Formule des sauts

On se donne un op´erateur diff´erentiel d’ordre m, sous la forme P =Pj=m

j=0 Pj(xn, x0, Dx0)(Dxn)j. On d´efinit une distribution prolongeable, et une solution prolongeable.

D´efinition 11.4 • Soit V ⊂ IRⁿ, et S une hypersurface lisse d’´equation s = 0. On d´efinit, au voisinage d’un point tel que ∇xs6= 0, les deux ouverts V± ={x ∈ V, ±s(x) > 0}. On peut aussi d´efinir ˜V+={x ∈ V, s(x) ≥ 0}. L’ensemble ˜V+ est la vari´et´e `a bord consid´er´ee ici. On dit que u est une distribution prolongeable de V+, et on note u ∈ D0( ˜V+), lorsque il existe ˜

u∈ D0(IRⁿ) telle que

∀φ ∈ C0^∞(V+), < u, φ >=< ˜u, φ > .

L’espace des distributions prolongeables est ainsi l’espace dual de C∞

0 (V+), espace des fonctions test C∞ `a support compact s’annulant `a tout ordre sur ∂V+ (voir Melrose [74]).

Comme∇xs 6= 0, on choisit une coordonn´ee xj telle que _∂x^∂s_j(x0)6= 0. On r´eordonne les coordonn´ees de sorte que j devienne n. Soit V un voisinage de x0 o`u| ∂s

∂xn(x)| ≥ 1 2| ∂s

∂xn(x0)|. Par le th´eor`eme des fonctions implicites, s = 0 ´equivaut `a xn = ψ(x⁰), ψ ´etant une fonction de classe C^∞ dans V , et s > 0 ´equivaut `a _∂x^∂s_n(x0)(xn − ψ(x0)) > 0. On choisit alors Xn =

∂s

∂xn(x0)(xn− ψ(x0)). l’application (x0, xn) → (x0, Xn) est un diff´eomorphisme de V sur son image, et V_± ={±Xn> 0}.

11.4. PROBL `EMES AU BORD POUR L’ ´EQUATION DES ONDES. 195 Proposition 11.1 Soit u une distribution prolongeable de D0(V+) telle que P u = 0 dans V+. On suppose

p(x0, 0, 0, ..1)6= 0.

Il existe une unique distribution u, prolongeant u par 0 dans V₋, telle que xm

nP u = 0. Remarque Le fait de prolonger u par 0 ne d´efinit pas de mani`ere unique une prolong´ee. En effet, soit u1 et u2 deux distributions telles que

u = u1= u2dansD0(V+), 0 = u1= u2 dansD0(V₋).

Alors u1−u2est support´ee par xn= 0, donc sur un compact de xn = 0, il existe M∈ IN et M+1 distributions aj deE0(IRⁿ⁻¹) telles que u1− u2=PM

j=0aj⊗ δ^(j)xn. Cette id´ee est utilis´ee dans la preuve de la proposition 11.1. En particulier, si D = δxn=0 est la distribution de Dirac sur xn= 0, d´efinie par < D, φ >=R

IRn−1φ(x⁰, 0)dx⁰, on voit que pour φ∈ C∞

0 (V+), < D, φ >=< 0, φ > pourtant D 6= 0. En revanche, on d´efinit l’espace C∞

(0)(V+) comme ´etant l’espace des restrictions `a V+ de fonctions de C₀^∞(IRⁿ), alors, pour φtest(x⁰, xn) = χ(xn)χ(x1)...χ(xn−1), χ ´etant une fonction positive d’int´egrale 1, on a < D, φtest>= χ(0)6=< 0, φtest> .

