φ(z, θ) = φ1(yc, θ) + φ2(z, wc)− yc.wc. Il en d´ecoule que
∂θφ(z, θ) = ∂˜ θφ1(z, θ) + ∂θyc[∂yφ1(yc, θ)− wc] + ∂θwc[∂wφ2(z, wc)− yc] = ∂θφ1(yc, θ). De mˆeme ∂zφ(z, θ) = ∂˜ zφ2(z, wc). Les deux points deC1 et deC2 sont respectivement
(yc, wc; ∂θφ(z, θ), θ) et (z, ∂˜ zφ(z, θ); y˜ c, wc).
On reconnaˆı t ainsi le point de T∗(X × Z) ´egal `a ((∂θφ(z, θ), θ); (z, ∂˜ zφ(z, θ))). Il est alors˜ ´el´ement de la relation canonique C1◦ C2.
La condition de transversalit´e est ´equivalente `a la non d´eg´en´er´escence du point critique. Le calcul de phase stationnaire conduit `a un symbole, dont l’ordre est la somme des ordres, et qui est le produit des symboles. Nous avons ainsi esquiss´e la preuve du th´eor`eme 9.2, qui est le th´eor`eme 4.2.2 de [47], repris dans le th´eor`eme 11.12 de [42].
9.5 Exercices du chapitre 9
Exercice 9.0 Montrer que seul un voisinage compact en y, conique en η des points critiques de la phase (x− y).η + φ(y) contribue `a l’int´egrale de la proposition 9.1. Montrer aussi que cette analyse est vraie pour le calcul de P (A(u)) dans la Proposition 9.2
9.5. EXERCICES DU CHAPITRE 9 161 Exercice 9.2 : suite du probl`eme sur l’op´erateur mod`ele de Friedlander de la section 6.3 6) On se donne un point ρ0 = (0, 0, 0, ξ0, η0
1, η0
2) ∈ T∗(IR+× IR2)∩ Car(p). D´eterminer la bicaract´eristique de l’op´erateur P d´efini par (6.3.6) passant par ρ0. Pour cela, on d´efinira
q(x, η1, η2) = (1 + x)η12− η2 2
et on exprimera ces courbes `a l’aide de S(x, η1, η2) =
Z x 0
(q(u, η1, η2))12du. 7) On introduit la fonction, d´efinie sur IR+× IR2× IR2, par
φ(x, y1, y2, θ1, θ2) = y1θ1+ y2θ2− S(x, θ1, θ2)sign(θ1).
D´emontrer que les bicaract´eristiques issues de l’origine dans y1> 0 forment l’ensemble Σ ={(x, y, ξ, η) ∈ T∗(IR+× IR2), x > 0,|θ1| ≥ |θ2|,
ξ = ∂xφ(x, y, θ) η =∇yφ(x, y, θ) ∇θφ(x, y, θ) = 0
}
8) D´emontrer que le support singulier de l’op´erateur de Fourier int´egral K(2) de symbole a2(x, θ) et de phase l(x, y, Y, θ) = (y − Y )θ − 2
3(ξ32 − ξ32
0) est inclus dans la r´eunion des bicaract´eristiques issues de l’origine dans y1> 0.
Preuve de l’exercice 9.0 On fixe un compact K dans la variable x, et on consid`ere ψ∈ C∞ 0 (K). On introduit aussi ˜φ(y) ´egale `a 1 sur le compact B(K, 1) ={z, d(z, K) ≤ 1}, de support inclus dans B(K, 2). On calcule la distribution
A(x, k) = Z
IR2d
eik((x−y)η+φ(y))a(y, k)p(x, η, k)dydη
en consid´erant son action sur la fonction test ψ. On consid`ere, de plus, une fonction test χ sur IR qui localise au voisinage de 0. On tronque l’int´egrale en η en supprimant un voisinage de η = 0. La distribution obtenue est not´ee At.
Soit
I =< At, ψ >= R
IR3deik((x−y)η+φ(y))φ(y)a(y, k)p(x, η, k)ψ(x)(1˜ − χ(|η|))dxdydη +R
IR3deik((x−y)η+φ(y))(1− ˜φ(y))a(y, k)p(x, η, k)ψ(x)(1− χ(|η|))dxdydη Le premier terme de cette somme est not´e I1et le deuxi`eme terme est not´e I2.
