∂x3(∂x∂φ3e0 1−∂x∂φ1e0 3) = ∂ ∂x1(gradφ.e0)− ∆φe0 1+ dive0 ∂φ ∂x1 − 2gradφ.∂e0 ∂x1. On en d´eduit les ´equations de transport pour chaque terme e0
p, p = 1, 2, 3 : [2∇φ.∇ + ∆φ]e0p= 0, e0.∇φ = 0.
Cette m´ethode, on l’a vu, est fastidieuse et peu g´en´erale car la forme des op´erateurs divergence, rotationel, gradient est tr`es particuli`ere. Nous verrons dans le chapitre 2 comment ´ecrire de mani`ere g´en´erale de tels calculs, utilisant des r´esultats de Lax et de Rauch.
1.7 Exercices
Exercice 1.0 : Solution fondamentale de l’´equation de Helmholtz dans IR3. 1) D´emontrer que la fonction, d´efinie pour (x, y)∈ IR3
× IR3, ´egale `a G(x, y) = e
ik|x−y|
4πik|x − y| est une solution de
(∆x+ k2)G(x, y) = δx=y. Que peut-on dire de H(x, y) = 4πike−ik|x−y||x−y|?
2) Donner deux solutions de (∆ + k2)u(x) = f (x). Interpr´etation ?
Exercice 1.1 : d´eveloppement asymptotique dans l’´equation des ondes Nous consid´erons l’´equation des ondes
(∆− ∂2
t2)u(x, t) = 0,
dans laquelle, remarquons le, il n’y a pas de param`etre asymptotique. Rechercher une solution formelle de cette ´equation sous la forme
u(x, t) = a(x, t, k)eikφ(x,t).
Montrer que ce probl`eme revient `a la recherche de la solution de l’´equation eikonale L0(gradψ) = 0. On ´etudiera les surfaces isophases de φ.
Exercice 1.2 : equation de Helmholtz dans un espace muni d’une m´etrique g Dans cet exercice, nous introduisons la notion de Laplacien m´etrique, qui nous sera utile pour ´etudier les ´equations de Maxwell dans un ouvert, localement au voisinage d’un bord. Ce laplacien m´etrique est la bonne formulation des probl`emes d’ondes ; il sera repris dans les chapitres 11 et 12.
1.7. EXERCICES 25 L’espace X consid´er´e, inclus dans IRn, est muni de la m´etrique g(x). Ceci se traduit, par d´efinition, par le fait que le produit scalaire sur TxX, espace tangent `a X en x est
< u, v >g=X
ij
gij(x)uivj,
(g(x)) ´etant une matrice sym´etrique d´efinie positive en tout point x et (u, v) sont deux vecteurs tangents `a X en x.
1) Etendre la d´efinition du Laplacien en g´en´eralisant la relation Z
IRnh(x)∆f (x)dx =− Z
(gradf.gradh)dx,
valable dans IRn muni de la m´etrique identit´e (usuelle) pour des fonctions C∞ `a support compact. On notera ∆g le Laplacien m´etrique ainsi d´efini.
2) Ecrire le d´eveloppement asymptotique formel de ∆g+ k2
Exercice 1.3 : Transform´ee de Radon et ´equation des ondes. 1) On d´efinit la trans-form´ee de Radon par (ω, s)∈ S2
× IR Rf(ω, s) = Z x.ω−s=0 f (x)dˆx, ˆ
x ´etant la coordonn´ee sur l’hyperplan x.ω = s.
V´erifier que Rf(−ω, −s) = Rf(ω, s), et que la transform´ee de Fourier et la transform´ee de Radon sont reli´ees, pour ω de norme 1, par la relation Ff(tω) =R
IRe−itsRf(s, ω)ds. 2) CalculerR−1g(x) etR(∆f) pour n impair.