Soit x0un point de ∂V et U un compact contenant un ouvert W contenant x0. On restreint maintenant toutes les distributions `a W . Ainsi ˜u, prolongeant u, est `a support compact donc d’ordre fini. On prend dans cette analyse un prolongement quelconque de u. Il existe ainsi M > 0 tel que

(1− ∆)^−Mu(x) = (2π)˜ ⁻ⁿ Z

e^{ix.ξ u(ξ)ˆ} (1 +|ξ|2)Mdξ est continue sur IRⁿ. On d´efinit alors

ˇ

u(x) = (1− ∆)M[1xn≥0(1− ∆)−Mu(x)]˜

Cette distribution v´erifie ˇu(x) = 0, xn < 0, ˇu(x) = u(x), xn > 0. De plus, P ˇu = 0 pour xn 6= 0, car u est solution de p. La distribution P ˇu est d’ordre fini, ainsi il existe des aj, 0≤ j ≤ j0, aj(x0)∈ D0 j0(|x0| < r) telles que P ˇu = j0 X j=0 aj⊗ δx^jn=0. Soit D0

S l’espace des distributions `a support dans S = ∂V+ = {xn = 0}, D0

S,l le sous espace des distributions de l−couche `a coefficients sur S, de la forme al⊗ δl

xn=0 (distribution d´efinie, pour φ ∈ C∞ 0 (IRⁿ), la restriction ∂l xnφ(x0, 0) = ψl(x0), ψ ∈ C∞ 0 (IRⁿ⁻¹), par < al⊗ δl

xn=0, φ >= (−1)l < al, ψl >, dualit´e des distributions dansD0(IRⁿ⁻¹)). Comme P est un op´erateur diff´erentiel

b→ P (b) d´efinit une application T deD0

S. Cette application est injective. De plus on v´erifie que, pour tout a∈ D0

S, il existe un b∈ D0

S tel que T (b)− a ∈ D0 S,m−1. On le prouve de mani`ere explicite. Soit P =Ppjα(x)∂α

x0∂j xn. On ´ecrit b =Pj=j0 j=0 bj(x0)⊗ δj xn=0, ainsi < P (b), φ > =P j+|α|≤m,l≤j0(−1)j+|α|< bl⊗ δl xn=0, ∂α x0∂j xn[pj,α(x)φ(x)] > =P j+|α|≤m,l≤j0(1−|α|+j+l< bl, ∂α x0∂j+l xn [pj,α(x)φ(x)]|xn=0> Apr`es application de la formule de Leibniz pour le terme de d´eriv´ee en xn, il reste

T (b) = p=m+j0 X p=0 X j+l≥p (−1)^j+l−pC_j+l^p ∂x^j+l−pn pj,α(x⁰, 0)∂_x^α0bl⊗ δ^pxn=0.

On v´erifie que, pour p = m + j0, le coefficient est obtenu en prenant j = m, l = j0, ce qui donne pm,0(x0, 0)bj0(x0). Le coefficient pm,0 est ´egal `a 1, donc le terme d’ordre m + j0 de T (b) est ´egal au terme d’ordre j0 de b. De mˆeme, le terme d’ordre m + j0 − 1 est bj0−1+P

|α|=1p_m−1,α∂α x0bj0 + p_m−1,0(x0, 0)bj0− ∂xnpm,0(x0, 0)C1

m+j0bj0. Ainsi le terme d’ordre m + j0− q comprendra le terme bj0−q avec pour coefficient 1, et tous les termes b_j0−q0 pour q0≤ q.

Lorsque a est donn´e, d’ordre r≥ m, on peut construire une suite de distributions bj, j≤ r − m, telles que T (b) = a. En effet, br−m= ar, et on construit bq−mavec les bq0−mpour q⁰≥ q.

On revient `a P (ˇu). Il existe b telle que T (b)−P (ˇu) ∈ D0

S,m−1, et b est unique. On en d´eduit alors que xm

n[T (b)− P (ˇu)] = 0 en comparant les ordres.

On note u = ˇu− b. C’est une r´eponse au probl`eme. Si il y a deux r´eponses, on v´erifie u₁− u2 ∈ D0

S et T (b) ∈ D0

S,m−1. Ceci implique b = 0 par ´etude de l’ordre de T (b). Le prolongement est donc unique. Lorsque P est un op´erateur diff´erentiel d’ordre 2, on a le r´esultat suivant

Lemme 11.3 Soit u est une distribution prolongeable solution de P u = 0 dans V+. Soit u sa prolong´ee unique au sens de la proposition 11.1. Il existe deux distributions g0(u) et g1(u) de D0

S, telles que

P u = g0(u)⊗ δxn=0+ g1(u)⊗ δx⁰n=0. Cette formule s’appelle la formule des sauts `a l’ordre 2.

