1,0, qui nous sera utile par la suite : le symbole troncature. Consid´erons une fonction χ∈ C∞(IRd), telle que χ(θ) = 1 pour|θ| ≤ 1/2 et χ(θ) = 0 pour|θ| ≥ 1.
Le symbole χj(θ) = χ(θj) est born´e dans S1
1,0(X× IRd). En effet, lorsque l’on calcule ∂θβχj(θ), on trouve
∂θβχj = j−|β|(∂θβχ)(θ j)
La fonction χ est C0∞ donc il existe cβ tel que (∂θβχ)≤ cβ. On v´erifie que, pour|θ| ≥ 2j, (1 + θ)|β|∂θβχj = 0 et est major´ee par (1 + 2j)|β|j−|β|pour|θ| ≤ 2j, donc par 3|β|. On a donc
∂θβχj≤ 3|β|cβ(1 +|θ|)−|β| ce qui prouve l’appartenance de χj `a S0
1,0.
6.2 Propri´et´es fondamentales
Il est ais´e de v´erifier que le produit d’un ´el´ement de Sm
ρ,δ et de Sm1
ρ,δ est dans Sρ,δm+m0. Par les formules de Leibniz, en effet, on a
∂xα∂θβ(ab)(x, θ) = X α0,β0,|α0|≤|α|,|β0|≤|β| Cα,βα0,β0(∂xα0∂θβ0a)(∂xα−α0∂θβ−β0b). On en d´eduit |∂α x∂θβ(ab)(x, θ)|x∈K,θ∈IRd ≤ X α0,β0,|α0|≤|α|,|β0|≤|β| Cα,βα0,β0Nα0,β0,K(a)Nα−α0,β−β0,K(b). et donc Nα,β,K(ab)≤ X α0≤α,β0≤β Cα,βα,β0(supα0≤α,β0≤βNα0,β0,K(a))(supα0≤α,β0≤βNα0,β0,K(b)). Des propri´et´es classiques et importantes des symboles sont ´enonc´ees dans les deux propo-sitions qui suivent :
Proposition 6.1 • Si a ∈ Sm
ρ,δ(X × IRN), alors, pour tout m0 ≥ m, ρ0 ≤ ρ et tout δ0 ≥ δ, a∈ Sm0
ρ0,δ0.
• Lorsque K est fix´e et a ∈ Sm
ρ,δ(X× IRN), la plus petite constante C(m, K, α, β, a) satis-faisant `a la d´efinition 6.1.3 est not´ee Nm
α,β,K(a). On d´efinit ainsi une famille de semi-normes Nm
α,β,K sur Sm
ρ,δ(X× IRd). L’espace des symboles muni de cette famille de semi-normes est un espace de Fr´echet.
• Pour cette famille de semi-normes, l’espace S−∞ est dense, pour la topologie de Sm0 ρ0,δ0, dans Sm
ρ,δ pour m0> m.
Le premier alin´ea de la proposition implique : a∈ Sρ,δm, b∈ Sm1
ρ0,δ0⇒ ab ∈ Sm+m1
min(ρ,ρ0),max(δ,δ0). Le dernier alin´ea de la proposition 6.1 est une cons´equence de Proposition 6.2 Si (aj)j≥1 est une suite born´ee dans Sm
ρ,δ, qui converge ponctuellement vers a(x, θ), la limite a est dans Sm
ρ,δ et la suite (aj) converge au sens des symboles dans Sm0
ρ,δ pour m0> m.
Preuve de la proposition 6.2 Nous d´esignons par Cα,β,K le majorant uniforme de toutes les normes des ∂θβ∂α
xaj sur K, qui est ind´ependant de j.
Grˆace aux in´egalit´es permettant de contrˆoler ∂xf en fonction de ∂2
x2f et de f , on v´erifie que, sur tout compact K
|∂x(aj− al)| ≤ C1(K)||aj− al||∞+ C2(K)(||aj− al||∞||∂x22(aj− al)||∞)12.