3) Ecrire en terme de transform´ee de Radon la solution de l’´equation des ondes dans IR3 en prouver que si les donn´ees initiales ont leur support dans|x| < R, alors la solution est nulle pour |x| < |t| + R. Peut-on donner un r´esultat identique avec le support du terme source ? Solution de l’exercice 1.0 1) Nous v´erifions que
∂xjG(x, y) = xj− yj |x − y|G(x, y)(ik− 1 |x − y|) Il vient alors ∂x22 jG(x, y) = G(x, y) |x − y|(ik− 1 |x − y|) + G(x, y) xj− yj |x − y| xj− yj |x − y|3 +(xj− yj)2 |x − y|2 (ik− 1 |x − y|) 2G(x, y). En sommant, on obtient ∆xG = G[ 3 |x − y|(ik− 1 |x − y|)− (ik − 1 |x − y|) |x − y|2 |x − y|3 +|x − y|2 |x − y|3 + (ik− 1 |x − y|) 2].
Tous calculs faits, on obtient bien ∆xG(x, y) =−k2G(x, y). De mˆeme, en prenant le complexe conjugu´e dans cette relation, ∆xH(x, y) =−k2H(x, y) pour x6= y. La distribution (∆x+ k2)G(x, y) est sup-port´ee en x = y. D’autre part, on ´ecrit, en utilisant la forme du Laplacien en coordonn´ees sph´eriques, pour une fonction test ind´ependante de θ, φ :
Z IR3 (∆x+ k2)G(x, y)φ(|x|)dx = Z +∞ 0 eikr 4πikr[ 1 r ∂ ∂r (r∂φ ∂r) + k 2φ]4πr2dr. Le calcul explicite donne donc, apr`es int´egrations par parties en r
R∞ 0 k2rφ(r)dr−R∞ 0 r∂rφ∂r(eikr)dr =R∞ 0 k2rφ(r)dr−R∞ 0 r∂rφ∂r(eikr)dr = k2R0∞rφ(r)dr− ikR∞ 0 r∂rφeikrdr = k2R∞ 0 rφ(r)dr + ikR∞ 0 φ∂r(reikr)dr = ikR0∞φeikrdr.
Le r´esultat en d´ecoule. 2) On v´erifie imm´ediatement que, pour f ∈ L∞(IR3)
u(x, k) = Z
IR3
G(x, y)f (y)dy est alors une solution de (∆ + k2)u = f , ainsi que v(x, k) =R
IR3H(x, y)f (y)dy. Solution de l’exercice 1.1 Les relations de la section 1.4 donnent
∆xa + ik(2∇xφ.∇xa + a∆xφ)− k2
|∇xφ|2a− ∂t2a− ik(2∂tφ.∂ta + a∂2t2φ) + k2(∂tφ)2a = 0 L’´equation eikonale est, ici,
(∂tφ)2=|∇xφ|2. L’op´erateur de transport qui correspond `a L1 est
2(∇xφ,−∂tφ).(∇x, ∂t) + (∆− ∂2t2)φ.
Nous supposons qu’il existe un point (x0, t0) tel que φ(x0, t0) = 0 et tel que∇tφ(x0, t0)6= 0 (ceci repr´esente une surface qui se propage en temps). Nous supposons de plus que la phase est C∞ au voisinage de ce point. Au voisinage de ce point, il existe une fonction ψ(x) telle que ψ(x0) = t0 et φ(x, t) = 0⇔ t = ψ(x).
Comme φ(x, u + ψ(x)) = 0⇔ u = 0, la fonction a(x, u) =R1
0 ∂tφ(x, su + ψ(x))ds v´erifie φ(x, u + ψ(x)) = ua(x, u).
On en d´eduit φ(x, t) = (t−ψ(x))b(x, t), avec b(x, t) = a(x, t−ψ(x), et b(x, ψ(x)) 6= 0 dans un voisinage de x0.
∇xφ(x, t) =−∇xψ(x)b(x, t) + (t− ψ(x))∇xb(x, t)
∂tφ(x, t) = b(x, t) + (t− ψ(x))∂tb(x, t). La fonction φ est solution de l’´equation eikonale, donc
b2(x, t) + 2(t− ψ(x))b(x, t)∂tb(x, t) + (t− ψ(x))2(∂tb(x, t))2 = (∇xψ(x))2b2(x, t) + (t− ψ(x))2(∇xb)2− 2(t − ψ(x))∇xb.∇xψ.