Pour cela, on rappelle qu’il existe un unique u, prolongement canonique de u, u∈ D0(V ), u|V+ = u, u|V₋ = 0, x2

nP u = 0. En ´ecrivant P u =Pj=m j=0 bj⊗ δj

xn, puisque P u est support´ee par xn = 0 et est `a support compact, on v´erifie que, pour j≥ 2, x2

nbj⊗δj

xn= j(j−1)bj⊗δj−2 xn , ainsi bj = 0 pour j≥ 2. On note la distribution b0, g0(u) et la distribution b1, g1(u).

On d´efinit enfin le front d’onde jusqu’au bord, que l’on note W Fb(u) pour une distribution prolongeable u. Il y a plusieurs d´efinitions ´equivalentes, voir H¨ormander [47], [74], Melrose-Sjostrand [76]. Pour cela, on consid`ere l’injection canonique i de C∞

0 (V+) dans C∞

(0)(V+), as-soci´ee `a la surjection duale i<sup>∗</sup>de ˙D0(V+) surD0( ˜V+). Les distributions r´eguli`eres jusqu’au bord D0

∂( ˜V+) sont les distributions u telles que u∈ C∞([0, ε],D0(IRⁿ⁻¹)). Il est ´equivalent de dire qu’il existe A(x0, Dx0)∈ L0(IRⁿ⁻¹) `a support compact tel que A(x0, Dx0)u(x0, xn)∈ C∞([0, ε]× IR<sup>n−1</sup>). Le fibr´e conormal `a ∂V+, not´e N (∂V+), est par d´efinition {(x0, 0, 0, ξn), ξn 6= 0}. On note alors B ˜V+ = T∗_V˜_{+/N (∂V+), qui est un espace topologique dont la section nulle est bien} d´efinie et not´ee{0}. Cet espace se projette naturellement sur T∗(V+)× T∗(∂V+) (l’int´erieur se projette sur l’int´erieur et un point de T∗(∂V+) s’´ecrit (x0, ξ0), auquel on associe la classe d´equivalence de (x0, 0, ξ0, 0) dans B ˜V+). La projection canonique de T∗_V˜_{+dans T}∗_V˜_{+/N (∂V+)} est not´ee b.

La d´efinition du front d’onde au bord donn´ee par R. Melrose dans [74] est la suivante D´efinition 11.5 Soit u une distribution prolongeable. Le front d’onde au bord W Fb(u)⊂ B ˜V+

est

W Fb(u) = {ρ ∈ T∗( ˜V+), ρ∈ W F (i∗u) = W F (u|V+)}∪

{ _{ρ = (x}^{ρ0∈ T}0^∗, 0, ξ^(∂V+0, ξ^{){0}, pour tout voisinage Γ conique de ρ}n) tel que (x0, ξ0)∈ Γ et ρ ∈ W F (u) ^{0, il existe }.} La deuxi`eme partie (partie de W Fb(u) contenue dans T<sup>∗</sup>(∂V+)) s’obtient de la mani`ere suivante, comme indiqu´e par Melrose et Sj¨ostrand [76] :

D´efinition 11.6 Si ρ ∈ T∗∂V+− {0}, alors ρ /∈ W Fb(u) si et seulement si u est r´eguli`ere jusqu’au bord comme d´efini ci-dessus.