On sait que la suite aj est born´ee dans Sm, donc en particulier, sur un compact, on sait que
||∂2x2(aj− al)||∞≤ 2(1 + |θ|)m+2δC2,0,K.
Nous nous pla¸cons sur un compactK en θ pour appliquer le r´esultat pr´ec´edent, donc |∂x(aj− al)| ≤ C1(K)||aj− al||∞+ C2(K)C12
2,0,K(||aj− al||∞)12.
Il y a majoration uniforme de la norme infini de la suite sur le compact K×K, convergence ponctuelle en tout point, donc convergence uniforme sur le compact K× K. On en conclut que la suite ∂xaj est une suite de Cauchy sur ce compact, uniform´ement born´ee, donc elle converge et la limite est uniforme.
Par r´ecurrence sur la longueur|α| + |β|, on d´emontre que la suite ∂α
x∂θβajest de Cauchy et uniform´ement convergente sur tout compact de la forme K× K. Malheureusement, on ne peut pas v´erifier la convergence uniforme sur K× IRd, car ce n’est pas un compact. En revanche, on trouve que la limite a est dans C∞(X× IRd), et comme on a
|∂α
x∂θβaj| ≤ Cα,β,K(1 +|θ|)m−ρ|β|+δ|α|, la convergence simple prouve que la limite simple est dans Sm
ρ,δ(X × IRd). On introduit kα,βj (x, θ) = ∂α
x∂θβ(aj− a)(x, θ)(1 + |θ|)−m0+ρ|β|−δ|α|. On remarque que |kα,βj (x, θ)| ≤ (1 + |θ|)m−m02Cα,β,K. D´efinissons Rα,β,Kε > 0 tel que, pour |θ| ≥ Rα,β,K
ε , on ait (1 +|θ|)m−m0
2Cα,β,K ≤ ε 2. Sur le compact K × B(0, Rα,β,K
ε ), la suite aj converge uniform´ement dans C∞ vers a. La suite ∂α
x∂θβaj converge donc sur ce compact vers ∂α
x∂θβa, donc il existe j(ε, α, β, K) tel que j≥ j(ε, α, β, K) ⇒ kjα,β(x, θ)≤ε2, (x, θ)∈ K × B(0, Rα,β,K
ε ).
La suite kj(x, θ) converge uniform´ement sur K× IRd vers 0, ce qui ach`eve la preuve de la proposition 6.2.
On utilise une troncature en θ pour se ramener `a des symboles `a support compact. La preuve du dernier alin´ea de la proposition 6.1 s’obtient par construction, pour a∈ Sm
ρ,δ, d’une suite de S−∞ convergeant vers a. Comme χj ∈ S0
1,0∩ S−∞, la suite de symboles aj = aχj est born´ee au sens de la topologie de Sm
ρ,δ, est dans S−∞ et converge ponctuellement vers a. On utilise le troisi`eme alin´ea de la proposition 6.2 pour obtenir que aj converge vers a pour la topologie de Sm0
ρ,δ, m0> m. Ceci montre la densit´e de S−∞dans Sm
ρ,δ pour la topologie de Sm0
ρ,δ
pour m0 > m. R´eciproquement, si une suite aj v´erifie les hypoth`eses de la proposition 6.2, on en d´eduit qu’il y a convergence sur tout compact de ∂α
x∂θβaj vers ∂α
x∂θβa. La proposition 6.2 est d´emontr´ee.
