Propagation hyperbolique

w(y⁰, yn) = iδ(y⁰)⊗ H(yn) et l’op´erateur `a noyau ˜E tel que ˜Eφ = w ? φ, plus pr´ecis´ement

˜

Eφ(x) =< w, φ(x− .) >. On a l’´egalit´e ˜

u = ˜u0+ ˜E˜v.

On v´erifie aussi que l’op´erateur ˜E est une parametrix de Dyn. Le front d’onde de w est W F (w) ={(0, yn, ξ⁰, 0), yn> 0} ∪ {(0, ξ)}.

On peut v´erifier ce fait ais´ement, en effectuant la transform´ee de Fourier de cette distribution, au voisinage d’un point tel que y0 = 0 (en effet, les points y0 6= 0 ne contribuent pas au front). Cherchons maintenant le front d’onde du noyau K associ´e a l’op´erateur w?. Comme w ? u(x) =R w(x − y)u(y)dy, on a K(x, y) = w(x − y).

On consid`ere une fonction χ qui localise en t au voisinage de t0, et on se donne x0, y0 tels que x0− y0 = t0. On localise y au voisinage de y0 par l’intermediaire de φ0, χ et φ0 sont `a support compact. On en d´eduit W F (K) grˆace `a l’´egalit´e :

F(φ0χK)(ξ, η) = Z Z

χ(t)w(t)e^−itξdt Z

dyφ0(y)e^−iy(ξ+η).

Comme χ est `a support compact, la distribution χw est d’ordre fini, donc sa transform´ee de Fourier est `a croissance polynˆomiale au plus.

Tout d’abord, comme φ0 est `a support compact et C∞, si (ξ, η) appartient `a un cˆone voisinage de (ξ0, η0), avec ξ0 + η0 6= 0, alors l’int´egrale en y est `a d´ecroissance rapide en (|ξ|2+|η|2)¹2. Ainsi, avec la croissance polynˆomiale de l’autre terme, on a d´ecroissance rapide. Les points de la forme (x0, y0, ξ0, η0) avec ξ0+ η06= 0 ne sont pas dans le front d’onde de K. On se pr´eoccupe maintenant de ξ0+ η0= 0. Alors, si (x0− y0, ξ0) n’est pas dans le front d’onde de w, le point (x0, y0, ξ0, η0) n’est pas dans le front d’onde de K. On a obtenu

W F (K)⊂ {(x, ξ, y, −ξ), (x − y, ξ) ∈ W F (w)}. On en d´eduit

W F⁰(K)⊂ {(x, ξ, y, ξ), (x − y, ξ) ∈ W F (w)}.

D’autre part, les bicaract´eristiques de l’op´erateur Dyn, not´ees γ(s) = expsHξn(m0), sont donn´ees, pour m0= (y0, ξ0

0, 0), par γ(s) = (y0 0, y0

n+ s, ξ0 0, 0).

On utilise la remarque de la section 8.2.4, pour obtenir le front d’onde de ˜E ˜v. La re-lation W F (w ? u) = W F (Ku) ⊂ W F0(K)(W F (u))∪ W F0

X(K) et le fait que W F0 X(K) = {(x, ξ), ∃y, (x, ξ, y, 0) ∈ W F0(K)} = ∅ donne, reprenant les notations de l’´egalit´e donnant ˜u :

W F ( ˜E˜v)⊂ W F (˜v) ∪ {(Y, ξ), ∃(y, ξ) ∈ W F (˜v), (Y − y, ξ) ∈ W F (w)}. On d´emontre le th´eor`eme de propagation des singularit´es dans le cas de l’op´erateur ∂xn.

Soit γ une bicaract´eristique de ξn. On suppose que γ∩ W F (˜v) = ∅. L’´etude pr´ec´edente d´emontre que γ ∩ W F ( ˜E˜v) = ∅. Il reste `a ´etudier le terme ˜u(x0, 0). Le front d’onde de ˜u0

est inclus dans T∗(IRⁿ⁻¹). Pour caract´eriser le front d’onde dans IRⁿ de ˜u(x0, 0), on ´evalue la transform´ee de Fourier de χ(xn)φ0(x0)˜u(x0, 0). On trouve

F(χφ0u˜|xn=0)(ξ⁰, ξn) = ˆχ(ξn)F(˜u0φ0)(ξ⁰). Soit ξ0

n 6= 0 et (ξ0

n)2+ ((ξ⁰)0)2 = 1. On consid´ere (ξn, ξ⁰) dans un (petit) cˆone autour de (ξ0

n, (ξ⁰)0). Alors il existe  > 0 tel que|ξn− λξ0

n| ≤ λ pour tout λ, et comme χ est de classe C^∞, sa transform´ee de Fourier est `a d´ecroissance rapide en ξn donc en λ. On en d´eduit que (x⁰, ξ⁰, xn, ξn), ξn6= 0 n’est pas dans le front d’onde de ˜u(x0, 0). On en tire