11.4. PROBL `EMES AU BORD POUR L’ ´EQUATION DES ONDES. 197 Il existe aussi une d´efinition faisant appel aux vari´et´es carac´eristiques d’op´erateurs, ana-logue `a la d´efinition du front d’onde usuel :

W F (u) =∩CarB, Bu ∈ C∞. (11.4.6)

Cette d´efinition est plus technique et fait intervenir les distributions conormales par rapport au bord ∂X de la vari´et´e X. Le lecteur qui veut plus de d´etails se reportera utilement `a Hormander [47], Tome III, Definition 18.2.6 pour Im(X, ∂X, T∗X), (183.328) pour d´efinir ˙A(X), distributions conormales par rapport `a ∂X, Defi-nition 18.3.18 pour d´efinir Ψ0

b(X), op´erateurs localement de symbole a(x, ξ0, xnξn), ∂X ´etant xn= 0, et dans ces notations W F_b(u) = ∩CharB, B ∈ Ψ0

b(X), Bu ∈ ˙A(X).

Pour un op´erateur diff´erentiel d’ordre 2 `a coefficients de classe C∞, on d´emontre (voir par exemple G. Lebeau [66] dans le cas analytique) :

Proposition 11.2 Soit u une solution de P u = 0 dans xn > 0. On note U sa prolong´ee canonique, comme obtenue dans la proposition 11.1. On a l’´egalit´e W Fb(u) = b(W F (U )). On donne deux r´esultats permettant de comprendre un peu mieux le front d’onde au bord. Le premier concerne le front d’onde au bord d’une distribution de couche (Lemme 11.4, dˆu `a H¨ormander). Le deuxi`eme permet de relier en partie le front d’onde au bord de u et le front d’onde des traces de u sur xn = 0 (quand on peut les d´efinir, par exemple pour u∈ H³2+ε(xn > 0)) lorsque u est solution dans xn > 0 de P u = 0 [47])

Lemme 11.4 W F ( j=m−1 X j=0 aj(x⁰)⊗ δ^jxn) =∪W F (aj)× T^∗S.

Preuve On consid`ere un point (x0 0, x0

n, ξ0 0, ξ0

n). Au voisinage d’un point o`u x0

n 6= 0, la distri-bution est nulle, donc le front est inclus dans `a x0

n= 0. D’autre part, on consid`ere (x0 0, 0, ξ0

0, ξ0 n) et on localise en x0 au voisinage de x0

0. Apr`es transform´ee de Fourier, on trouve ˆ

χa_j(ξ⁰)(iξn)^j.

Si le point (x⁰₀, ξ₀⁰) n’est pas dans le front d’onde de aj, alors ˆχa_j(ξ⁰) est `a d´ecroissance rapide dans un voisinage conique de ξ0

0. On multiplie par un polynˆome, donc le r´esultat est `a d´ecroissance rapide, grˆace `a l’´egalit´e (λ = (ξ2

n+|ξ0|2)¹2) ˆ aj(ξ⁰)ξ_n^j = λ^jaˆj(λ ^ξ 0 (|ξ0|2+ ξ2 n)¹2 )( ^ξn (|ξ0|2+ ξ2 n)¹2 )^j. On note (η0 0, η0 n) = 1 ((ξ0 n)2+|ξ0 0|2)¹2 (ξ0 0, ξ0

n). Alors on sait que, pour (ξ0, ξn) dans un voisinage conique de (ξ0⁰, ξ⁰n), ^ξ0

(|ξ0|2+ξ2

n)¹2 est dans un voisinage conique de ξ⁰0(puisqu’un voisinage conique de η⁰0 est un voisinage conique de ξ₀⁰) et donc ˆaj(λ ^ξ0

(|ξ0|2+ξ2

n)¹2) est `a d´ecroissance rapide en λ, ce qui fait que λjˆaj(λ ^ξ0

(|ξ0|2+ξ2 n)¹2

) est `a d´ecroissance rapide en λ.

Ceci d´emontre que W F (aj⊗ δ^(j)xn)⊂ W F (aj)× {0} × IR^∗. R´eciproquement, soit (x0

0, 0, ξ0 0, ξ0

n) /∈ W F (aj ⊗ δx^(j)n). Alors ˆaj(ξ0)ξj

n est `a d´ecroissance rapide dans le cˆone donn´e par (ξ0

0, ξ0

n). On en d´eduit que, pour tout N , il existe CN +j tel que l’on ait l’in´egalit´e de d´ecroissance rapide pour la puissance N + j. On utilise l’homog´en´eit´e de ξj

n pour obtenir

|ˆaj(λη⁰)η_n^j| ≤ CN +jλ^−N. Lorsque η0

n6= 0, on voit que cela implique la d´ecroissance rapide de ˆajdans le cˆone engendr´e par η0

0, donc ξ0

0, et donc le point (x0 0, ξ0

Lorsque η0

n = 0, on choisit un point fixe ηn = ^ε₂, et on a (x0 0, ξ0

0) hors du front d’onde de aj.

