Relations canoniques et op´erateurs int´egraux de Fourier

{f, g} = {F, G} =^X j ∂f ∂pj ∂g ∂qj −_∂q^∂f j ∂g ∂pj . La relation{f, g} = Hfg conduit `a Hf =P j ∂f ∂pj ∂ ∂qj−∂q^∂fj ∂ ∂pj. L’identification σ(Hf, Hg) = {f, g} donne alors σ(^X j −∂qjf dpj+ ∂pjf dqj,^X j −∂qjgdpj+ ∂pjgdqj) =^X j ∂pjf ∂qjg− ∂qjf ∂pjg. Il vient alors σ(^X j ajdpj+ bjdqj,^X j cjdpj+ djdqj) =^X j −bjcj+ ajdj, donc σ =Pn

1dpj∧ dqj, et le système de coordonnées (pj, qj) est symplectique. Le lemme 9.3 est donc démontré.

9.4 Relations canoniques et op´erateurs int´egraux de

Fou-rier

Dans cette section, nous énon¸cons le théorème de composition des opérateurs intégraux de Fourier, tel que nous pouvons le trouver dans [42]. Nous n’en présenterons pas la démonstration. Il est nécessaire pour ce faire d’introduire une notion géométrique associée à un opérateur intégral de Fourier, sa relation canonique. La définition des relations canoniques est étroitement liées à des sous-variétés particulières de T∗X, associées à la structure symplectiques, les variétés lagrangiennes. Nous les introduisons ici pour la définition abstraite des classes d’opérateurs intégraux de Fourier. Nous les utiliserons à nouveau dans le chapitre 12.

9.4.1 D´efinition des relations canoniques et des transformations

ca-noniques

Soit X une vari´et´e de dimension n.

Définition 9.3 On appelle variété lagrangienne toute sous-variété Λ isotrope (c’est-à-dire vérifiant σ|Λ= 0) de dimension maximale n (dim _(x₀_,ξ₀₎Λ = n).

Cette définition provient des travaux de Maslov [72], on la retrouve dans L. Hörmander [46] et dans J.J. Duistermaat [29]. L’auteur a aussi rencontré (dans des notes de Chazarain, Ren-contres scientifiques de Cargese) l’appellation de lagrangienne maximale.

Un exemple naturel est la variété {(x, dφ(x)), x ∈ X} = Λφ. Cette variété s’appelle la variété lagrangienne associée à la phase φ. L’hypothèse de maximalité est trivialement vérifiée, puisque x est un paramétrage de la variété. On vérifie, sur Λφ que ξj = _∂x^∂φ_j(x), puis que dξj=P i ∂2φ ∂xi∂xjdxi, d’où X dξj∧ dxj=^X i,j ∂2φ ∂xi∂xj dxi∧ dxj. Les relations ∂2 xixjφ = ∂2

xjxiφ pour φ suffisamment régulière et dxi∧dxj=−dxj∧dximontrent que la variété Λφ est une variété lagrangienne.

Définition 9.4 Une relation canoniqueC de T∗(X× Y ) est un sous espace de T∗(X× Y ) ' T∗X× T∗Y qui soit une variété lagrangienne pour la forme canonique σX− σY = dx∧ dξ − dy∧ dη. En d’autres termes

C = {(x, ξ; y, η) ∈ T∗X× T∗Y}

est une relation canonique si Λ_C ={(x, ξ; y, −η), (x, ξ; y, η) ∈ C} est une vari´et´e lagrangienne pour σX×Y = dx∧ dξ + dy ∧ dη.

SoitH une transformation canonique de X sur Y . Il s’agit d’une application de classe C∞

de T^∗Y sur T^∗X qui pr´eserve la structure symplectique (soit H∗(dy∧ dη) = dx ∧ dξ). On v´erifie que le grapheCHde la transformation canoniqueH, sous ensemble de T∗X×T∗Y des (H(ρ), ρ), ρ ∈ T∗Y , est une relation canonique.

