Le calcul successif de tous les termes est tr`es technique. On applique le lemme 8.5.
9.2 Changement de variable et objets g´eom´etriques
Nous d´efinissons un premier objet g´eom´etrique : les bicaract´eristiques. Elles sont d´efinies dans l’espace des positions impulsions associ´e `a l’espace des symboles. il s’agit de la g´en´eralisation des rayons de l’optique g´eom´etrique introduits au chapitre 3, dans le sens o`u les bicaract´eristiques associ´ees `a l’op´erateur ξ2− k2sont les courbes dont les premi`eres coordonn´ees sont les rayons et o`u les deuxi`emes coordonn´ees sont les vecteurs ~p de module k donnant la direction des rayons. L’impulsion est alors ~p par analogie avec le Hamiltonien|~p|2
− k2.
9.2.1 Les bicaract´eristiques
Commen¸cons par un exemple provenant du r´esultat de la Section 3. Nous avons, dans cette section, calcul´e la solution asymptotique formelle de (∆+k2)u(x, k) = 0 sous la condition (que nous avions nomm´ee condition initiale) u(x, k) = A(x, k)eikφ0, x∈ Σ0. Il s’agissait donc d’une phase constante sur la vari´et´e Σ0de codimension 1. Nous supposons A(x, k)'P
jAj(x)(ik)−j. Pour nous fixer les id´ees, consid´erons un point x0 ∈ Σ0. Alors, pour tout x∈ Σ0∩ B(x0, ε), ε assez petit, on peut d´efinir un syst`eme de coordonn´ees locales (y1, y2) sur Σ0 telles que x = x(y). Pour u assez petit (de sorte que la matrice det(Id + uW (x)) soit inversible pour x ∈ Σ0 ∩ B(x0, ε), W d´esignant, on le rappelle, la matrice des courbures ou matrice de Weingarten de la phase φ solution de|∇φ| = 1, φ|Σ0 = φ0 sur l’isophase Σ0), on peut d´efinir un diff´eomorphisme d’un voisinage de x0 dans IR3par la relation
x(y, u) = x(y) + uN (x(y)). (9.2.5) On sait ainsi que
a0(x(y, u)) = A0(x(y))(det(Id + uW (x(y))))−12
et
φ(x(y, u)) = φ0+ u.
Notons u0(x(y, u), k) = a0(x(y, u))eik(φ0+u). Il s’agit du terme principal de la solution asymptotique formelle. Comme (9.2.5) d´efinit un diff´eomorphisme, la fonction φ telle que φ0+ u = φ(x(y, u)) est une fonction bien d´efinie. Soit
u0(x, k) = a0(x)eikφ(x). (9.2.6) La transform´ee de Fourier inverse en k de (9.2.6) est la distribution (notation formelle)
v0(x, t) = a0(x) Z
IR
9.2. CHANGEMENT DE VARIABLE ET OBJETS G ´EOM ´ETRIQUES 147 Rappelons que le front d’onde d’une distribution est le compl´ementaire de l’ensemble des points (x0, t0, ξ0, τ0) tels qu’il existe χ localisant au voisinage de (x0, t0) telle queF(χv0) soit `
a d´ecroissance rapide dans un voisinage de (ξ0, τ0). On suppose que a0(x0)6= 0. Il existe un voisinage B(x0, ε) tel que|a0(x)| ≥ 1
2|a0(x0)| sur ce voisinage (et donc est non nul). On choisit χ de sorte qu’elle ait son support contenu dans ce voisinage. Lorsque t0 6= φ(x0), on peut choisir χ pour que χv0 soit identiquement nulle, donc les points (x0, t0, ξ0, τ0), t0 6= φ(x0) ne sont pas dans le front d’onde de v0. La transform´ee de Fourier de χv0 est (avec des abus de notation clairs) I(ξ, τ ) = Z IR3 a0(x)e−iξ.x Z IR δ(t− φ(x))e−itτdtdx = Z IR3 a0(x)e−ix.ξ−iτ φ(x)dx. Le diff´eomorphisme (9.2.5) conduit `a Z IR3
dudσΣ0(y)det(Id + uW (x(y))a0(x(y, u))eix(y).ξ+iuN (x(y)).ξ+iτ φ0+iτ u.
Cette phase stationne pour ξ normal `a Σ0 et pour N (x(y)).ξ + τ = 0. Il vient ainsi ξ = λN (x(y)) et τ = −λ. Les points o`u la phase ne stationne pas correspondent aux points (x(y, u), φ0+ u, ξ, τ ) qui ne sont pas dans le front d’onde de v0. Le front d’onde de v0satistait donc `a
W F (v0)∩ B(x0, ε) ={(x(y) + uN(x(y)), φ0+ u,−τN(x(y)), τ)} ∩ B(x0, ε). (9.2.7) On donne la d´efinition des courbes bicaract´eristiques :
D´efinition 9.1 Les courbes bicaract´eristiques de l’op´erateur P diff´erentiel (ou du symbole p homog`ene, symbole proincipal de P ) sont les courbes int´egrales du champ de vecteur hamilto-nien Hp∈ T (T∗IRd) associ´e au symbole p sur T∗IRd :
Hp= j=d X j=1 ∂p ∂ξj(x, ξ) ∂ ∂xj −∂x∂p j(x, ξ) ∂ ∂ξj (9.2.8) encore not´e Hp= (∂p ∂ξ,−∂p∂x). Elles satisfont d ds((x(s), ξ(s)) = Hp((x(s), ξ(s)) (x(0), ξ(0)) = (x0, ξ0). (9.2.9) Cette d´efinition sera pr´ecis´ee d’un point de vue g´eom´etrique dans la section 9.3 consacr´ee `a la g´eom´etrie symplectique. Dans l’exemple simple de l’op´erateur des ondes dans l’espace usuel ∆− ∂2
t2, son symbole est p(t, x, τ, ξ) = τ2− ξ2. Le hamiltonien associ´e est le champ Hp= (2τ,−2ξ, 0, 0).