Ainsi W F (aj⊗ δ^(j)xn) = W F (aj)× ({0} × IR) .

On ´etudie enfin le front d’onde de la somme, en utilisant les ordres successifs de δxn. En effet, on a (par exemple)

xnδ_x^j_n=−jδx^(jn⁻¹⁾

pour j≥ 1.

On utilise W F (f T ) ⊂ W F (T ) si f est une fonction de classe C∞ et T une distribution temp´er´ee. On en d´eduit ainsi que, pour T = aMδx^{(M )}n

W F (x^M_n ⁻¹T ) = (−1)MW F ((M− 1)!aMδxn) = W F (aM)× ({0} × IR).

Ceci d´emontre que W F (aM)× ({0} × IR) ⊂ W F (T ). Pour simplifier la preuve, on se restreint `

a M = 1. On v´erifie que

xnT =−a1⊗ δxn

(1 +_∂x^∂_n ◦ xn)T = a0⊗ δxn

ce qui donne, utilisant le fait que (1 + ∂

∂xn ◦ xn) est un op´erateur diff´erentiel, l’inclusion W F (a0)∪ W F (a1)× ({0} × IR) ⊂ W F (T ). L’inclusion inverse est imm´ediate. On a montr´e le r´esultat du lemme 11.4. Un op´erateur diff´erentiel d’ordre 2 se met sous la forme

P = ann(x) ^∂ 2 ∂x2 n + ^X 1≤j≤n−1 bj(x) ^∂ 2 ∂xj∂xn + ^X k,l≤n−1 ckl(x) ^∂ 2 ∂xk∂xl + b(x) ^∂ ∂xn + C(x, ^∂ ∂x0). Introduisant A(xn, x⁰, Dx0) =− ^X 1≤j≤n−1 1 2 bj(x) ann(x)^Dxj+ ⁱ 2 b(x) ann(x) on trouve 1 ann P = ^∂ 2 ∂x2 n +² i^{A(xn, x} 0, Dx0) ^∂ ∂xn + B(xn, x⁰, Dx0)

o`u l’op´erateur B est un op´erateur diff´erentiel d’ordre 1 dans les coordonn´ees x⁰ dont les coefficients d´ependent de x. Alors on a le

Lemme 11.5 On consid`ere u une distribution prolongeable telle que P u soit une distribution prolongeable.

Soit U la prolong´ee de u par 0 dans xn < 0 et (P u)∗ la prolong´ee de P u par 0 dans xn < 0.(P u = 0 dans xn > 0)

1. Lorsque u est une fonction de classe C∞, P U = (P u)∗+ ∂u

∂xn(0, x0)δxn=0+ u(x0, 0)δ0

xn=0+2

iA(0, x0, Dx0)u(x0, 0)δxn=0.

2. Si u est une solution prolongeable, il existe deux distributions g0(u) et g1(u) telles que P U = g0(u)⊗δxn=0+g1(u)⊗δ0

xn=0. Lorsque u est un peu plus r´eguli`ere, par exemple u∈ H1(xn > 0), P u∈ L2(xn> 0), alors P U = (∂u

∂xn(x0, 0) + 2

iA(0, x0, Dx0)u(x0, 0))δxn=0+ u(x0, 0)δ0

xn=0. La r´egularit´e de P u permet de prolonger P u par z´ero et le r´esultat est dans L2. La r´egularit´e de u permet de d´efinir la trace de u, γu∈ H¹2

loc(IRⁿ⁻¹), ainsi que la d´eriv´ee normale, donn´ee dans ce cas par

< P U, φ > +² i ^{< γu, A(0, x} 0, Dx0)φ > + < γu, ^∂φ ∂xn >=< ^∂u ∂n^{, φ > .} Le premier item est la forme particuli`ere des expressions (20.1.4) et (20.1.5) de [47].

