qui permet de connaître directement la valeur de la déflexion pour chaque pixel des cartes lentillées en prenant simplement la valeur de la carte de déflexion dans le pixel correspondant. Ce n’est pas une contrainte très forte et on peut envisager de généraliser la procédure à des cartes de déflexion de résolution différente.
On peut montrer que l’amplitude moyenne des déplacements est de l’ordre de 2 minutes d’arc (voir section 3.4.2). Elle est donc inférieure à la résolution des instruments de Planck qui dépend des voies et qui est limitée par la taille du lobe de l’instrument, qui vaut de l’ordre de 5 minutes d’arc dans le meilleur des cas. Les cartes officielles de l’instrument HFI sont réalisées avec un paramètre nside de 2048 qui donne un écart moyen entre pixel de 1.7 minutes d’arc. L’effet de lentille gravitationnelle entraîne donc un déplacement du même ordre de grandeur que la distance inter-pixel, ce qui peut poser des problèmes pour l’interpolation. Un moyen simple d’améliorer la précision de l’interpolation consiste donc à générer des cartes lentillées avec une résolution suffisamment élevée pour que la distance inter-pixel soit suffisamment petite comparée à la déflexion moyenne. Par ailleurs, la qualité de l’algorithme d’interpolation joue un rôle important dans la précision des résultats.
Afin de comparer les effets de l’interpolation nous avons implémenté plusieurs méthodes ayant chacune des performances différentes. L’interpolation la plus simple consiste à affecter la valeur du pixel le plus proche de la position recherchée. C’est une méthode rapide mais qui ne donne générale-ment pas de bons résultats pour des résolutions raisonnables. Nous avons égalegénérale-ment implégénérale-menté un algorithme d’interpolation bilinéaire ainsi que l’algorithme d’interpolation bicubique décrit dans Press (2007) qui donne des résultats très proches de l’interpolation optimale en sinc(x) (aussi appelée interpolation de Shannon). Cette dernière est lourde en temps de calcul car elle dépend de la valeur de l’ensemble des points de la carte. Enfin nous avons développé une méthode d’interpolation basée sur une transformée de Fourier. Le principe consiste à calculer la transformée de Fourier de la carte non lentillée et d’évaluer le signal en une position arbitraire en appliquant l’équation de base de la transformée de Fourier. C’est une technique simple mais qui demande beaucoup de temps de calcul spécialement lorsque la résolution de la carte est élevée, car il n’existe pas d’algorithme de transfor-mation inverse rapide en un point arbitraire. Les algorithmes de FFT par exemple, nécessitent une répartition régulière des pixels.
Finalement, on a vu qu’il existe une corrélation entre le champ φ et la température du CMB (voir section 3.4.2). Il n’est pas nécessaire d’en tenir compte pour une analyse de l’effet de lentille gravitationnelle. Cependant, il est toutefois possible de prendre en compte cette corrélation, en faisant une simulation contrainte de la carte de température et de potentiel de lentille.
6.4 Simulation des effets instrumentaux
Afin de mesurer l’impact des effets instrumentaux sur la qualité des données et de fournir des limites sur les effets systématiques, il est nécessaire de faire des simulations informatiques. Dans Planck des programmes de simulation des instruments sont développés depuis de nombreuses années. Ils décrivent de façon précise l’effet de l’ensemble de la chaîne d’observation optique et électronique. Ils permettent également de simuler le balayage du ciel et d’obtenir ainsi un jeu de données comparable aux observations provenant directement du satellites. Ces outils sont toujours en développement. La compréhension et l’estimation de l’impact des effets instrumentaux sur les mesures, est un enjeu majeur et une des principales difficultés de la mission. Cependant, une étude complète des effets systématiques instrumentaux demande beaucoup de temps et va au delà du cadre de cette thèse. Par ailleurs, la complexité de ces simulations ne permet pas de réaliser des tests rapides dont nous avons besoin pour développer un outil de mesure de l’effet de lentille gravitationnelle. Nous avons donc développé un ensemble de simulations indépendantes et rapides, en nous concentrant sur les effets les plus importants et en faisant des approximations qui permettent de simplifier l’étude tout en donnant une bonne idée de l’impact global.
6.4.1 Simulation de l’effet du lobe de l’instrument sur les cartes
Un système optique possède un certaine acceptance angulaire qui est une fonction de la posi-tion. On définit la direction d’observation comme le maximum de cette foncposi-tion. Les détecteurs de Planck, placés au foyer du système optique, constitué par les deux miroirs et les cornets, mesure donc une intensité I qui est l’intégrale du signal sur le ciel, I, dans la zone d’acceptance angulaire
CHAPITRE 6. SIMULATION ET ANALYSE DE SIGNAUX POUR PLANCK
Fréquence (en GHz) 100 (P) 143 143 (P) 217 217 (P) 353 353 (P) 545 857 Ellipticité 1.18 1.02 1.04 1.13 1.15 1.07 1.14 1.25 1.03
Table 6.1 – Tableau récapitulatif de l’ellipticité des lobes. La mesure du lobe des différentes voies a été effectuée à partir des observations de la planète Mars. Elle est tirée de Planck HFI Core Team et al. (2011).