´
Etudions d’abord le deuxi`eme terme. Comme At est une int´egrale ne η ne contenant pas un voisinage de 0, on peut ´ecrire le deuxi`eme terme apr`es int´egrations par parties en x. Il n’y aura pas de termes de bord car la fonction ψ est `a support compact. Ainsi on introduit l’op´erateur L ´egal `a
L =X j ηj |η|2 ∂ ∂xj
qui v´erifie L(eikη(x−y)) = ikeikη(x−y). Ainsi, son op´erateur transpos´e ´etant not´etL, et c’est aussi un op´erateur diff´erentiel, on trouve
I2= (ik)−M Z
IR3d
eik((x−y)η+φ(y))(1− ˜φ(y))a(y, k)(tL)M[p(x, η, k)ψ(x)](1− χ(|η|))dxdydη. Cette int´egrale est absolument convergente en η d`es que M > m + d + 1, apr`es avoir suppos´e a int´egrable. On s´epare l’int´egrale en η en deux termes, not´es IR
2 et I3, avec
I3= (ik)−M Z
|η|≥R
L’in´egalit´e M > m + d + 1 suffit pour affirmer qu’il existe une constante C ind´ependante de R telle que I3≤C
R.
On introduit l’op´erateur D dont l’op´erateur transpos´e en η est
tD =X j xj− yj |x − y|2 ∂ ∂ηj .
Cet op´erateur est r´egulier sur le support de (1− ˜φ(y)ψ(x), puisque x∈ K et y ∈ C(B(K, 1)), ainsi |x−y| ≥ 1. Des int´egrations par parties successives dans I2Rconduisent `a des termes de bord en O(1
R), et `a un terme int´egral dans lequel on peut r´ealiser autant d’int´egrations par parties que l’on souhaite. Finalement
“Pour tout N > 0, il existe deux constantes CN et DN telles que I2≤CkNN +DN
R
et donc le terme I2 est n´egligeable dans le calcul de phase stationnaire”.
Enfin, on supprime un voisinage en η du compl´ementaire de{∇yφ(y), y∈ B(K, 2)}. On a le droit de le faire car ces points ne contribuent pas `a la phase. On s’est ainsi ramen´e `a un voisinage compact en y et conique en η des points critiques. La m´ethode est identique lorsque la phase est (x−y).θ +s(y, η). Cette d´emonstration est une cons´equence du r´esultat abstrait suivant :
Lemme 9.4 (Corollary 1.1.12 de H¨ormander [46]) Soit L une application lin´eaire des fonctions de C∞(X× IRn), s’annulant pour|θ| grand, sur un espace de Fr´echet F . On suppose que L est continue pour la topologie de Sm(X× IRn). Alors L admet une unique extension continue sur Sm(X× IRn)
On peut rendre le support compact en θ grˆace au r´esultat de convergence de la proposition 6.1, o`u on a prouv´e{´eque si a∈ Sm
ρ,δ, alors a(x, θ)χ(θj) converge vers a dans la topologie de Sm0 ρ,δ pour m0> m. On applique ensuite le lemme pour d´efinir l’extension une fois le calcul asymptotique fait avec le symbole tronqu´e.
Preuve de l’exercice 9.1 Pour le premier alin´ea, on sait que (x0, ξ0) /∈ W F (u) lorsqu’il existe un op´erateur pseudo-diff´erentiel Op(a) d’ordre 0, tel que a0(x0, ξ0)6= 0, v´erifiant Op(a)u ∈ C∞.
On v´erifie alors que y→ Op(a)u ◦ χ−1(y) est une fonction C∞, et comme (Op(a)u)◦ χ−1) = Op(a0)(u◦ χ−1)
avec a0(χ(x), η) calcul´e par la proposition 8.10, on v´erifie que le symbole principal de a0 est a00(χ(x), η) = a0(x, χ0(x)η)
ce qui entraˆıne que a0est un symbole d’ordre 0, et que a0
0(χ(x0), (χ0(x0))−1ξ0) = a0(x0, ξ0)6= 0. Il existe un op´erateur pseudo-diff´erentiel d’ordre 0, Op(a0), dont le symbole est non nul en hχ(x0, ξ0), tel que Op(a0)(u◦ χ−1)∈ C∞. Donc hχ(x0, ξ0) /∈ W F (u ◦ χ−1).
