Calcul au voisinage de la caustique

Nous savons que, si Σ0 est donn´ee, surface sur laquelle φ, solution de l’´equation eikonale, est constante ´egale `a φ0, alors on peut d´efinir les courbes caract´eristiques x(t) = x + t~n(x) pour x∈ Σ0. La vari´et´e lagrangienne de IR³× IRt associ´ee est

Λ^∗={(x + t~n(x), t, ~n(x), −1), x ∈ Σ0}.

La projection canonique est propre si l’application (x, t)→ (x + t~n(x), t) est une bijection. Ceci impose que son gradient doit non d´eg´en´er´e, donc que IdT Σ0+ tW soit de d´eterminant non nul.

On voit ainsi que les points de la caustique tels que nous les avions d´efini ci-dessus sont des points qui correspondent `a la d´efinition de la caustique de ce pr´esent chapitre. Nous supposons que les deux rayons de courbure de la matrice de Weingarten sont distincts. La vari´et´e lagrangienne Λ<sup>∗</sup> est une solution lagrangienne maximale au voisinage de tout point qui n’est pas sur la caustique. Il existe donc une solution lagrangienne maximale Λ telle que Λ<sup>∗</sup> ⊂ Λ. La singularit´e de la projection canonique π est de type pli, puisque 0 est, au temps t =−κ<sup>−1</sup>1 , valeur propre simple. On peut donc appliquer le th´eor`eme de repr´esentation 10.3, et il existe une phase φ(x, θ) ´egale `a θ0(x) + θα(x)−θ³

3 − t repr´esentant Λ. La vari´et´e Λ est alors

Λ ={(x, t, ∇θ0(x) +∇xαθ),−1, α(x) − θ2= 0}.

Les points de Λ qui ne sont pas propres sont les points o`u θ = 0, c’est-`a-dire α(x) = 0 (le Jacobien en θ de la phase est 2θ qui est ´egal, au point critique, `a 2√_{α lorsque α(x)}

≥ 0). Comme Λ = Λ^∗ au voisinage des points qui n’appartiennent pas `a la caustique, on voit que les points de la forme (x, t,∇θ0(x)±^√α(x)α(x),−1) sont des points de la partie lisse de Λ, donc dans Λ^∗.

Ceci permet l’introduction de θ et ρ de la section pr´ec´edente, qui sont ´evidemment θ0 et α. L’interpr´etation g´eom´etrique est alors celle du paragraphe pr´ec´edent.

Nous avons ainsi reli´e la d´efinition intuitive de la caustique (points o`u le d´eveloppement asymptotique classique explose) et la d´efinition g´eom´etrique de ce chapitre.

Chapitre 11

Propagation et r´eflexion

transverse des singularit´es.

Nous d´emontrons dans ce chapitre la g´en´eralisation des lois de l’optique g´eom´etrique, encore appel´ees lois de Snell-Descartes. Nous voulons comprendre la notion de propagation le long des rayons dans le cas des deux rayons dessin´es ci-dessous ; le rayon 1 est le rayon qui se propage et le rayon 2 est le rayon qui se r´efl´echit.

Rayon r´efl´echi 2

Rayon se propageant 1 Figure 4

∂Ω

Les deux r´esultats que nous g´en´eralisons sont les suivants : une onde lumineuse se propage le long de droites, appel´ees les rayons (exemple le rayon 1), et lorsqu’un rayon rencontre un bord r´efl´echissant, le rayon se r´efl´echit (exemple le rayon 2) et l’angle d’incidence est ´egal `a l’angle de r´eflexion. Le premier r´esultat fait l’objet du th´eor`eme 11.1, alors que le deuxi`eme est d´emontr´e dans le th´eor`eme 11.2. Nous utilisons ici les op´erateurs int´egraux de Fourier pour d´emontrer ces r´esultats ; il existe d’autres preuves. L’avantage de la d´emarche employ´ee ici, outre qu’elle permet de donner une autre application des op´erateurs int´egraux de Fourier et d’utiliser leurs propri´et´es g´eom´etriques, est qu’elle permet de construire une parametrix sortante pour les probl`emes hyperboliques d’ordre 2 avec condition au bord. Nous pouvons