B :
I(n) =Z Z I(n0)B(n − n0)dn0 (6.9) ce qui déforme l’image obtenue et se traduit par un lissage, ou un flou de l’image (voir figure 6.5(b)). On peut également voir cette fonction comme l’image d’une source ponctuelle par le système optique, ce qui correspond à la convolution de l’image par la réponse impulsionnelle spatiale de l’optique (aussi appelée lobe de l’instrument ou encore PSF pour le terme anglais Point Spread Function).
Chaque mesure correspond donc à la convolution du ciel dans la direction d’observation par le lobe de l’instrument, ce qui mélange l’information dans une zone comparable à la taille du lobe. La simulation d’une observation avec un instrument possédant un lobe arbitraire est une opération très lourde car chaque point de mesure nécessite le calcul d’un produit de convolution en tenant compte de l’orientation de la mesure. Dans le cas d’un lobe circulaire les calculs sont grandement simplifiés car la réponse impulsionnelle ne dépend plus que de la distance angulaire B(n −n0) = B(n ·n0) et ne dépend plus de l’orientation. Pour simplifier les calculs ont peut effectuer l’opération de convolution dans l’espace de Fourier. Elle se résume alors à la simple multiplication des transformées de Fourier du ciel et du lobe orienté dans la direction d’observation. Dans le cas particulier d’un lobe circulaire la transformée de Fourier du lobe est la même quelle que soit l’orientation et elle ne dépend que du module de k. Enfin si le lobe est en plus un lobe gaussien l’opération de convolution se résume par la multiplication de la transformée de Fourier du signal par la fonction :
Bgauss(k) = e−k2σ2
gauss/2 (6.10)
où σgaussest l’écart type de la gaussienne. Les caractéristiques du lobe sont en général plus souvent données en fonction de la largeur à mi-hauteur de la gaussienne fwhmgauss, relié à σgauss par l’expression σgauss= f whm√ gauss
(8 log 2).
Dans Planck le profil des cornets a été conçu afin d’obtenir un lobe principal le plus gaussien et circulaire possible. On peut mesurer le lobe de l’instrument avec une très bonne précision en observant une source suffisamment petite pour être considérée comme ponctuelle et suffisamment intense pour avoir un bon rapport signal sur bruit. En vol, les mesures pour Planck ont été effectuées grâce à l’observation des planètes car elles possèdent une forte intensité. On pourrait également empiler un grand nombre d’observations de sources ponctuelles ayant une plus faible intensité afin d’obtenir un bon rapport signal sur bruit. Les mesures au sol puis en vol (Planck HFI Core Team et al. (2011)), ont montré que dans une bonne approximation on pouvait considérer le lobe principal de l’instrument HFI de Planck gaussien et les lobes secondaires négligeables. L’ellipticité mesurée est également faible (voir tableau 6.1). Par ailleurs, lorsqu’on combine les observations pour générer une carte, l’effet du lobe résultant est un effet moyen qui tend à symétriser d’autant plus le lobe car on combine des observations dans des directions différentes. Enfin, l’effet des lobes asymétriques sur un estimateur quadratique, a été étudiée dans Hanson et al. (2010b) et a une influence principalement aux bas ` , auxquels nous n’avons pas accès par la méthode par morceaux que nous avons développé qui utilise un estimateur quadratique pour mesurer l’effet de lentille gravitationnelle. Nous nous sommes donc limité à des lobes gaussiens circulaires. Pour les simulations, nous réalisons donc la convolution des cartes par le lobe à l’aide de l’équation 6.10. On peut voir un exemple sur la figure 6.5(b).
Enfin, dans certains cas il est nécessaire de déconvoluer les cartes. Dans le cas d’un lobe gaussien circulaire, le calcul consiste simplement à diviser l’amplitude des coefficients de Fourier par le lobe decrit dans l’équation 6.10, au lieu de la multiplier. Cette opération augmente donc exponentielle-ment la puissance aux grands k, ce qui produit parfois des effets indésirables, notamexponentielle-ment une augmentation du bruit qui est en général proche d’un bruit blanc et qui est donc présent à toutes les fréquences.
6.4. SIMULATION DES EFFETS INSTRUMENTAUX
(a) Carte du CMB (b) Carte du CMB avec effet du lobe (c) Carte du CMB avec effet du lobe et bruit
Figure 6.5 – Simulation des effets du lobe de l’optique et du bruit. L’effet du lobe de l’instrument se traduit par un lissage des petites échelles, visible sur la figure (b) comparé au signal initial (figure (a)). La carte finale (figure (c)) contient en plus du bruit. Il faut appliquer les effets dans cet ordre car le lobe ne lisse que le signal. Le bruit est produit ensuite par la chaine d’acquisition. La largeur à mi-hauteur du lobe et le niveau de bruit utilisés sont représentatifs de ceux qu’on mesure sur les voies à 143GHz. La carte simulée fait 10 degrés de coté.