En ´ecrivant cette ´egalit´e, vraie pour tout t, pour t = ψ(x) et en utilisant b(x, ψ(x)) 6= 0 dans un voisinage de x0, on trouve
|∇xψ| = 1 et
2b∂tb + (t− ψ(x))(∂tb)2=−2∇xb∇xψ + (t− ψ(x))(∇xb)2.
On a donc v´erifi´e que φ(x, t) = b(x, t)(t− ψ(x)), avec |∇xψ| = 1. Les surfaces isophase de φ peuvent ˆetre d´efinies de mˆeme en tout point (x0, t0) telles que ∂tφ(x0, t0)6= 0. On a le r´esultat :
Pour tout (x0, t0), il existe ψφ(x0,t0) telle que|∇xφa| = 1 pour tout a et telle que, localement au voisinage de (x0, t0) :
1.7. EXERCICES 27 Solution de l’exercice 1.2 1) Le Laplacien m´etrique ∆g est d´efini par
Z Rn (∆gf )(x)h(x)dgx =− Z Rn < gradf, gradh >gdgx. (1.7.19) Voyons ce qu’il faut prendre pour forme volume dg. En supposant que le volume local est ind´ependant par changement de variable, on consid`ere un point x0 et on ´ecrit les vecteurs propres de la matrice g(x0) (unitaires pour la m´etrique identit´e sur IRn), qui forment une base orthonorm´ee de IRn. En ´ecrivant alors g(x0)(u, u) =PλjU2
j, les Ui´etant les coordonn´ees de u dans la base propre de g(x0), l’´element de volume est alors pQλi, ce qui donne, en notant|g| le d´eterminant de la matrice g
dgV =|g(x0)|12dV.
On a ainsi construit l’´el´ement de volume dgx =|g|12dx. Cette ´egalit´e locale est due entre autres i) au fait qu’une matrice diagonale soit associ´ee `a un ´element de volume comme ci-dessus et ii) au fait que l’espace des n-formes lin´eaires altern´ees sur IRnest de dimension 1, donc dgx = λdx. Utilisant la relation (1.7.19), on a Z M (∆gf )(x)h(x)|g(x)|12dx =− Z X j,l gjl(x)∂f ∂xj ∂h ∂xl|g(x)|12dx. On en tire imm´ediatement, apr`es int´egration par parties
∆gf (x) =|g(x)|−12X
l
∂xl(|g(x)|12X
j
gjl(x)∂xlf ).
On r´e´ecrit cette ´egalit´e en utilisant les notations div et grad pour les op´erateurs ∂x1+ ∂x2+ ∂x3
et (∂x1, ∂x2, ∂x3) :
∆g =|g(x)|−12div(|g(x)|12g(gradf )).
Cette formulation de l’op´erateur laplacien est invariante par changement de variable riemannien. Les op´erateurs divergence et rotationnel associ´es `a cette m´etrique seront d´efinis ult´erieurement, lors de l’´etude des ´equations de Maxwell.
2) En introduisant a(x, k)eikφ(x), on v´erifie que e−ikφ(x)∆g(aeikφ(x)) = |g|−12div[|g|12P
j,lgjl(x)(grada + ikgradφa) =|g|−1 2div[|g|12gjl(x)grada] + ik|g|−1 2divgradφa) +ikP j,lgjl(x)gradagradφ− k2P j,lgjl(x)gradφgradφ +ik|g|−1 2div[|g|12P jgij(x)gradjφ)]a.
Cet exemple montre que le calcul formel de la section (1.5) est beaucoup plus rapide ; la forme bilin´eaire canonique associ´ee `a P est la forme m´etrique et s’´ecrit P
j,lgjl(x)ξjξl. Sa d´eriv´ee s’´ecrit donc
∂ξj(A(x, ξ, ξ)) = 2X
l
gjl(x)ξl
Comme ∆g(1) = 0, ∆g ne comporte pas de terme constant. Le r´esultat en d´ecoule alors. Nous reviendrons dans une autre partie du cours au probl`eme d’obtenir une ´ecriture intrins`eque pour cet op´erateur et en d´eduire une formulation plus rapide des ´equations eikonale et de transport.