Proposition 6.3 Soit aj ∈ Smj
ρ,δ(X×IRN). On suppose que la suite d´ecroissante mjtend vers −∞. Alors il existe a ∈ Sm0
ρ,δ, unique modulo S−∞, tel que a−X
j<k
aj∈ Smk
6.2. PROPRI ´ET ´ES FONDAMENTALES 99 Preuve de la proposition 6.3 On d´emontre l’unicit´e. Soit a0un autre symbole. Alors a−a0
est dans Smk pour tout k. Il est donc dans S−N pour tout N , ce qui justifie a− a0∈ S−∞. L’existence de a provient d’un raisonnement analogue `a celui employ´e pour la d´emonstration du th´eor`eme de Borel (Th´eor`eme 1.1) (il existe une fonction C∞ dont la s´erie de Taylor quel-conque est donn´ee). Nous construisons, pour Lj ≥ 1 suite strictement croissante tendant vers +∞ le symbole
˜
aj(x, θ) = (1− χ(Lθ
j
))aj(x, θ). Si θ est donn´e, alors pour| θ
Lj| ≤ 1
2, ˜aj= 0. Donc si j est tel que Lj≥ 2|θ|, alors ˜aj(x, θ) = 0. On peut donc d´efinir, pour tout (x, θ), la somme des ˜aj, qui est localement finie. La fonction obtenue a(x, θ) est une fonction C∞(X× IRd).
On note dans ce paragraphe χj la fonction (qui a ´et´e ´ecrite ci-dessus χLj) : χj: θ→ χ(Lθ
j) est un symbole de S0
1,0(IRd). Le symbole ˜aj est dans Smj
ρ,δ, donc dans Smj+1
ρ,δ . On peut alors choisir la suite Lj (comme dans la preuve du Th´eor`eme 1.1) tel que, pour tout j≤ |α| + |β|,
|∂xα∂θβ˜aj(x, θ)| ≤ 2−j(1 +|θ|)1+mj−ρ|β|+δ|α|. (6.2.4) En effet, nous v´erifions que|˜a0| ≤ |a0| sur le support de 1 − χ(L0θ), qui est inclus dans θ≥ 1
2L0. Donc, sur le support de ˜a0, (1 +|θ|)−1−m0 |˜a0| ≤ sup|θ|≥1 2L0N0,0,K(a0)(1 +|θ|)−1 ≤2N2 + L0,0,K(a0) 0 . Le choix de L0est L0≥ 2N0,0,K.
On proc`ede pour la suite par un raisonnement par r´ecurrence. On suppose que les Lj ont ´et´e choisis de sorte que, pour 0≤ j ≤ n − 1, on ait
|α| + |β| ≤ l ≤ n − 1 ⇒ Nml+1
α,β,K(˜al)≤ 2−l. Soit j = n et on ´etudie ˜aj. On v´erifie que
b = ∂α x∂θβ(˜aj) = ∂α x[X β0≤β Cβ,β0∂θβ0ajLj−|β|+|β0|(∂β−βθ 0χ)( θ Lj )]. Comme Nmj+1 α,β,K(˜aj) = max|b(x, θ)|(1 + |θ|)−mj−1−δ|α|+ρ|β|, on utilise b(x, θ)(1 +|θ|)−mj−1−δ|α|+ρ|β| = (1+|θ|)−1 X β0≤β Cβ,β0[(1+|θ|)−mj−δ|α|+ρ|β0|∂xα∂θβ0aj](1+|θ|)ρ(|β|−|β0|)Lj−|β|+|β0|(∂θβ−β0χ)( θ Lj ). On d´esigne par Dj,βla constante (P
β0≤β|Cβ,β0|) maxα≤β||∂α θχ|| max Nmj α,β0,K(aj). De l’iden-tit´e b(x, θ)(1 +|θ|)−mj−1−δ|α|+ρ|β|= 0 sur χ = 1 on d´eduit l’in´egalit´e |b(x, θ)(1 + |θ|)−mj−1−δ|α|+ρ|β|| ≤ L2 jDj,β.
On prend alors Lj ≥ 2j+1Dj,β, ce qui donne l’in´egalit´e (6.2.4). Notons ici que le contrˆole de ˜
aj dans Smj+1
ρ,δ est un contrˆole en 2−j. Par exemple, on remarque que la suite 1− χj ∈ S0 1,0
tend vers 0 dans S1 1,0.