ainsi g´en´eraliser les lois de Descartes pour n’importe quelle onde incidente et tout bord r´egulier. Dans une premi`ere partie, nous consid´erons la propagation d’une onde dans le vide (ou dans un mat´eriau) hors de tout point de caustique. On peut alors d´emontrer que le probl`eme type consid´er´e est un probl`eme de Cauchy strictement hyperbolique, c’est-`a-dire que l’op´erateur est non d´eg´en´er´e sur la vari´et´e caract´eristique. Notons que ceci n’empˆeche pas qu’il y ait une caustique ; la caustique d´epend de la forme de l’onde incidente et est un ph´enom`ene non microlocal. D’ailleurs il y a propagation le long des rayons mˆeme en pr´esence d’une caustique, comme nous l’avons vu dans la section 4.8.

Nous d´emontrons le th´eor`eme de propagation des singularit´es (nom traditionnel donn´e `

a la propagation le long d’un rayon) dans le cas de l’op´erateur de d´erivation le long d’une coordonn´ee (Section 11.2). Nous utilisons ensuite le lemme de Darboux pour ramener tout probl`eme d’ordre 1 `a ce probl`eme particulier, utilisant une transformation canonique dans le fibr´e cotangent (Section 11.3). Nous d´emontrons enfin le th´eor`eme 11.1. Nous utilisons les op´erateurs int´egraux de Fourier introduits dans le chapitre 9 pour calculer la phase d’une onde r´efl´echie et le coefficient de r´eflexion dans le cas de diff´erentes conditions aux limites. L’obtention des coefficients est simplifi´ee par l’introduction des deux op´erateurs int´egraux de Fourier parametrix sortantes du probl`eme.

Nous g´en´eralisons ici le r´esultat obtenu pour l’´equation des ondes `a coefficients constants dans le chapitre 3, o`u nous avons calcul´e la solution de l’´equation de Helmholtz connaissant sa valeur sur une surface Σ0. Nous avions montr´e que la solution ´etait connue sur des courbes particuli`eres, appel´ees courbes caract´eristiques de l’op´erateur de Helmholtz.

Nous avons d´emontr´e dans la section 9.3 que les “bons” objets `a consid´erer pour ´etudier les op´erateurs pseudo-diff´erentiels n’´etaient pas les courbes caract´eristiques mais les courbes bicaract´eristiques, flot du champ de Hamilton-Jacobi associ´e au symbole de l’op´erateur pseudo-diff´erentiel. Nous avons v´erifi´e que ces courbes se projetaient sur les courbes caract´eristiques pour l’op´erateur des ondes.

Nous voulons donc g´en´eraliser les r´esultats de propagation pour un op´erateur pseudo-diff´erentiel. Ces r´esultats de propagation sont vrais dans le cas o`u l’op´erateur diff´erentiel ´etudi´e est de Cauchy strictement hyperbolique, ce que nous allons d´efinir. Les op´erateurs ´etudi´es dans ce chapitre sont dits de type principal r´eel :

D´efinition 11.1 On dit que p est de type principal r´eel si p(y, η)∈ IR pour (y, η) ∈ IR²ⁿ et dp et ηdy sont deux formes lin´eaires ind´ependantes.

11.1 D´efinition d’un op´erateur hyperbolique

Nous avons d´efini, dans le chapitre 2, un op´erateur hyperbolique matriciel dans la d´efinition 2.1, que nous rappelons :

L = A0∂t+^X

j

Aj∂xj

o`u les matrices Aj sont sym´etriques, et, en plus, A0 est d´efinie positive.

Dans le cas d = 1, on trouve que L = a0(x, t)∂t+a1(x, t)∂x. Il est ´equivalent `a ∂t+^a1(x,t) a0(x,t)∂x, ainsi son symbole est l(x, t, ξ, τ ) = iτ +^a1(x,t)

a0(x,t)iξ. On v´erifie que l(x, t, ξ, τ +τ0) = 0 a uniquement comme racine en τ0 le r´eel−τ −^a1(x,t)

a0(x,t)ξ.