Solution de l’exercice 1.3 1) On ´ecrit Ff(tω) =
Z
IR3
e−itx.ωf (x)dx.
On peut donc, pour tout ω∈ S2fix´e, d´efinir de mani`ere ind´ependante de x.ω une mesure sur x.ω = s. Cette mesure est not´ee dˆxω, et dx = dˆxωds. On v´erifie queRx.ω=sdˆxωf (x) =Rf(s, ω), ce qui donne l’´egalit´e recherch´ee.
2) On ´ecrit alors l’´egalit´e sur la transform´ee de Fourier inverse : f (x) = 1
(2π)3
Z
IR3
On remplace la transform´ee de Fourier par son expression en fonction de la transform´ee de Radon, ´ecrivant ξ = ρθ, θ de norme 1, et alors :
f (x) = 1 (2π)3eiρx.θR IR3Ff(ρθ)ρ2dρdθ = 1 (2π)3 R∞ 0 R S2 R IRdseiρ(x.θ−s)Rf(s, θ)ρ2dρdθ = 1 2π R∞ −∞ R IRdseiρ(x.θ−s)|ρ|2dρ 1 2(2π)2 R S2dθRf(s, θ) =2(2π)1 2 R S2dθ[(−∂2 ∂s2)RRf](x.θ, θ).
La derni`ere ligne de cette ´egalit´e provient du fait que|ρ|2 est le symbole de la d´eriv´ee seconde en s ; il sera clair qu’en dimension n, ce terme est remplac´e par|ρ|n−1, et donc l’op´erateur ´equivalent sera l’op´erateur pseudo-diff´erentiel (−∂2
s2)n−12 . La formule d’inversion dans IRnest
f (x) = 1 2(2π)n−1 Z Sn−1 dθ[(−∂ 2 ∂s2)n−12 Rf](x.θ, θ). (1.7.20) On v´erifie ensuite que, grˆace `a la correspondance entre la transform´ee de Fourier et la transform´ee de Radon, que
F(∂xjf )(tω) = Z
IR
e−itsR(∂xjf )(s, ω)ds
D’autre part, le premier terme est ´egal `a itωjFf(tω), ´egal donc `a itωjRIRe−itsRf(s, ω)ds. Il vient
ωj
Z
IR
(−∂s∂ )(e−its)Rf(s, ω)ds = itωj
Z IR e−itsRf(s, ω)ds = Z IR e−itsR(∂xjf )(s, ω)ds, et par int´egration par parties sur le premier terme
ωj Z IR e−its(∂ ∂s)Rf(s, ω)ds Z IR e−itsR(∂xjf )(s, ω)ds. La relation ωj(∂ ∂s)Rf(s, ω) = R(∂xjf )(s, ω) permet, avec|ω| = 1, d’avoir
R(∆f)(s, ω) = ∂
2
∂s2(Rf)(s, ω).
3) Il est alors ´el´ementaire de calculer la solution du probl`eme de Cauchy. En effet, on se donne (∆− ∂2
t2)u(x, t) = 0
avec u(x, 0) = u0(x), ∂tu(x, 0) = u1(x), toutes suppos´ees L2(IR3). En consid´erant la transform´ee de Radon en x de u, not´ee F (s, ω, t), on obtient le probl`eme :
(∂s22− ∂t22)F (s, ω, t) = 0
F (s, ω, 0) =Ru0(s, ω), ∂tF (s, ω, 0) =Ru1(s, ω).
La solution de ce probl`eme est explicite ; elle est donn´ee par l’expression (1.1.2) On trouve F (s, ω, t) = 1 2(Ru0(t + s, ω) +Ru0(t− s, ω)) +12 Z t+s t−s Ru1(z, ω)dz.
La solution est alors la transform´ee de Radon inverse de F (s, ω, t), obtenue par l’expression (1.7.20). Alors on voit que l’on fait intervenir F (x.θ, ω, t) dans l’expression, donc des d´eriv´ees deRu0(t+x.θ, ω) et deRu0(t− x.θ, ω) (et de mˆemes avec Ru1). On suppose que les donn´ees initiales sont support´ees pour|x| < r. Elles sont nulles pour |x| ≥ R. En particulier, l’hyperplan x.ω = s pour s > R est hors de la zone o`u u0 est non nul, donc
1.7. EXERCICES 29
Supp(u0)⊂ {|x| < R} ⇒ R(s, ω) = 0, s > R.