On consid`ere alors α, β, k, K donn´es. Pour p≥ N ≥ |α| + |β|, on a |∂α
x∂θβ˜ap| ≤ 2−p(1 +|θ|)1+mp−ρ|β|+δ|α|
donc a fortiori, puisque mp≤ mN et que a−Pp=N−1
p=0 ˜ap=P∞ p=N˜ap |∂α x∂θβ(a− N−1 X p=0 ˜ ap)| ≤ (1 + |θ|)1+mN−ρ|β|+δ|α|.
On choisit N tel que mk+1≥ mN+ 1 et N ≥ |α| + |β|. Ceci est possible car la suite mk tend vers−∞. Ensuite, on ´ecrit ck+1= a−P
j≤kaj et on v´erifie ck+1(x, θ) = X k+1≤j≤N−1 ˜ aj+ (a− X j≤N−1 ˜ aj) +X j≤k (˜aj− aj). On utilise le fait que P
j≤k(aj− ˜aj) est dans S−∞, l’in´egalit´e |∂xα∂θβ(a− N1 X p=0 ˜ ap)| ≤ (1 + |θ|)1+mN−ρ|β|+δ|α|
que nous venons de d´emontrer et l’in´egalit´e (obtenue car ˜aj est le produit de aj ∈ Smj
ρ,δ et de (1− χj)∈ S0 1,0 ⊂ S0 ρ,δ) |∂xα∂θβ˜aj(x, θ)| ≤ D(α, β)(1 + |θ|)mj−ρ|β|+δ|α|. On a alors l’in´egalit´e |∂xα∂θβck+1(x, θ)| ≤ ND(α, β)(1+|θ|)mk+1−ρ|β|+δ|α|+(1+|θ|)mk+1−ρ|β|+δ|α|+C1(1+|θ|)mk+1−ρ|β|+δ|α|
et cette majoration prouve l’appartenance de ck+1`a Smk+1
ρ,δ .
Nous avons donc d´emontr´e la convergence au sens des normes de Sm0 de P
j≤kaj. Ceci ach`eve la preuve de la Proposition 6.3.
Remarque : on voit ici qu’il n’y a pas unicit´e, puisque le choix de deux fonctions χ ou de deux suites Lj pour la mˆeme fonction χ conduit `a deux sommes P ˜aj diff´erentes.
Proposition 6.4 On se donne une suite aj dans Smj
ρ,δ et on suppose que mjd´ecroit vers−∞. On suppose qu’il existe a tel que, pour tout compact K, tout multi indice, il existe Mα,β et Cα,β,K tels que
|∂α
x∂βθaj| ≤ Cα,β,K(1 +|θ|)Mα,β. On suppose qu’il existe une suite m0
k qui tend vers −∞ telle que |a(x, θ) − k−1 X j=0 aj(x, θ)| ≤ CK,k(1 +|θ|)m0k. Alors a =Pj=+∞ j=0 aj, modulo S−∞.
6.2. PROPRI ´ET ´ES FONDAMENTALES 101 Preuve de la proposition 6.4. Par la proposition 6.3, a0 = P∞
j=0aj existe et est dans Sm0 ρ,δ. Alors b = a− a0 v´erifie b = a− k−1 X 0 aj+ k−1 X 0 aj− a0.
Le premier terme est major´e par CK,k(1 +|θ|)m0k par l’hypoth`ese de la proposition et le deuxi`eme terme l’est par CK,k,0,0(1 +|θ|)mk par le r´esultat de la proposition 6.3.