6.4.2 Simulation du bruit instrumental
La chaîne d’acquisition de Planck a été conçue afin de minimiser au maximum le bruit sur les mesures, en particulier, la cryogénie, l’électronique de polarisation et de lecture des bolomètres de HFI ainsi que l’étage d’amplification ont tous été réalisés de façon spécifique pour atteindre les objectifs ambitieux de Planck (voir Piat (2000)). Afin de simuler de façon précise le bruit résiduel sur les cartes, il faut appliquer la procédure globale de traitement des données en partant du signal ordonné en temps brut non démodulé. Des efforts collectifs afin de réaliser un jeu de simulations complètes et réalistes sont en cours depuis de nombreux mois, c’est un processus lourd qui demande de faire tourner un grand nombre de programmes différents, qui nécessite de fortes ressources en calcul et qui n’est toujours pas terminé à l’heure actuelle. C’est une étape essentielle à la compréhension des effets fins liés au bruit mais qui va au delà du cadre de cette thèse. Nous nous attacherons donc à simuler un bruit au niveau des cartes sans passer par le pipeline d’analyse complet.
Pour comprendre les propriétés du bruit, il est nécessaire de connaître les principales étapes d’analyse qui les influencent. En effet, le bruit résultant sur les cartes, est issu d’un processus complexe. Dans un premier temps, le bruit est généré par l’ensemble de la chaîne d’acquisition analogique, puis le signal est numérisé. À partir de cette étape le signal ne subit plus que des traitements numériques. Il est ensuite démodulé et filtré au niveau des TOI puis moyenné dans le pixel lors de la génération des cartes. Il faut ajouter en plus l’influence des rayons cosmiques dont le taux d’impact est relativement élevé et qui produisent une bruit additionnel, notamment les résidus issus de la soustraction des queues. Enfin la compression ajoute également un niveau de bruit de quantification qui même si il est faible participe au bilan total (voir à ce sujet le chapitre 5).
Les mesures actuelles montrent que dans une bonne approximation, le bruit n’est pas corrélé au signal. Pour simuler une observation en présence de bruit on peut donc simplement générer une carte de signal et lui ajouter un bruit simulé de façon indépendante. Les mesures montrent cependant que le spectre de puissance du bruit n’est pas tout à fait blanc. Il est possible d’obtenir une bonne approximation du spectre du bruit pour les différents canaux en utilisant des Jack-Knifes sur les données. Cette méthode consiste à séparer les données en deux jeux et de faire l’analyse sur les deux séparément. On peut par exemple utiliser seulement la première moitié des cercles dans un cas puis la seconde moitié, ou encore un cercle sur deux, ou la première couverture du ciel puis la seconde. En supposant que le bruit est indépendant du signal, ce qui est une bonne approximation, on mesure alors le spectre de puissance de la différence des deux jeux de données. Le signal étant supposé constant dans une même région il est alors soustrait, seul le bruit reste présent. Cette opération n’est valable que pour un jeu de données particulier et doit être renouvelée si on change
CHAPITRE 6. SIMULATION ET ANALYSE DE SIGNAUX POUR PLANCK
les observations sur lesquelles on s’appuie. En effet plus on intègre de données plus le bruit diminue. Pour simuler une carte de bruit on se base finalement sur le spectre de puissance estimé par
Jack-Knife et on réalise un tirage gaussien. Cependant, après projection le bruit n’est pas homogène car certaines zones du ciel sont observées plus de fois que d’autres. Le nombre d’échantillons qui tombent dans chaque pixel HEALPix est très variable (voir figure 8.1), ce qui conduit à une variation du bruit d’un pixel à l’autre. Pour avoir une distribution réaliste du bruit il faut donc pondérer chaque pixel de la carte par le nombre d’échantillons correspondant. Cette information est disponible avec chaque carte du signal générée dans Planck. Chaque pixel ni de la carte de bruit est donc modulée de la façon suivante : pi = p0 i s N niPjn1. j (6.11) où N est le nombre total d’échantillons de la carte (N = Pini), ni est le nombre d’échantillons du pixel i et p0
i est la valeur du bruit gaussien homogène du pixel i. De façon simple le bruit diminue comme l’inverse de la racine carrée du nombre d’échantillons par pixel. On pourrait alors simplement pondérer chaque pixel i par 1/√ni. L’expression 6.11 ne constitue qu’une généralisation de l’expression simple précédente mais elle permet en plus de conserver la normalisation du spectre. La carte ainsi obtenue peut alors être directement additionnée à la simulation du ciel et possède directement les bonnes propriétés.
Enfin, dans le cas où on veut simuler à la fois le bruit instrumental et l’effet du lobe de l’instru-ment, il est important d’appliquer chaque effet dans un ordre précis. En effet, le bruit apparaît après le passage à travers le système optique. Il faut donc convoluer les cartes idéales du ciel par le lobe de l’instrument dans un premier temps, puis leur ajouter le bruit dans un second temps. On voit qu’en présence de bruit, la déconvolution d’une carte entraîne une explosion du bruit à haute fréquence car on convolue le signal uniquement mais on déconvolue le signal plus le bruit. Si on considère un bruit blanc on observe donc une explosion exponentielle du bruit après déconvolution. Il n’est pas possible de s’affranchir de cet effet.