La variable s consid´er´ee est alors, soit x.θ−t, soit x.θ+t, donc, comme θ est de norme 1, |x.θ−t| ≥ |x|−t, donc si|x| > t + R, on a nullit´e de la transform´ee de Radon des donn´ees initiales l`a o`u on la calcule.
Chapitre 2
M´ethodes asymptotiques pour
les syst`emes hyperboliques
Dans ce chapitre, nous pr´esentons les r´esultats de Lax [58] qui prouvent, sous un certain nombre d’hypoth`eses de r´egularit´e, que les probl`emes hyperboliques matriciels d’ordre 1 ad-mettent une solution asymptotique et que cette solution asymptotique est assez proche de la solution r´eelle. La m´ethode de Lax permet de r´esoudre dans des cas g´en´eriques les ´equations eikonale et de transport obtenues dans le cas de syst`emes. Nous avons obtenu, dans le lemme 1.3, que les ´equations sur le terme principal e0, h0de E, H et sur la phase φ sont :
• l’´equation eikonale sur φ :
|gradφ|2= εµ,
• une condition de compatibilit´e entre les premiers termes de e et de h : e0= ε−1gradφ∧ h0
(´equivalente `a µh0=−gradφ ∧ e0),
• les ´equations de transport sur les premiers termes
gradφ∧ rote0
− µroth0
− (dive0)gradφ = 0 gradφ∧ roth0+ εrote0
− (divh0)gradφ = 0.
La situation obtenue dans ce cas est diff´erente de celle de la section 1.4 o`u aucune condition de compatibilit´e n’apparaˆıt, la seule relation sur le premier terme est une ´equation aux d´eriv´ees partielles. Dans le cas du syst`eme des ´equations de Maxwell, on trouve une relation non diff´erentielle (appel´ee condition de compatibilit´e) et des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Le pr´esent chapitre pr´ecise et g´en´eralise la notion de relation de compatibilit´e et d’´equation de transport induite.
2.1 Stabilit´e et construction de solutions de syst`emes
sym´etriques
Nous rappelons dans ce premier paragraphe un r´esultat d’existence et d’unicit´e classique pour le probl`eme de Cauchy, dˆu `a Friedriechs [27]. On introduit, suivant en cela Rauch [85] et Lax [58], un op´erateur hyperbolique :
D´efinition 2.1 Un op´erateur sym´etrique hyperbolique matriciel sur IRd×IRt est un op´erateur de (C0∞(IRd× IRt))m dans lui mˆeme qui se met sous la forme g´en´erale
Lu = A0(x, t)∂tu + j=d X j=1 Aj(x, t)∂xju + B(x, t)u. 31
Les matrices (Aj)0≤j≤d sont sym´etriques et v´erifient ∀α ∈ INd,∀p ∈ IN, ∃Cj
α,p∈ IR, ∀(x, t) ∈ IRd+1,|∂α
x∂tpAj(x, t)| ≤ Cj α,p. De plus, A0 est d´efinie positive et il existe c > 0 telle que A0− cId ≥ 0.
Nous avons le r´esultat d’existence et d’unicit´e
Proposition 2.1 Soit L un op´erateur (matriciel) sym´etrique hyperbolique. Soit g∈ Hσ(IRd), f ∈ H1
loc(IR, Hσ(IRd)) (dans le cas o`u cet op´erateur est matriciel, on consid`ere g1, ...gm et f1, ..., fm, m ´etant le nombre de fonctions inconnues).
Le probl`eme
Lu = f, u(x, 0) = g(x),
admet une solution unique dans C(IR, Hσ(IRd)), qui v´erifie l’estimation ||u(t, .)||Hσ(IRd)≤ CeCt
||g||Hσ(IRd)+ Z t
0
CeC(t−s)||f(s, .)||Hσ(IRd)ds.