Pour tout M entier positif, il existe k tel que mk et m0k soient tous les deux plus petits que−M. Il existe donc CK,M tel que
|b| ≤ CK,M(1 +|θ|)−M. Rappelons l’in´egalit´e suivante pour|α| + |β| = 1 :
|∂α
x∂θβb(x, θ)| ≤ C(K)(sup|b|)12((sup|∂2α
x ∂θ2βb|)12 + (sup|b|)12). (6.2.5) On se place dans le cas|α| + |β| = 2, pour g´en´eraliser cette in´egalit´e. On obtient
|∂xα∂θβb| ≤ C|α+|β(K)[max|b| + max |b|12| × max
|γ1|+|γ2|=|α|+|β|∂2(γ2+γ1) xγ1θγ2 b|12]. En effet on d´emontre l’in´egalit´e suivante :
||f”||∞≤ C1(K)||f||∞+ C2(K)||f(4)||∞. Si on restreint f `a [−a, a], a > 0, alors il existe θ1, θ2∈]0, 1[ tels que
f ”(0) = f (x) + f (−x) − 2f(0) x2 −x 2 24(f (4)(θ1x) + f(4)(−θ2x)). Si f(iv)= 0, on trouve|f00(0)| ≤ 4
x2||f||∞. Dans le cas contraire, on a |f00(0)| ≤ x42||f||∞+x
2
12||f(iv)||∞
et on optimise ce majorant pour |x| ≤ a. Dans le cas o`u 4√3( ||f ||∞
||f(4)||∞)12 > a2, on trouve recherch´ee : |f”(0)| ≤ a82||f||∞+√2 3||f||12 ∞||f(4) ||12 ∞.
Cette in´egalit´e est moins bonne lorsque a est petit. Il faut alors ´etudier ce cas, c’est-`a-dire lorsque le point o`u on calcule un majorant de f ” se rapproche du bord du compact. On calcule 5f (x)− 4f(2x) + f(3x), ce qui permet d’obtenir f”(0) en fonction de f et f(4).
Pour la majoration d’une d´eriv´ee crois´ee, on ´ecrit ||∂2 xθf|| ≤ C1[||∂xf|| + ||∂xf||12||∂3 xθ2f||12] ||∂3 xθ2f|| ≤ C1[||∂2 θ2f|| + ||∂2 θ2f||12||∂4 x2θ2f||12]. On utilise les majorants
||∂xf|| ≤ C1[||f|| + ||f||12||∂2 x2f||12]
et les majorants d´emontr´es dans le cas d’une variable (la constante C2 est celle adapt´ee `a l’in´egalit´e pour la d´eriv´ee seconde avec le compact en x et en θ)
||∂2
x2f|| ≤ C2[||f|| + ||f||12||∂4 x4f||12] ||∂2θ2f|| ≤ C2[||f|| + ||f||21||∂θ44f||21].
On a une majoration par une fonction de la forme M (||f||, ||∂4
x4f||, ||∂4
θ4f||, ||∂4
x2θ2f||) (qui est compliqu´ee), elle mˆeme major´ee par
C3[||f|| + ||f||12 max
|α|+|β|=2||∂x2α2α∂θ2β2βf||12].
Ce raisonnement peut se poursuivre pour |α| + |β| = n ∈ N par r´ecurrence sur n. Le symbole b est donc dans S−∞. La proposition 6.4 est d´emontr´ee.
Dans le chapitre suivant, nous introduisons l’outil qui permettra de construire l’alg`ebre des op´erateurs pseudo-diff´erentiels associ´e `a l’alg`ebre des symboles. Nous aurions d’ores et d´ej`a tous les outils qui permettraient de la d´efinir formellement, mais nous choisissons d’introduire la loi de composition grˆace `a la composition des op´erateurs associ´es. Les symboles de Sm
1,0(X× IRd) sont les symboles qui ressemblent le plus aux polynˆomes en ξ `a coefficients C∞en x∈ X, qui sont les symboles associ´es aux op´erateurs diff´erentiels. Nous noterons d´esormais Sm
1,0(X× IRd) en omettant l’indice (1, 0), soit Sm(X× IRd)1.