Dans le cas d = 2 `a coefficients constants, on obtient

∂tu1+ a1,11∂x1u1+ a1,12∂x1u2+ a2,11∂x2u1+ a2,12∂x2u2= 0 ∂tu2+ a1,12∂x1u1+ a1,22∂x1u2+ a2,12∂x2u1+ a2,22∂x2u2= 0

Apr`es inversion formelle de ∂t+a1,11∂x1+a2,11∂x2, si besoin par la m´ethode des caract´eristiques, on trouve

11.1. D ´EFINITION D’UN OP ´ERATEUR HYPERBOLIQUE 187

u1=−(∂t+ a1,11∂x1+ a2,11∂x2)−1(a1,12∂x1u2+ a2,12∂x2u2) d’o`u ∂tu2− a1,12∂x1(∂t+ a1,11∂x1+ a2,11∂x2)−1(a1,12∂x1u2+ a2,12∂x2u2)

+a1,22∂x1u2− a2,12∂x2(∂t+ a1,11∂x1+ a2,11∂x2)−1(a1,12∂x1u2+ a2,12∂x2u2) + a2,22∂x2u2= 0. On obtient ainsi sur u2 :

∂2u2 ∂t2 + (a1,11+ a1,22)^∂2u2 ∂t∂x1 + (a2,11+ a2,22)^∂2u2 ∂t∂x2 + (a1,11a1,22− (a1,12)²)^∂2u2 ∂x2 1 + (a2,11a2,22− (a2,12)²)^∂2u2 ∂x2 2 +(a1,22a2,11− 2a1,12a2,12+ a2,22a1,11) ^∂2u2 ∂x2∂x1 = 0.

Le symbole de cet op´erateur d’ordre 2 est alors (en changeant le signe)

p(τ, ξ1, ξ2) = τ2+ (a1,11+ a1,22)τ ξ1+ (a2,11+ a2,22)τ ξ2+ (a1,11a1,22− (a1,12)2)ξ2 1 +(a1,22a2,11− 2a1,12a2,12+ a2,22a1,11)ξ1ξ2+ (a2,11a2,22− (a2,12)2)ξ2 2. Il s’´ecrit p(τ, ξ1, ξ2) = (τ + a1,11ξ1+ a2,11ξ2)(τ + a1,22ξ1+ a2,22ξ2) −((a1,12)2ξ2 1+ 2a1,12a2,12ξ1ξ2+ (a2,12)2ξ2 2) = (τ + a1,11ξ1+ a2,11ξ2)(τ + a1,22ξ1+ a2,22ξ2)− (a1,12ξ1+ a2,12ξ2)2. On reconnait ainsi le d´eterminant de τ Id + A1ξ1+ A2ξ2.

Ceci n’est pas suffisant pour ´etudier les racines de p(τ + s, ξ1, ξ2). Il faut diff´erencier la forme quadratique en τ et celle en ξ1, ξ2 par exemple. On a donc

p(τ, ξ1, ξ2) = (τ +¹

2^{( Tr A1ξ1+ Tr A2ξ2))}

2+ det (ξ1A1+ ξ2A2)−₄¹( Tr A1ξ1+ Tr A2ξ2)². La matrice ξ1A1 + ξ2A2 est sym´etrique donc diagonalisable. Ses valeurs propres sont λ1(ξ1, ξ2) et λ2(ξ1, ξ2). Il vient alors

p(τ, ξ1, ξ2) = (τ +¹

2^{(λ1(ξ1, ξ2) + λ2(ξ1, ξ2)))}

2

−¹₄(λ1(ξ1, ξ2)− λ2(ξ1, ξ2))². On v´erifie alors que les racines de p(τ + s, ξ1, ξ2) = 0 sont de la forme

s =−τ − λ1(ξ1, ξ2), s =−τ − λ2(ξ1, ξ2).

On note qu’elles ne sont pas automatiquement simples, car on peut avoir par exemple A1 = A2= Id, auquel cas λ1= λ2= ξ1+ ξ2. On remarque alors que dans ce cas, les probl`emes sur u1 et sur u2sont d´ecoupl´es.