Preuve 1) Estimation a priori. Soit v(x, t) = ∂α
xu. On v´erifie que A0(x, t)∂tv +X j Aj(x, t)∂xjv = Lv. De plus d
dt(A0v, v)L2(IRd)= (∂tA0v, v)L2(IRd)+ (A0∂tv, v)L2(IRd)+ (A0v, ∂tv)L2(IRd). En rempla¸cant dans le membre de droite de l’´egalit´e pr´ec´edente A0∂tv par Lv−P
jAj∂xjv et en effectuant l’int´egration par parties sur xj dans ces termes, on trouve
(A0∂tv, v)L2(IRd)= (Lv, v)L2(IRd)+X
j
(v, ∂xj(Ajv))L2(IRd). Les matrices Aj, 0≤ j ≤ d, ´etant sym´etriques, on obtient
d
dt(A0v, v)L2(IRd)= (∂tA0v, v)L2(IRd)+ (Lv, v)L2(IRd)+ (v, Lv)L2(IRd)+ ( X j (∂xjAj)v, v)L2(IRd). On sait que (A0v, v) = (A12 0v, A12 0v). Comme (v, Lv) = (A12 0v, A−12 0 Lv), l’in´egalit´e classique de Cauchy-Schwarz et l’in´egalit´e A−12 0 ≤ c−1 2Id de la D´efinition 2.1 entraˆınent
(v, Lv)L2(IRd)≤ c−21||Lv||L2(IRd)||A12
0v||L2(IRd)= ((A0v, v)L2(IRd))12||Lv||L2(IRd)c−12. On note h(t) = (A0v, v)12
L2(IRd). Grˆace aux hypoth`eses de la d´efinition, ∂tA0 est de norme major´ee par la constante C0
0,1 et on note C(A) = max1≤j≤dC1,0j . On obtient donc 2h(t)d
dt(h(t))≤ C0,10 c−1h2(t) + 2c−12h(t)||Lv||L2+ C(A)h2(t), ce qui donne, lorsque h(t)6= 0
2.1. STABILIT ´E ET CONSTRUCTION DE SOLUTIONS DE SYST `EMES SYM ´ETRIQUES33 Une application du lemme de Gronwall conduit `a
h(t)≤ h(0)eC1t+ c−12
Z t
0 ||Lv||L2(IRd)(s)eC1(t−s)ds,
expression valable mˆeme lorsque h s’annule. Remarquons que ceci provient du fait que l’adjoint de L est explicite, et que L− L∗ est un op´erateur born´e.
Nous avons donc obtenu l’estimation L2: ||∂α xu||L2(IRd)(t) ≤ c−1 2h(t) ≤ c−1 2||A12 0∂α xu(0)||eC1t+Rt 0c−1eC1(t−s)||L∂α xu||(s)ds. (2.1.1) On utilise les fonctions Cα,β, qui caract´erisent le crochet de Poisson [L, ∂α
x], telles que L∂xαφ = ∂xαLφ + X β,1≤|β|≤|α| Cα,β(x, t)∂xβφ(x, t). L’in´egalit´e (2.1.1) se r´e´ecrit ||∂α xu||L2(IRd)(t)≤ c−1 2||A12 0∂α xu(0)||eC1t+Rt 0c−1eC1(t−s)||P βCα,β(x, s)∂β xu||(s)ds +Rt 0c−1eC1(t−s)||∂α xf (., s)||ds. (2.1.2) On utilise `a nouveau l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, et on d´esigne par Cα,β(s) = maxx∈IRdCα,β(x, s). L’in´egalit´e (2.1.2) implique alors
||∂α xu||L2(IRd)(t)≤ c−1 2||A12 0∂α xu(0)||eC1t+P βc−1Rt 0Cα,β(s)eC1(t−s)||∂β xu||ds +Rt 0c−1eC1(t−s)||∂α xf (., s)||(s)ds.