On suppose qu’il existe un point (x0, η0) tel que la projection canonique l de T∗(X× Y ) dans IR²ⁿ qui à (x, ξ; y, η) fait correspondre (x, η) est un difféomorphisme en l−1(x0, η0). Alors il existe, par le théorème de représentation de Hörmander (Théorème 10.1, énoncé et démontré plus loin, dont la démonstration s’appuie sur le Lemme 10.2 de complétude d’une base cano-nique) une phase φ(x, η) telle que, localement,CH est de la forme (x,^∂φ_∂x(x, η),^∂φ_∂η(x, η), η). En d’autres termes, la transformation canoniqueH est localement de la forme

(^∂φ

∂η^{(x, η), η)}→ (x,^∂φ_∂x(x, η)). SoitC0={(x, ξ; y, η), (x, ξ; y, −η) ∈ C}. On v´erifie que

dx∧ dξ + dy ∧ dη|C0 = dx∧ d(∂xφ)− d(∂ηφ)∧ dη. On a les ´egalit´es d(∂xiφ) = Hessxixφ.dx +P

j ∂²φ ∂xiηjdηj et d(∂ηjφ) =P ji ∂²φ ∂xi∂ηjdxi+ Hessηφ.η. Les matrices Hessx2φ et Hessη2φ ´etant sym´etriques, on trouve

dx∧ dξ + dy ∧ dη|C0 =^X

∂2φ ∂xi∂ηj

(dxi∧ dηj− dxi∧ dηj) = 0. Ceci d´emontre queC est une relation canonique.

Toute relation canonique de X× Y a, modulo un changement de variable symplectique dans Y , une fonction génératrice φ(x, η). On trouve la démonstration dans [42] (Théorème 10.1). Ce résultat est un superbe résultat d’Egorov [33], et nous rappelons à la fin de cette section la démonstration originale en deux pages.

Soit A l’op´erateur int´egral de Fourier de C∞

0 (Y ) dans S0(X) donn´e par Au(x) =

Z Z

e^{i(φ(x,η)−y.η)}a(x, y, η)u(y)dydη. (9.4.16) On rappelle que c’est une notation formelle pour l’action d’une distribution deS0, on devrait ´ecrire, pour ψ∈ S0,

< Au, ψ >= Z Z

e^i(φ(x,η)^−y.η)a(x, y, η)u(y)ψ(x)dydηdx.

On d´eduit de la proposition 7.2 que le front d’onde de l’op´erateur A est contenu dans

W F (Au)⊂ T^∗X ={(x, ∂x(φ(x, η)− y.η)), ∂η(φ(x, η)− y.η) = 0/(y, η) ∈ W F (u)} ce qui s’´ecrit aussi

W F (Au)⊂ {(x,^∂φ_∂x(x, η)), (^∂φ

∂η^{(x, η), η)}∈ W F (u)}. ´

Etudions explicitement la relation canonique associée à un opérateur intégral de Fourier. La fonction φ est la fonction génératrice de la relation canonique C = {(x, ∂xφ; ∂ηφ, η), x ∈

9.4. RELATIONS CANONIQUES ET OP ÉRATEURS INT ÉGRAUX DE FOURIER 157 X, η ∈ IR^d}. A cette relation canonique est associée la transformation canonique H. On a aisément W F (Au)⊂ H(W F (u)).

Remarque 1

Si A est un op´erateur pseudo-diff´erentiel sur IR^d Au(x) = ¹

(2π)d

T∗IRd

e^i(x^−y).ηa(x, y, η)u(y)dydη.

La phase φ0(x, η) est donc φ0(x, η) = x.η. L’application H est alors l’identit´e de T∗IR^d et la relation canoniqueC est

C = {(x, η; x, η), (x, η) ∈ T∗IR^d} associée à la variété lagrangienne Λφ0 ={(x, x, η, −η)}.

Remarque 2 On considère désormais l’application particulièreHsde IR^d×IRdqui à (x, θ) fait correspondre (y, Σ) tel que x = y +∇θs(y, θ), θ +∇ys(y, θ) = Σ. L’opérateur intégral de Fourier (selon la définition 7.4) de phase φ(y, θ) = y.θ + s(y, θ), et de symbole m(y, z, θ) s’écrit

T_s^mu(y) = Z

e^i(φ(y,θ)^−z.θ)m(y, z, θ)u(z)dzdθ = Z

eî((y^{−z)θ+s(y,θ))}m(y, z, θ)u(z)dzdθ. On écrit dy∧ dΣ =^X j dyj∧ [dθj+^X k ( ^∂ 2s ∂yj∂yk dyk+ ^∂ 2s ∂yj∂θk dθk)]. De l’égalitéP j,kdyj∧ ∂2s

∂yj∂ykdyk = 0, on déduit dy∧ dΣ =^X j dyj∧ dθj+^X j,k ∂2s ∂yj∂θk dyj∧ dθk. De même, de dxj = dyj+P k ∂2s ∂θj∂ykdyk+P k ∂2s ∂θj∂θkdθket de l’identitéP j,kdθj∧ ∂2s ∂θj∂θkdθk= 0 on déduit X j dxj∧ dθj=^X j dyj∧ dθj+^X j,k ∂2s ∂yj∂θk dyj∧ dθk.

