si faible que la distribution des mesures de gaussianité sur les données est similaire à celle déduite du Monte-Carlo. Nous n’avons donc pas défini de coupure dans ce cas et nous conservons l’ensemble des patchs issus de la sélection précédente. Pour les cartes à 143GHz et à 217GHz, la sélection précédente ayant éliminé les zones les plus contaminées, on s’attend à ce que les régions les moins contaminées aient des propriétés proches de celle des cartes simulées. C’est ce qu’on peut voir sur les figures 8.9(a) et 8.9(b) où on remarque que la distribution globale est proche de celle du Monte-Carlo. Les coupures sont toutefois nécessaires dans ce cas et conduisent à la suppression de plusieurs dizaines de patchs comme on peut le voir dans le tableau 8.3.
8.4.3 Sélection sur des critères d’isotropie
On sait que l’émission des autres composantes que le CMB peut être, localement, fortement anisotrope. Par ailleurs, des problèmes dans le traitement des données peuvent produire des artefacts, notamment de larges stries qui brise l’isotropie localement. Nous avons donc développé une méthode de sélection s’appuyant sur les propriétés d’isotropie du CMB.
Le test d’isotropie est effectué dans l’espace de Fourier à partir du spectre de puissance angulaire à deux dimensions. En effet des directions privilégiées dans une image ressortent en général fortement dans le spectre de puissance dans une direction perpendiculaire à celle de l’espace réel. Ainsi, après avoir calculé le spectre de puissance angulaire à deux dimensions, on applique une décomposition en ondelettes afin de supprimer toutes les variations à haute fréquence. L’isotropie est finalement évaluée en comparant l’amplitude dans huit quadrants réguliers.
Ce test est appliqué après la sélection sur la gaussianité qui est plus efficace pour détecter les contaminations. Finalement étant donnée la qualité des données actuelles, cette sélection ne conduit à aucun rejet de patchs. Nous la conservons tout de même car cela permet de détecter d’éventuelles régressions dans la procédure de traitement des données de la mission.
8.5 Analyse préliminaire
Dans cette section nous présentons les traitements préliminaires que nous avons réalisés afin de pouvoir estimer l’effet de lentille gravitationnelle. Ce travail se résume à trois étapes principales, la découpe des patchs, la déconvolution et l’estimation du spectre de puissance des anisotropies de température nécessaire à l’estimateur de la deflexion.
8.5.1 Découpe des patchs
Nous avons utilisé l’outil développé dans la section 7.1 pour découper les cartes du ciel en patchs carrés, de 10 degrés de coté. Pour chacune des trois cartes, la carte des détecteurs combinés à 143GHz et à 217GHZ ainsi que la carte issue de la séparation de composantes avec GMCA, nous avons utilisé la même procédure avec les mêmes arguments. Seule la liste initiale de patchs, obtenue après les différentes sélections, diffère. Les principales étapes peuvent être résumées de la façon suivante :
– choix d’un patch dans la liste après sélection – détermination du centre du patch
– projection gnomonique des pixels de la sphère dont la distance angulaire par rapport au centre du patch est inférieure à la distance de la demi-diagonale du patch.
– sélection des pixels tombant dans le patch – apodisation
– estimation des coefficients de Fourier sur une grille régulière de 120 par 120 à partir des points projetés, tombant sur une grille irrégulière, à l’aide de la méthode des gradients conjugués (voir B.