Notons enfin DN(s) = max|α|,|β|≤NCα,β(s). On obtient, en sommant toutes les in´egalit´es pour |α| ≤ N, que ||u||HN(IRd)(t)≤ c−1 2||A12 0||∞||u||HN(0)eC1t+ c−1Rt 0Dm(s)eC1(t−s)||u||HN(s)ds +Rt 0c−1eC1(t−s)||∂α xf (., s)||(s)ds. (2.1.3) Un lemme de Gronwall permet alors d’avoir encore l’in´egalit´e a priori sur la solution dans HN.
2) Existence. Montrons l’existence de l’approximation par la m´ethode des diff´erences finies de Courant-Friedriechs-L´evy (CFL) [27]. Nous introduisons les op´erateurs Dh
j tels que Dhjφ(x) = 1
2h(φ(x + hej)− φ(x − hej)). Nous introduisons la solution uh de
Lhuh= ∂tuh+P
jAj(x, t)Dh juh= f, uh(x, 0) = g(x).
On v´erifie l’´egalit´e, analogue de l’int´egration par parties discr`ete par un simple changement de variable
(Dhjuh, Ajuh) =−(uh, Dhj(Ajuh)). En consid´erant N (t) = (uh, uh)L2(IRd), on trouve
d dtN (t) = 2Re(Lhuh, uh)−P j(AjDjhuh, uh)−P j(uh, AjDjhuh) = 2Re(Lhuh, uh) +P j(uh, [Dh j(Ajuh)− AjDh juh]).
On a aussi Dh j(Ajuh)− AjDh juh = Aj(x+hej,t)−Aj(x,t) 2h uh(x + hej, t)−Aj(x−hej,t)−Aj(x,t) 2h uh(x− hej, t), ce qui, en utilisant la formule de Taylor avec reste int´egral, s’´ecrit
Dh j(Ajuh)−AjDh juh= 1 2 Z 1 0
∂jAj(x+shej, t)uh(x+hej, t)+1 2
Z 1 0
∂jAj(x−shej, t)dsuh(x−hej, t). On en d´eduit la majoration L2, apr`es l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz sur uh et uh(x + hej) :
|(uh, [Djh(Ajuh)− AjDhjuh])| ≤ ||uh
||2
||∂jAj||∞. Ceci joint avec l’in´egalit´e
|2Re(Lhuh, uh)| ≤ 2||Lhuh||L2||uh||L2 donne d dt||uh ||(t) ≤ ||f||L2+1 2( X j ||∂jAj||∞)||uh ||L2. Nous obtenons l’estimation L2suivante :
||uh ||L2(t)≤ ||g||L2e12(P j||∂jAj||∞)t ) + Z t 0 e12(P j||∂jAj||∞)(t−s) ||f||L2(IRd)(s)ds. Notons que la constante C =P
j||∂jAj||∞est ind´ependante de h. Un raisonnement identique (laiss´e en exercice) montre alors la r´egularit´e L∞
loc(IR, HN(IRd)).
Pour s = 1, on obtient donc, par passage `a la limite, une solution qui est dans L∞loc(IR, H1(IRd)). On en d´eduit queP
jAj(x, t)∂xju∈ L∞
loc(IR, L2(IRd)), ce qui donne ∂tu∈ L∞loc(IR, L2(IRd)).
Ecrivons u(x, t) = u(x, 0) +Rt
0∂tu(x, s)ds. Sur le compact [0, t], ∂tu(x, s) est born´ee et on a sups∈[0,t]||∂tu(x, s)||L2(IRd)< +∞.
On en d´eduit la continuit´e locale en temps de u(x, t). L’in´egalit´e
||u||L2(IRd)(t)≤ ||u(x, 0)||L2(IRd)+ tsups∈[0,t]||∂tu(x, s)||L2(IRd)
implique alors que
u∈ C(IR, L2(IRd)).
Il est ais´e d’obtenir l’appartenance u∈ C(IR, Hσ(IRd)) en s’appuyant sur u∈ L∞
loc(IR, Hs+1(IRd)). 3) Unicit´e. Nous prouvons l’unicit´e par dualit´e.
Notons L = ∂t+ G, alorstL =−∂t+tG. On introduit pour toute fonction ψ `a d´ecroissance rapide (de la classe de Schwartz) une solution du probl`eme
tLv = ψ, v|t=T = 0.