En introduisant une nouvelle variable temps, qui suit en quelque sorte la partie diagonale de A1et de A2, soit

τ⁰= τ +¹

2^{(λ1(ξ1, ξ2) + λ2(ξ1, ξ2))} l’op´erateur associ´e se met sous la forme p(τ0, ξ1, ξ2) = (τ0)2

− A(ξ1, ξ2), o`u A(ξ1, ξ2) est le symbole d’un op´erateur diff´erentiel elliptique (les coefficients d´ependent en effet de ai,jk uni-quement et c’est un polynˆome ; seule la positivit´e s’exprime plus facilement avec λ1 et λ2) dans le sens o`u on a A(ξ1, ξ2)≥ C(ξ2

1+ ξ2

2), avec C > 0.

Les valeurs propres de la matrice τ Id + ξ1A1+ ξ2A2sont alors τ + λ1(ξ1, ξ2), τ + λ2(ξ1, ξ2). L’hypoth`ese d’hyperbolicit´e de la d´efinition 2.1 n’exclut pas les valeurs propres multiples. En revanche, on constate que Lax [58] impose que ξ1A1+ ξ2A2 a deux valeurs propres distinctes r´eelles (p 628).

La d´efinition 2.1 d’un op´erateur hyperbolique matriciel impliquait, dans le cas `a co-efficients constants, que l’op´erateur P d’ordre m scalaire d´eduit de l’op´erateur matriciel

τ A0+Pj=m

j=1 ξjAj v´erifie σ(P )(x, t, ξ, τ + s) = 0 n’a que des solutions r´eelles. Si, de plus, le probl`eme matriciel associ´e `a τ A0+Pj=m

j=1 ξjAj v´erifie la condition restrictive suppl´ementaire de Lax, alors σ(P )(x, t, ξ, τ + s) = 0 n’a que des solutions r´eelles de multiplicit´e 1. Dans tous les cas ci-dessus, on dira que les op´erateurs sont hyperboliques par rapport aux surfaces de type temps. Ceci implique deux d´efinitions distinctes :

D´efinition 11.2 On dit que P , op´erateur diff´erentiel d’ordre m sur IR^d, est un op´erateur hyperbolique par rapport `a N ∈ TxIR^d lorsque son symbole principal σ(P ) v´erifie

σ(P )(x, ξ + sN ) = 0 n’a que des racines r´eelles .

Cette d´efinition provient du chapitre 12.3 de [47]. En particulier un op´erateur P (D) est hy-perbolique selon H¨ormander lorsque

P (ξ + iτ N )6= 0 pour ξ ∈ IR^d et pour τ < τ0

Ceci est ´equivalent, pour un polynˆome homog`ene, `a σ(P )(x, ξ + τ N ) = 0 n’a que des racines r´eelles. (Theorem 12.4.3 et Theorem 12.4.6 de [47], tome II)

On d´efinit aussi une notion d’hyperbolicit´e stricte :

D´efinition 11.3 On dit que P , op´erateur diff´erentiel d’ordre m sur IR^d, est un op´erateur strictement hyperbolique par rapport `a N∈ TxIR^d lorsque son symbole principal σ(P ) v´erifie

σ(P )(x, ξ + sN ) = 0 n’a que des racines r´eelles de multiplicit´e 1. qui est la d´efinition 12.4.11 de [47], Tome II.

Dans le cas que nous avons ´etudi´e pr´ec´edemment, les coordonn´ees sont (x, t), les coor-donn´ees duales sont (ξ, τ ) et le vecteur N est (colin´eaire `a) (0, 1). Les op´erateurs hyperbo-liques de la d´efinition 2.1 sont les op´erateurs hyperbohyperbo-liques par rapport `a N = (0, 1), vecteur conormal `a toute surface t = t0.

Les op´erateurs hyperboliques sont extrˆemement importants. En effet, d’apr`es le th´eor`eme 12.5.1 de [47] Tome II, un op´erateur hyperbolique admet une seule solution fondamentale support´ee dans l’hyper-demi-espace x.N ≥ 0.