Les courbes int´egrales de Hp v´erifient τ = τ0, ξ = ξ0. On a bien sˆur τ2− ξ2= τ2 0− ξ2
0 = 0. Alors t(s) = t0+ 2τ0s, x(s) = x0− 2sξ0.
On en d´eduit ais´ement que :
– le symbole principal est invariant sur les bicaract´eristiques,
– la phase solution de l’´equation eikonale peut ˆetre calcul´ee sur les bicaract´eristiques de l’op´erateur de d’Alembert. En effet, la phase de la solution de l’´equation de Helmholtz obtenue apr`es transformation de Fourier en temps de l’´equation des ondes est φ(s0) = φ0+s0et x(s0) = x0+s0∇φ(x0), avec|∇φ(x0)| = 1. On prend s0=−2sξ0
τ0 pour v´erifier que la projection sur l’espace physique des bicaract´eristiques de l’op´erateur de d’Alembert est confondue avec les caract´eristiques et que la phase associ´ee au dalembertien, ´egale `a ψ(x, t) = φ0+ s− t, est calcul´ee le long des bicaract´eristiques.
9.2.2 Changement de variable et transformation du front d’onde, des
bicaract´eristiques et de la phase eikonale
Nous utilisons dans cette section le lemme de changement de variable 8.10 qui donne la relation entre le changement de variable dans X ⊂ IRd et le changement de variable induit dans X× IRd⊂ IR2d. Nous avons la
Proposition 9.3 Soit χ un diff´eomorphisme de IRd dans IRd, tel que χ(x0) = y0. On d´efinit un diff´eomorphisme hχ de IRd× IRd dans IRd× IRd par
hχ(x, ξ) = (χ(x),tχ0(x)−1ξ). Alors
1) Invariance du front d’onde :
W F (u◦ χ−1) = hχ(W F (u))
2) Invariance des bicaract´eristiques et de la phase solution de l’´equation eikonale : Soit P un op´erateur pseudo-diff´erentiel classique de symbole principal pm(x, ξ) homog`ene de degr´e m. On d´efinit l’op´erateur pseudo-diff´erentiel classique Q (en vertu de la proposition 8.10) par
Q(v)◦ χ−1= P (v◦ χ−1), de symbole principal qm(y, η), o`u y = χ(x), η =tχ0(x)−1ξ.
a) Si (x(s), ξ(s)) est une courbe int´egrale du champ hamiltonien Hpm, alors hχ(x(s), ξ(s)) est la courbe int´egrale du champ hamiltonien Hqm passant par hχ(x(0), ξ(0)).
b) Si φ(x) est une solution de l’´equation eikonale pour pm, alors φ◦ χ−1 est une solution de l’´equation eikonale pour qm.
La preuve fait l’objet de l’exercice 1 de cette section. Notons que ce r´esultat peut ˆetre ´ecrit localement, modulo quelques pr´ecautions.
Dans la suite de ce chapitre, nous g´en´eralisons l’approche d´ej`a exploit´ee dans la section exprimant des solutions asymptotiques de l’´equation de Helmholtz (Section 1.4), puis lorsque nous avons exprim´e dans le chapitre 2 la solution d’un probl`eme hyperbolique matriciel d’ordre 1 en introduisant une ´equation eikonale (2.2.4). Nous utilisons ici le r´esultat d´emontr´e dans la Section 9.1, en particulier l’alin´ea 2) b) de la proposition 9.3. Nous g´en´eralisons la notion d’´equation eikonale. En effet, nous avons d´emontr´e que, pour l’´equation de Helmholtz comme pour un probl`eme hyperbolique matriciel `a coefficients variables, il existe une ´equation scalaire, dont une fonction φ pouvait ˆetre solution, fonction que nous avons appel´e fonction phase et ´equation que nous avons appel´e ´equation eikonale. Nous avons vu dans le lemme 9.1 que l’on pouvait aussi introduire une ´equation eikonale pour un op´erateur pseudo-diff´erentiel usuel grˆace aux op´erateurs de Fourier int´egraux. Enfin, la proposition 9.3 montre que l’en-semble des points (x,∇xφ) o`u φ est une solution de l’´equation eikonale associ´ee `a l’op´erateur pseudo-diff´erentiel de symbole principal pm se transforme de la mˆeme fa¸con que les courbes bicaract´eristiques lorsque l’on consid`ere l’op´erateur Q tel que Q(u◦ χ−1) = (P u)◦ χ−1. Ces consid´erations intrins`eques nous am`enent `a ´etudier non pas la phase φ elle mˆeme, mais les ensembles{(x, ∇xφ)}, puis les g´en´eraliser. De tels ensembles constituent des vari´et´es lagran-giennes, qui sont des solutions lagrangiennes de l’´equation caract´eristique pm(x, ξ) = 0.
Nous introduisons le cadre g´eom´etrique dans lequel ces ensembles sont bien d´efinis, il s’agit de la g´eom´etrie symplectique. En particulier, nous aboutirons `a une d´efinition rigoureuse et intrins`eque de l’objet introduit dans la D´efinition 9.1 par la relation (9.2.8). Nous nous appuyons ici sur le cours de J. Sjostrand [42]. Le lecteur int´eress´e peut se reporter au trait´e de Stenberg [91].