11.4. PROBL `EMES AU BORD POUR L’ ´EQUATION DES ONDES. 199 Preuve Nous d´emontrons la formule des sauts pour les op´erateurs_∂x^∂22

net pour A(xn, x0, Dx0)_∂x^∂_n. Soit φ∈ C∞ 0 (IRⁿ). Alors R (∂2u ∂x2 n)^∗(x)φ(x)dx =R dx0R∞ 0 ∂2u ∂x2 nφ(x)dxn =R dx0[−∂u ∂xn(x0, 0)φ(x0, 0)−R∞ 0 ∂u ∂xn ∂φ ∂xndxn] =R dx0[−∂u ∂xn(x⁰, 0)φ(x⁰, 0) + u(x⁰, 0)_∂x^∂φ_n(x⁰, 0) +R u(x) ∂2 ∂x2 nφ(x)dxn] De mˆeme, en notant A⊥l’adjoint de l’op´erateur A (en variables x0), xn´etant un param`etre

R (A(xn, x⁰, Dx0)_∂x^∂u_n)^∗φ(x)dx =R∞ 0 dxnR dx0A(xn, x⁰, Dx0)_∂x^∂u_nφ(x) =R∞ 0 dxnR dx0 ∂u ∂xnA⊥(xn, x0, Dx0)φ(x) =R dx0R∞ 0 dxn_∂x^∂u_nA⊥(xn, x0, Dx0)φ(x) =R dx0[−u(x0, 0)A^⊥(0, x⁰, Dx0)φ(0, x⁰) −R∞ 0 dxnu(x) ∂ ∂xn ◦ A(xn, x0, Dx0)φ =−R dx0A(0, x0, Dx0)u(x0, 0)φ(x0, 0) −R∞ 0 dxnR dx0u(x)_∂x^∂_n◦ A(xn, x0, Dx0)φ

On v´erifie ainsi, en regardant les ´egalit´es et en remarquant que l’adjoint dans D(Rn) de A(x, Dx0)_∂x^∂_n est−∂x^∂n◦ A⊥(xn, x0, Dx0) l’´egalit´e du lemme puisque

Z +∞ 0 dxn Z dx⁰uP^⊥φ = Z dxU P^⊥φ Z P U φ.

Ceci ach`eve la d´emonstration du premier point du lemme 11.5. Le deuxi`eme point provient du fait que si u est une solution, P u = 0 dans xn> 0 donc le prolongement unique de 0 ´etant 0 dans L2, (P u)∗= 0 comme distribution dans IRⁿ.

On a alors des informations suppl´ementaires sur le front d’onde au bord de u, distribution prolongeable solution de P u = 0 dans xn> 0 :

Proposition 11.3 Le front d’onde au bord d’une distribution u prolongeable solution de P u = 0 pour xn> 0

W Fb(u)|xn=0= W F (u|xn=0)× T^∗S∪ W F (∂xnu|xn=0)× T^∗S.

Lorsque u est assez r´eguli`ere (H1par exemple), les notations employ´ees sont bonnes. Lorsque u n’est pas assez r´eguli`ere, on remplace u|xn=0par g1(u) et ∂xnu|xn=0 par g0(u), les distributions g0(u) et g1(u) deD0(IRⁿ⁻¹) ´etant d´efinies dans le lemme 11.3.

Preuve Comme, pour tout op´erateur diff´erentiel B, on a W F (Bu)⊂ W F (u), on d´eduit que W F (P u)⊂ W F (u), donc comme W F (g0(u)⊗ δxn=0+ g1(u)⊗ δ0

xn=0) = W F (g0(u))× T∗S∪ W F (g1(u))× T∗S, on a l’inclusion

W F (g0(u))∪ W F (g1(u))⊂ W Fb(u).

Dans le document Opérateurs intégraux de Fourier et asymptotiques pour les ondes (Page 195-200)