On a donc dy∧ dΣ = dx ∧ dθ. La transformation Hs est un difféomorphisme de l’espace IR^d× IR^d laissant invariante la structure symplectique. C’est une transformation canonique sur T∗IR^d× T∗IR^d associée à la relation canoniqueCs={(y, θ + ∇ys(y, θ); y +∇θs(y, θ), θ)}. Remarque 3 : Ordre des opérateurs intégraux de Fourier Considérons l’opérateur intégral de Fourier A, dont la phase est φ(x, y, θ), x∈ IRⁿX, y∈ IRⁿY, θ∈ IR^N, homogène en θ de degré 1, et dont le symbole est a(x, y, θ), non encore précisé. On applique cet opérateur intégral de Fourier, défini par l’intégrale oscillante

Au(x) = Z

e^iφ(x,y,θ)a(x, y, θ)u(y)dydθ `

a une fonction phase u(y) = σ(y, k)eikψ(y). On d´esigne alors par ˜ψ(x, y) la valeur critique de ψ(y) + φ(x, y, θ) `a un point critique ηc solution de

∂ηφ(x, y, ηc) = 0. Le terme principal de Au(x, k) s’´ecrit

IRnXa(x, y, ηc)σ(y, k)e^{ik ˜}^ψ(x,y)k^N2(detJ(φ + ψ))⁻¹2dy.

Ce résultat est indépendant du nombre de variables utilisées dans la phase φ lorsque, à di-mensions d’espace nX et nY fixées, a est dans Sm+l(nX,nY)−N

Nous retrouvons les op´erateurs pseudo-diff´erentiels ordinaires lorsque nX = nY = N , auquel cas il suffit de poser l(N, N ) =−N/2.

Ensuite, lorsque l’on compose formellement deux opérateurs intégraux de Fourier, respecti-vement A1dont le symbole a1appartient à Sm1+l(nX,nY)−^N12 et A2de symbole a2appartenant `

a Sm2+l(nY,nZ)−^N22 , A1◦ A2 est donn´e par A1A2u(x) =

Z Z Z Z

eiφ1(x,y,θ)+iφ2(y,z,η)a1(x, y, θ)a2(y, z, η)u(z)dydzdηdθ.

On veut obtenir un repr´esentant de A1◦ A2de symbole b(x, z, ω)∈ Sm1+m2+l(nX,nZ)−^nω2 . On pose formellement ω = (y, θ, η)∈ IR^N1+N2+nY et on retrouve la repr´esentation

A1A2u(x) =

Z Z Z Z

e^iψ(x,z,ω)b(x, z, ω)u(z)dzdω

Pour identifier les ordres, on doit avoir b∈ Sm1+m2+l(nX,nZ)−^N1+N2+nY2 , ce qui donne l’´egalit´e l(nX, nY) + l(nY, nZ) = l(nX, nZ)−ⁿ₂^Y.

Considérant alors l’adjoint A^∗= Iã,ψ de l’opérateur A = Ia,φde phase ψ(y, x, θ) =−φ(x, y, θ) et de symbole ã(y, x, θ) = ¯a(x, y, θ), on trouve que l(nX, nY) = l(nY, nX). Des deux égalités, on peut alors déduire que

l(nX, nY) =−ⁿ^X^{+ n}₄ ^Y.

On définit alors l’espace des opérateurs intégraux de Fourier ayant la même relation cano-nique et le même poids m.

D´efinition 9.5 Soit φ(x, y, θ) une phase d´efinie sur IRⁿX

×IRⁿY

×IR^N. Elle définit une relation canonique C sur T∗(X × Y ). L’espace Im(X × Y, C0) des opérateurs intégraux de Fourier de symbole a ∈ Sm+^{nX +nY −2N}₄ (X× Y × IR^N) de relation canonique C associée à la variété lagrangienne pour σX+ σY deC0 ⊂ T∗(X× Y ) est l’ensemble des intégrales oscillantes dans S0 de la forme

Au(x) = Z

IRnY×IRN

a(x, y, θ)e^iφ(x,y,θ)u(y)dydθ.

