir
P l ∂ξl ∂ym(y(s))dVl ds −P l0 ∂xl0 ∂ym(y(s))dWl ds = P l ∂ξl ∂ym(y(s))∂ξ∂p l(x(y(s), ξ(y(s)))−P l ∂ξl ∂ym(y(s))∂ξ∂p l(X(s), Ξ(s)) +P l0 ∂xl0 ∂ym(y(s))∂x∂p l0(x(y(s)), ξ(y(s)))−P l0 ∂xl0 ∂ym(y(s))∂x∂p l0(X(s), Ξ(s)).
On a donc n ´equations (1≤ m ≤ n), et 2n inconnues dont n sont nulles par hypoth`ese. L’hypoth`ese de maximalit´e entraˆı ne que
∂ξ” ∂ym(y(s)).dV ” ds −∂y∂x0 m(y(s))dW 0 ds = Tm(s)
est un syst`eme inversible. On peut alors ´ecrire les ´equations v´erifi´ees par (V ”(s), W0(s)) sous la forme
d
ds(V ”(s), W0(s)) = C(s, V ”(s), W0(s)).(V ”(s), W0(s)) V ”(0) = 0, W0(0) = 0
qui est `a nouveau un probl`eme de Cauchy. Son unique solution est (V ”(s), W0(s)) = 0.
10.2 Repr´esentation des solutions lagrangiennes par des
phases
10.2.1 Solution lagrangienne maximale associ´ee `a une phase
Nous pr´ecisons ici la notion que nous avions ´evoqu´ee dans le chapitre 3 lors du calcul du d´eveloppement asymptotique de la solution des ondes avec condition donn´ee sur une hyper-surface Σ0. En fait, nous avions consid´er´e sur Σ0 l’ensemble des points (y,∇φ(y)), y ∈ Σ0(o`u il se trouvait que Σ0 ´etait une courbe isovaleur de φ).
On consid`ere un op´erateur pseudo-diff´erentiel p sur X, vari´et´e de dimension n. On se donne une hypersurface S dans X et une phase φ0 (fonction r´eguli`ere) d´efinie sur S. On note l l’injection naturelle de T∗S dans T∗X. On note aussi π la projection naturelle de {(x, ξ), x ∈ S, ξ ∈ TxX} vers T∗S, d´efinie comme π(x, ξ) = (x, ζ) o`u la forme lin´eaire ζ sur TxS est la restriction de ξ `a TxS. On suppose que π−1{(x, dφ0(x)} ∩ Carp 6= ∅. On suppose en outre que le champ hamiltonien Hp est transverse `a l(ΛS
φ0) en ρ0∈ l(ΛS
φ0)∩ Carp.
Alors la solution lagrangienne maximale associ´ee `a S et `a φ0 au voisinage de ρ0 est not´ee Λ(φ0), et est l’union des courbes bicaract´eristiques issues d’un point de π−1(ΛS
10.2. REPR ´ESENTATION DES LAGRANGIENNES 171