R´eciproquement, comme hχ−1= (hχ)−1, hχ(x0, ξ0) /∈ W F (u ◦ χ−1)⇒ (x0, ξ0) = hχ−1(hχ(x0, ξ0) /∈ W F ((u ◦ χ−1)◦ χ) = W F (u). On a prouv´e l’´egalit´e hχ(W F (u)) = W F (u◦ χ−1). L’´egalit´eP jχ0kj(x)dxj= d(χk(x)) permet d’obtenir χ0kj(x) = ∂xjχk(x). Supposons (x(s), ξ(s)) solution du syst`eme
dx ds = ∂ξpm(x(s), ξ(s)) dξ ds =−∂xpm(x(s), ξ(s)). On introduit y(s) = χ(x(s)) et η(s) = (tχ0)−1(x(s))ξ(s). On a donc ξ(s) =tχ0(x(s))η(s), donc, utilisant χ0 kj(x) = ∂xjχk,
9.5. EXERCICES DU CHAPITRE 9 163 dξj ds = d ds( X k ∂xjχk(x(s))ηk(s)) =X k,l ∂2xjxlχk(x(s))ηk(s)dxl ds + X k ∂xjχk(x(s))dηk ds, et donc −∂xjpm(x(s), ξ(s)) =X k,l ∂x2jxlχk(x(s))ηk(s)∂ξlpm(x(s), ξ(s)) +X k ∂xjχk(x(s))dηk ds . Ceci se r´e´ecrit −X k ∂xjχk(x(s))dηk ds = ∂xjpm(x(s), ξ(s)) +X k,l ηk(s)∂2xjxlχk(x(s))∂ξlpm(x(s), ξ(s)).
La matrice inverse detχ0, not´ee A(x), est caract´eris´ee Ajk(x) telle que X j Apj(x)χ0jk(x) = δpk. On obtient −X j X k Apjχ0kj dηk ds = X j Apj∂xjpm+X j,k,l Apj∂x2jxlηk(s)χk∂ξlpm. On a donc −dηdsp =X j Apj(x(s)∂xjp(x(s), ξ(s)) +X j,k,l (tχ0)−1pj(χ−1(y(s)))∂x2jxlχkηk(s)∂ξlpm. Comme on a la relation
qm(y, η) = pm(χ−1(y),tχ0(χ−1(y)η), on v´erifie que ∂ypqm(y, η) =X j ∂yp(χ−1)j)(y)∂xjpm+X j,k,l ∂x2jxlχk(χ−1(y))ηk∂ξlpm∂xj(χ−1(y)).
En comparant, on obtient le r´esultat dηp(s)
ds =−∂ypqm(y(s), η(s)). (9.5.17) Le r´esultat sur dyp
ds s’obtient en notant que dyp ds = X j ∂yj(χ−1)j dxj ds = X j ∂yj(χ−1)j∂ξjpm(x(s), ξ(s)) = ∂ηpqm(y(s), η(s). (9.5.18)
On a donc montr´e que (y(s), η(s)) est la bicaract´eristique de qmissue du point (y0, η0).