De plus, si (x0

0, (ξ0)0) ∈ W F (˜u0), on obtient facilement (x0

0, xn, (ξ0)0, 0) ∈ W F (˜u(x0, 0)) pour tout xn. On suppose alors qu’une bicaract´eristique rencontre le front d’onde de ˜u solution de Dxnu = ˜˜ v mais ne rencontre pas le front d’onde de ˜v. Ce point d’intersection est not´e (y₀⁰, y⁰_n, η₀⁰, 0) (ηn= 0 car la bicaract´eristique est incluse dans la vari´et´e caract´eristique). Ainsi, comme ˜E˜v est r´egulier, on en d´eduit que (y₀⁰, η₀⁰) est dans le front d’onde de ˜u0, et le front d’onde de ˜u(x⁰, 0) contient alors tous les points de la forme (y0⁰, yn, η0⁰, 0). La bicaract´eristique issue de (y0 0, y0 n, η0 0, 0) est{(y0 0, y0 n+ s, η0

0, 0), s∈ IR}, donc elle est enti`erement contenue dans le front d’onde de ˜u. La d´emonstration est termin´ee et on a donc, soit γ∩ W F (˜u) = ∅, soit γ⊂ W F (˜u).

On consid`ere d´esormais le point γ(s0) = (y<sup>0</sup>0, yn(s0), ξ0<sup>0</sup>, 0) et on ´etudie ˜U(y) =−˜u(y0, 2yn(s0)− yn). Alors Dyn<sub>U (y) = ˜</sub>˜ <sub>v(y</sub>0, 2yn(s0)− yn) = ˜V (y). On v´erifie que γ∩ W F ( ˜V ) = ∅ et que γ(s0)∈ W F ( ˜U ). Donc γ(s), s≥ s0 est contenue dans W F ( ˜U ), ce qui ´equivaut `a γ(s), s≤ s0

contenue dans W F (˜u).

Nous avons donc montr´e le r´esultat :

Lemme 11.2 Soit γ une bicaract´eristique de Dyn.

γ∩ W F (Dynu) =˜ ∅ ⇒ γ ∩ W F (˜u) = ∅ ou γ ⊂ W F (˜u).

On consid`ere, plus g´en´eralement, un op´erateur pseudo-diff´erentiel classique d’ordre 1 (∈ L1

cl). La g´en´eralisation du lemme 11.2 est le th´eor`eme :

Th´eor`eme 11.1 Soit P un op´erateur pseudo-diff´erentiel classique de degr´e 1, dont le symbole principal p est de type principal r´eel. Alors

γp(ρ0)∩ W F (P u) = ∅ → γp(ρ0)∩ W F (u) = ∅ ou γp(ρ0)⊂ W F (u).

Par abus de langage, et par similitude avec le probl`eme de Cauchy strictement hyperbo-lique, j’appelle ce th´eor`eme le th´eor`eme de propagation des singularit´es hyperboliques. En effet, l’op´erateur ξn− e(x, ξ0), o`u e est homog`ene en ξ0 de degr´e 1, v´erifie dp = dξn−∂e

∂xdx− ∂e ∂ξ0dξ0, et le coefficient 1 devant dξn implique que p est de type principal r´eel. Ce r´esultat est le th´eor`eme 6.1.4 de l’article de Duistermaat et H¨ormander [31]. Lorsque (x0, ξ0) est un point de la vari´et´e caract´eristique de p, op´erateur de type principal r´eel, les auteurs construisent un op´erateur int´egral de Fourier A tel que le point (x0, ξ0; X0, Σ0) ne soit pas dans le front d’onde d’op´erateur de P A− ADXn.

Nous reprenons une d´emonstration explicite pour un op´erateur homog`ene de degr´e 1. Pour cela, consid´erons ηn= p(x, ξ). Comme l’op´erateur est de type principal r´eel, dp est non nul et dp est ind´ependant de ξdx. On peut alors compl´eter la seule coordonn´ee ηn en un syst`eme de coordonn´ees symplectique sur T^∗X, soit (y, η), ceci grˆace au lemme de Darboux 9.3 d´emontr´e dans la section 9.3. Ce syst`eme de coordonn´ees symplectiques est associ´e `a une transformation canonique χ permettant de passer de (y, η) `a (x, ξ). Il existe alors deux op´erateurs de Fourier int´egraux A et B quantifiant la transformation canonique tels que BA = Id + R1, AB = Id + R2, R1,2 ∈ S−∞ tels que le symbole principal de l’op´erateur Q = BP A soit ηn. Ce symbole principal est le symbole de l’op´erateur 1

i ∂

∂yn, traditionnellement not´e Dyn . Il existe donc un op´erateur R d’ordre 0 tel que Q = Dyn+ R. A partir de R, on construit un op´erateur pseudo-diff´erentiel elliptique d’ordre 0 (|C(y, η)| ≥ c > 0 pour (y, η) dans un voisinage du point χ(x0, ξ0)) tel que (Dyn+ R)C = CDyn. Le symbole de cet op´erateur est solution des ´equations    C0(y0, η, y0 n) = 1 Cp(y0, η, y0 n) = 0

11.3. PROPAGATION HYPERBOLIQUE 193 ´equivalentes `a C = 1 sur yn= y0

n et [Dyn, C] + RC = 0.