Cette définition ne dépend pas du nombre de variables θ utilisées pour caractériser la relation canonique.

9.4.2 Inversion des op´erateurs int´egraux de Fourier

Nous résumons le résultat d’inversion d’opérateurs intégraux de Fourier et de conjugaison d’opérateurs pseudo-différentiels par des opérateurs intégraux de Fourier dans le

Théorème 9.1 SoitC une relation canonique homogène d’un voisinage conique de (y0, η0)∈ T∗X, X ⊂ IR^d sur un voisinage conique de (x0, ξ0)∈ T∗Y , Y ⊂ IR^d associée à une fonction génératrice φ(x, η). Sa relation canonique inverse, notéeC−1 est la variété lagrangienne dans T∗(X× Y ) pour dy ∧ dη − dx ∧ dθ des points {(y, η, x, θ), (x, θ, y, η) ∈ C}

On consid`ere l’op´erateur A∈ I0(X× Y, C0), de symbole a∈ S0(X× Y × IR^d) elliptique Au(x) =

T∗X

9.4. RELATIONS CANONIQUES ET OP ÉRATEURS INT ÉGRAUX DE FOURIER 159 1. Il existe b∈ S0(Y×X ×IR^d) tel que l’opérateur de Fourier intégral B∈ I0(Y×X, (C−1)0)

donn´e par

Bv(x) = Z Z

e^i(x.ξ^−φ(y,ξ))b(x, y, ξ)v(y)dydξ

v´erifie AB = Id + R1∈ L0(Y ), BA = Id + R2∈ L0(X), R1 et R2 sont dans L−∞.

2. Soit P un opérateur pseudodifférentiel sur X d’ordre m des symbole principal pm. L’opérateur Q = A◦ P ◦ B est un opérateur pseudodifférentiel sur Y d’ordre m, dont le symbole prin-cipal qm est l’image du symbole principal pm de P par la transformation canonique. On a de plus (x0, ξ0, y0, η0) /∈ W F (P A − AQ).

Notons qu’un opérateur pseudo-différentiel sur X est associé à la relation canonique identité sur T∗(X×X) et à la phase x.η. Comme nous l’avons vu en Remarque 3, la dimension d’espace est égale à la dimension en η, donc I0 correspond aux symboles de S0.

D’autre part, lorsque la relation canonique est générée par la phase φ(x, η), on a la relation pm(x,∇xφ) = qm(∇ηφ, η), généralisation de la relation entre les symboles après changement de variable symplectique de l’exercice 8.3.

Ce théorème est une conséquence directe des définitions ci-dessus et de l’exercice 8.3. C’est le théorème 10.1 de [42], démontré par Egorov [33] et qui sert de base aux transformations canoniques d’opérateurs pseudo-différentiels afin de se ramener à des opérateurs simples.

Egorov part d’une fonction phase S(x, ξ) v´erifiant det( ∂2S

∂xiξj(x, ξ0)) 6= 0. Il introduit la transformation canonique homog`ene (x, ξ) → (x0, ξ0) avec x0

j = ∂ξjS(x, ξ0), ξj = ∂xjS(x, ξ0). Alors pour tout op´erateur pseudo-diff´erentiel P et toute fonction h, il existe Q tel que

P hΦu = ΦhQu + T u où Φ est l’opérateur intégral de Fourier

Φv(x) = ¹ (2π)n Z IRn ˆ u(ξ)e^iS(x,ξ)dξ

et où T ∈ L−∞(IRⁿ). La relation canonique de P Φ est ainsi égale à celle de Φ, ce qui correspond `

a la remarque 1 pr´ec´edente.

9.4.3 Composition des op´erateurs int´egraux de Fourier

Dans ce dernier paragraphe, nous énon¸cons le théorème de composition des opérateurs intégraux de Fourier par l’intermédiaire de leurs relations canoniques. Nous renvoyons le lecteur intéressé au chapitre 11 de [42] pour la preuve détaillée de ce théorème.

On se donne X, Y , Z trois variétés de dimension nX, nY et nZ et un opérateur intégral de Fourier A1de X dans Y , de relation canonique C1⊂ T∗(X× Y ), un opérateur intégral de Fourier A2 de Y dans Z, de relation canonique C2. On suppose

A1∈ I^m1(X× Y, C1⁰), A2∈ I^m2(X× Y, C2⁰).