Le r´esultat pour la phase solution de l’´equation eikonale est plus simple encore ; il provient de l’´egalit´e du gradient
∇y(φ◦ χ−1) = (χ0)−1(χ−1(y))(∇xφ)(χ−1(y)). Choisissant y = χ(x) dans cette ´egalit´e, on obtient
qm(y,∇y(φ◦ χ−1)) = qm(χ(x), (χ0)−1(x)∇xφ(x)) = pm(x,∇xφ(x)) = 0. (9.5.19) Ces ´egalit´es impliquent que le front d’onde, les bicaract´eristiques, et la vari´et´e des{(x, ∇xφ)} pour φ solution de l’´equation eikonale sont transport´es par hχ dans le changement de variable sur IRd
× IRd induit par le changement de variable sur IRd donn´e par χ. C’est un changement de variable symplectique. Montrons qu’il laisse invariant la forme symplectique dy∧ dη. De l’´egalit´e
dy∧ dη = d(χ(x)) ∧ d(t(χ0)−1(x)η) = (X j,k χ0kjdxj)∧ (X j,k ∂xj(t(χ0)−1)kηkdxj+X j,k (t(χ0)−1)jkdηk)
utilisant la commutation des d´eriv´ees en x dans les d´eriv´ees secondes de χ, il ne reste pas de terme en dxj∧ dxk. Quant aux termes en dxj∧ dηk, leur coefficient estP
lχ0
lj((χ0)−1)lk= δjk. On a v´erifi´e
dy∧ dη = dx ∧ dξ. (9.5.20)
On dit que hχest un changement de variable symplectique sur IRd× IRd, et on identifie dans ce cas IRd
× IRd `a T∗(IRd), espace muni de la forme symplectique d(ξdx) qui est invariant en g´eom´etrie par les transformations hχ.
Plus g´en´eralement, un changement de variable symplectique est associ´e `a un diff´eomorphisme (x, ξ)→ (h1(x, ξ), h2(x, ξ)) tel que (X j ∂xjh1dxj+X j ∂ξjh1dξj)∧ (X j ∂xjh2dxj+X j ∂ξjh2dξj) =X k dxk∧ dξk. Ceci donne les conditions n´ecessaires et suffisantes :
∂xih1∂xkh2− ∂xkh1∂xjh2= 0 ∂ξih1∂ξkh2− ∂ξkh1∂ξjh2= 0 ∂xih1∂ξkh2− ∂ξkh1∂xih2= δij
qui traduisent que les crochets de Poisson des h soient nuls.
Solution de l’exercice 9.2 6) Le symbole principal de l’op´erateur de Friedlander (6.3.6) est p(x, ξ, y1, y2, η1, η2) =−ξ2+ (1 + x)η12− η22= q(x, η1, η2)− ξ2.
Les bicaract´eristiques sont d´efinies par le syst`eme ˙x =−2ξ ˙ξ = −η2 1 ˙y1= 2(1 + x)η1 ˙y2=−2η2 ˙η1= 0 ˙η2= 0. Le symbole est nul sur la bicaract´eristique, donc
(ξ(s))2= q(x(s), η(s)) En particulier, pour s = 0, on trouve η12≥ η2
2puisque ξ0est d´efini. De plus, η1et η2sont constants sur les bicaract´eristiques. Il existe donc ε =±1 tel que
ξ(s) = εq(x(s), η).
Comme l’op´erateur est d´efini pour x≥ 0, on a, grˆace `a l’´egalit´e ˙x = −2ξ, directement s ≤ 0 et ε = +1 ou s≥ 0 et ε = −1.
On a de plus q(x(s), η)≥ q(0, η) ≥ 0. Pour x(s) > 0, ce qui se produit lorsque ξ(0) < 0, q > 0. Il est impossible, puisque (ξ0, η0
1, η0
2)6= (0, 0, 0) que q soit nul partout, Donc q > 0 hors du point origine mˆeme si il est nul au point origine. On v´erifie que ξ est donc non nul, donc ˙x est non nul, et x peut ˆetre choisi comme nouvelle variable. On se place dans un premier temps pour η12> η22, et ensuite, par continuit´e dans les expressions, on peut ´etendre les r´esultats `a η2
1= η2 2. On obtient dy1 dx =−ε(1 + x)η1(q(x, η))−1 2 dy2 dx = εη2(q(x, η))−12. Ce syst`eme est exactement dyj
dx = −1
2ε(q(x, η))−12∂ηjq(x, η), qui se r´e´ecrit dyj
dx =−ε∂ηj(q(x, η))12). Utilisant la fonction S, on trouve dyj
dx = d
dxε∂ηjS(x, η). On en d´eduit l’´egalit´e yj(x) =−ε∂η∂S
j
9.5. EXERCICES DU CHAPITRE 9 165 La fonction S est explicite. Il s’agit de calculer
Z x 0 ((1 + u)η12− η22)12du = [ 2 3η2 1 ((1 + u)η22− η21)32]x0 = 2 3η2 1 [((1 + x)η22− η21)32 − (η22− η12)32]. Comme de plus le signe de dy1
dx est celui de −εη1 et que l’on n’est concern´e que par les bica-ract´eristiques dans x > 0 qui v´erifient y1 > 0, on sait que ε est le signe de −η1. Ceci permet de justifier l’introduction de la fonction φ(x, y, θ).