Comme C est elliptique, il admet un inverse C⁻¹tel que CC⁻¹= Id+R3, C⁻¹C = Id+R4. Alors il existe un op´erateur R5de L^−∞ tel que

C⁻¹BP AC = Dyn+ R5. (11.3.5) On a construit une parametrix ˜E de Dyn, telle que

Id = ˜EDyn= ˜EC⁻¹BP AC + R6

ce qui implique

(AC)⁻¹+ R7= ˜EC⁻¹BP ou encore

AC ˜EC⁻¹BP = Id + R8

Une parametrix de P est alors AC ˜EC−1B, et on peut aussi, modulo des termes S−∞, ´ecrire

P = ACDynC⁻¹B.

Soit γp(ρ0) la bicaract´eristique de P issue de ρ0. On suppose que la bicaract´eristique n’est pas dans le front d’onde de P u

γp(ρ0)∩ W F (P u) = ∅ ⇒ γp(ρ0)∩ W F (ACDynC⁻¹Bu) =∅.

Les bicaract´eristiques sont transport´ees par transformation canonique. Ce r´esultat dans le cas d’une transformation symplectique associ´ee `a un changement de variable dans l’espace des x provient de la Proposition 9.3. La g´en´eralisation `a une transformation g´en´erale est une cons´equence du th´eor`eme 9.1 et de l’invariance du symbole principal apr`es transformation ca-nonique : pm(y,∇yφ) = pm(∇θφ, θ) (relation (9.4.9)). On obtient χ(γp(ρ0))∩W F (CDynC−1(Bu)) = ∅. Or χ(γp(ρ0)) = γξn(χ(ρ0)), et, comme C est elliptique ainsi que C−1, W F (CDynC−1(Bu)) = W F (Dyn(Bu)) (application de la proposition 8.7).

On a donc γξn(χ(ρ))∩ W F (DynBu) = ∅. Par application du lemme 11.2, γξn(χ(ρ))∩ W F (Bu) =∅ ou γξn(χ(ρ))⊂ W F (Bu).

La transformation canonique transporte le front d’onde (dans la cas d’une transformation symplectique, il s’agit d’un r´esultat de la Proposition 9.3). Si B est une quantification de cette transformation canonique, W F (Bu) = χ(W F (u)). En effet, de la relation du paragraphe 9.4.1 W F (Au)⊂ {(x, ∇xφ), (∇ηφ, η)∈ W F (u)). On a donc l’inclusion W F (Au) ⊂ Tχ(W F (u)) et on en d´eduit W F (BAu) ⊂ T−1

χ (W F (Au)). D’autre part, BA = I + R2 donc W F (BAu) = W F (u), et on a l’´egalit´e cherch´ee. On en d´eduit

γp(ρ0)⊂ W F (u) ou γp(ρ0)∩ W F (u) = ∅.

Nous avons achev´e la d´emonstration pour l’op´erateur de symbole p(x, ξ) homog`ene de degr´e 1.

Lorsque p, d’ordre m, est de type principal r´eel, au voisinage d’un point ρ strictement hyperbolique, il existe un op´erateur E elliptique (au voisinage du point ρ) tel que P = EP1+R, E elliptique et P1 d’ordre 1. Le front d’onde de P u au voisinage de ρ, W F (P u) est ´egal `a W F (P1u) dans ce voisinage (cons´equence de la proposition 8.7). Les bicaract´eristiques de P sont les mˆemes que les bicaract´eristiques de P1(voir la section 11.2), donc

γp(ρ0)∩ W F (P u) = ∅ ⇒ γp1(ρ0)∩ W F (P1u) =∅. On utilise alors

γp1(ρ0)∩ W F (P1u) =∅ ⇒ γp1(ρ0)∩ W F (u) = ∅ ou γp1(ρ0)⊂ W F (u).

On a ainsi prouv´e le th´eor`eme 11.1. Duistermaat et H¨ormander l’´enoncent (Th´eor`eme 6.1.1 de [31]) de la mani`ere suivante : Si P ∈ Lm

et si u∈ D0(X) et P u = f , alors W F (u)− W F (f) ⊂ p−1(0) et cet ensemble est invariant par Hp.

Le but des sections suivantes est de g´en´eraliser ce th´eor`eme de propagation des singularit´es par le flot hamiltonien au cas avec bord, c’est-`a-dire au cas o`u la bicaract´eristique consid´er´ee rencontre le bord du domaine (le probl`eme P u = 0 est r´esolu dans M, typiquement xn > 0). On se restreint au cas de l’application qui nous int´eresse : l’´equation des ondes.