On suppose que C1× C2 et T^∗X× {(ρ, ρ), ρ ∈ T∗Y} × T∗Z ont une intersection transverse, et que la projection naturelle C1◦ C2 de cette intersection vers T∗(X× Z) est propre. Nous v´erifions que

(ρ1, ρ2)∈ T∗X× T∗Z ∈ C1◦ C2⇔ ∃ρ ∈ T∗Y, (ρ1, ρ)∈ C1, (ρ, ρ2)∈ C2.

Dire que A1 est de relation canonique C1 équivaut à dire que, microlocalement au voisi-nage d’un point de C1, on peut représenter C1 par une phase φ1(x, θ) sous la forme C1 = {(x, ∂xφ(x, θ); (∂θφ(x, θ), θ)}. De même, dire que A2 est de relation canonique C2équivaut à dire que, microlocalement au voisinage d’un point de C2, on peut représenterC2par une phase φ2(y, w) sous la formeC2={(y, ∂yφ(y, w); ∂wφ(y, w), w)}.

Théorème 9.2 Sous les hypothèses précédentes, l’opérateur A1◦ A2 est un opérateur intégral de Fourier, de relation canonique C1◦ C2, d’ordre la somme des ordres des symboles de A1 et de A2.

Preuve Des ´egalit´es

A1v(y) =R

T∗Xeiφ1(y,θ)−x.θa1(y, θ)v(x)dxdθ A2u(z) =R

T∗Y e^iφ2(z,w)−y.wa2(z, w)u(y)dwdy on d´eduit

A2A1u(z) = Z

T∗X×T∗Y

ei(φ1(y,θ)−x.θ+φ2(z,w)−y.w)a1(y, θ)a2(z, w)u(x)dxdwdydθ. Nous calculons la valeur de A2A1u au point z, en fonction de la valeur de u au point x. Ainsi, dans les variables d’espace, nous choisissons d’éliminer la variable y. Comme, par analogie avec l’analyse de Fourier, il faut éliminer conjointement une variable duale, on a le choix entre θ et w. Le choix est indifférent. Nous appliquons formellement le théorème de la phase stationnaire de paramètre (x, z, θ) dans les variables (y, w). Alors le point critique (yc, wc) est solution de

∂yφ1(yc, θ) = wc, ∂wφ2(z, wc) = yc.

Identifions les points de C1 et de C2. Le point courant deC1 est (y, ∂yφ1(y, θ); ∂θφ1(y, θ), θ). Pour y = yc, on obtient (yc, wc; ∂θφ1(yc, θ), θ). De même, le point courant de C2associée à la phase φ2est (z, ∂zφ2(z, w); ∂wφ2(z, w), w). Pour w = wc, on obtient le point (z, ∂zφ2(z, wc); yc, wc). La valeur critique de la phase est φ1(yc, θ) + φ2(z, wc)− yc.wc− xθ, et yc et wc ne dépendent que de z et de θ. On note alors

φ(z, θ) = φ1(yc, θ) + φ2(z, wc)− yc.wc. Il en d´ecoule que

∂θ_{φ(z, θ) = ∂}˜ _θ_φ₁_{(z, θ) + ∂}_θ_y_c_[∂_y_φ₁_(y_c_{, θ)}− wc] + ∂θwc[∂wφ2(z, wc)− yc] = ∂θφ1(yc, θ). De mˆeme ∂z_{φ(z, θ) = ∂}˜ _z_φ₂_{(z, w}_c_{). Les deux points de}C1 et deC2 sont respectivement

(yc, wc; ∂θ_{φ(z, θ), θ) et (z, ∂}˜ _z_{φ(z, θ); y}˜ _c_{, w}_c_).

On reconnaˆı t ainsi le point de T∗(X × Z) égal à ((∂θ_{φ(z, θ), θ); (z, ∂}˜ _z_{φ(z, θ))). Il est alors}˜ élément de la relation canonique C1◦ C2.

La condition de transversalité est équivalente à la non dégénéréscence du point critique. Le calcul de phase stationnaire conduit à un symbole, dont l’ordre est la somme des ordres, et qui est le produit des symboles. Nous avons ainsi esquissé la preuve du théorème 9.2, qui est le théorème 4.2.2 de [47], repris dans le théorème 11.12 de [42].

Dans le document Opérateurs intégraux de Fourier et asymptotiques pour les ondes (Page 156-161)