7) On v´erifie que la relation∇θφ(x, y, θ) = 0 implique yj = sign(θ1)∇θjS(x, θ)
On v´erifie de plus que l’expression η =∇yφ implique que η = θ, et la relation ξ =∇xφ implique ξ =−sign(θ1)(q(x, θ))12. Toutes ces relations conduisent `a
θ = η, y(x) = sign(η1)∂ηS(x, η), ξ =−sign(η1)(q(x, η))12.
Le point de Σ consid´er´e est alors le point sur la bicaract´eristique issue de (0, 0, 0,−sign(η1)(η2 1 − η2
2)12, η1, η2) d’abscisse x. R´eciproquement, un point d’une bicaract´eristique issue de l’origine est dans Σ.
8) Cette d´emonstration est une adaptation facile de la d´emonstration de la proposition 7.2. On se donne une fonction χ `a support compact dans IR+× IR2. On ´ecrit
(K(2), χ) = limε→0 1 (2π)2
Z
a2(x, y, θ)σε(θ)exp(−23(ξ32− ξ32
0))χ(x, y)eiy.θdxdydθ. On d´efinit le cˆone contenu dans Σ :
Γ1={(ξ, η1, η2)∈ IR3, ξ = ∂xφ, η =∇yφ = θ, (x, y)∈ suppχ, η12≥ η22> 0}. On v´erifie tout d’abord que
2 3(Z
3 2− Z32
0) = S(x, θ1, θ2)
(ce sont les quantit´es Z et Z0 introduits dans le 1) de la section 6.3. On rappelle aussi que sur le support de a2,
−23(ξ32− ξ32
0) =−23isign(θ1)(Z32− Z32
0). Il reste donc, au sens des distributions et `a une troncature pr`es
(K(2), χ) =(2π)12
R
a2(x, y, θ)χ(x, y)eiy.θ−isign(θ1)S(x,θ)dxdydθ = 1
(2π)2
R
a2(x, y, θ)χ(x, y)eiφ(x,y,θ)dxdydθ Nous calculons ξ− ∂xφ. Nous trouvons ainsi
ξ−3θ22 1 3θ2 1 2 ((1 + x)θ 2 1− θ22)12 = ξ− ((1 + x)θ21− θ22)12.
De mˆeme, ∂yφ = θ. On suppose (ξ, η)∈ Γ2 tel que Γ2∩ Γ1=∅. Il existe C > 0 tel que mod(x, y, ξ, η) = (ξ− ∂xφ)2+|η − ∇yφ|2≥ C(|θ| + |ξ| + |η|)2.
L’op´erateur M dont l’adjoint est
t
M = (mod(x, y, ξ, η))−1[(ξ− ∂xφ)∂
∂x+ (η− ∇yφ). ∂ ∂y]
est alors un op´erateur ad´equat pour le th´eor`eme de la phase non stationnaire, et on a ei(φ(x,y,θ)−xξ−y.η)=
tM ei(φ(x,y,θ)−xξ−y.η).
On v´erifie ainsi que l’int´egrand dans (K(2), χ) peut ˆetre rempla¸c´e, pour tout p par Mk(a2χ). On utilise le r´esultat de r´egularit´e sur le symbole a2 ∈ S0
1 3,2
3 pour conclure que cette int´egrale est d´ecroissante aussi rapidement que toute puissance de (|ξ| + |η|)−1.
Il vient donc que
Γ2∩ Γ1=∅ ⇒ suppχ ∩ W F (K(2)) =∅. Nous avons achev´e la preuve de cet exercice.