Les centres des patchs sont donnés par les centres des pixels d’une carte HEALPix avec un paramètre nside de 8. Seuls les patchs restants après les différentes sélections ont été découpés. Comme le niveau de contamination dépend de la fréquence d’observation, nous n’avons pas le même nombre de patchs sur chaque carte. On obtient alors, pour chacune des trois cartes de départ, un ensemble de patchs qui sont la base de l’analyse. Sur la figure 8.10 on peut voir une zone du ciel découpée dans les différentes cartes (avec interpolation bilinéaire et sans apodisation). Elle
CHAPITRE 8. ESTIMATION DE L’EFFET DE LENTILLE GRAVITATIONNELLE DANS LES DONNÉES DE HFI
(a) Patch découpé dans la carte des observations combinées à 143GHz
(b) Patch découpé dans la carte des observations combinées à 217GHz
(c) Patch découpé dans la carte issue de la séparation des composantes avec GMCA
Figure 8.10 – Exemple de patch découpé dans les données. Les patchs font 10 degrés de coté. Ils sont découpés dans une zone centrée sur le centre du pixel 147 d’une carte HEALPix de paramètre
nsideégal à 8, ce qui correspond à 35.7° de latitude et 33.75° de longitude. La découpe a été
effectuée sans apodisation afin de pouvoir distinguer les différences entre les cartes initiales. Par ailleurs, la méthode par interpolation linéaire a été utilisée, afin d’accélérer la découpe. Les plus grandes structures visibles correspondent au CMB et sont très semblables d’une carte à l’autre. Les différences visibles sont produites par les différences de taille de lobe et de niveau de bruit entre les détecteurs aux différentes fréquences.
correspond au patch centré sur le pixel HEALPix numéro 147, ce qui correspond à 35.7° de latitude et 33.75° de longitude.
Pris deux à deux, les patchs ont un recouvrement moyen proche de 25%. Pour les cartes combinées à 143GHz et 217GHz et la carte GMCA, la surface totale pour tous les patchs découpés correspond respectivement à 62.64%, 49.82% et 70.82% de la surface de la sphère soit environ 25841, 20552 et 29215 degrés carrés respectivement. Pour comparaison, une expérience comme ACT couvre une surface de quelques centaines de degrés carrés seulement.
8.5.2 Déconvolution des effets du lobe de l’instrument
Les cartes du ciel produites par Planck sont des cartes convoluées par la réponse impulsionnelle spatiale de l’instrument. Comme on l’a vu dans la section 6.4.1 l’effet du lobe de l’instrument entraîne une perte de puissance aux petites échelles angulaires. L’estimateur du potentiel gravitationnel intégré nécessite une carte déconvoluée. Il est possible de déconvoluer la carte du ciel avant la découpe des patchs. Cependant, comme on l’a vu dans la section 6.4 le bruit issu de l’électronique de lecture n’est pas convolué car il apparaît après dans la chaîne de détection. Ainsi lorsqu’on déconvolue une carte, le bruit se trouve également déconvolué, ce qui a pour effet de faire exploser sa puissance aux petites échelles angulaires.
Nous utilisons la détermination de la taille du lobe de l’instrument effectuée par Antoine Cham-ballu4, basée sur la première observation de la planète Mars. Les chiffres donnés représentent la meilleure estimation en supposant que le lobe de l’instrument est un lobe gaussien circulaire. On sait que cela représente une bonne approximation, même si dans l’idéal, des corrections non gaussi-ennes et une ellipticité devraient être prises en compte. Cependant, l’hypothèse précédente facilite grandement la déconvolution des données. En effet dans le cas d’un lobe gaussien circulaire, on est capable de calculer de façon analytique la réponse impulsionnelle spatiale de l’instrument. Par ailleurs, l’effet du lobe sur le spectre de la déflexion, se manifeste principalement aux très bas ` (voir Hanson et al. (2010b)), auxquels nous n’avons pas accès avec une analyse par patch à cause de l’approximation plane. De plus, la combinaison des observations de plusieurs détecteurs et de plusieurs passages sur le ciel tend à symétriser le lobe.
Une déconvolution, idéale tenant compte des non-gaussianités du lobe et de son élongation, est une opération très lourde et qui va au delà du cadre de cette thèse. Elle nécessite de tenir compte de
4. Voir note interne http://wiki.planck.fr/index.php/Proc/101017BeamEstimates
8.5. ANALYSE PRÉLIMINAIRE
Figure 8.11 – Profil des lobes des instruments dans l’espace de Fourier. Les lobes pour les cartes à 143GHz et 217GHz sont des lobes gaussiens circulaires. Pour la carte issue de GMCA c’est une combinaison linéaire des lobes aux différentes fréquences pondérée par la matrice de mélange issue de la séparation des composantes. On voit bien dans tous les cas, la perte de puissance aux petites échelles induite par l’optique. Elle est d’autant plus importante que le lobe est grand.
la direction d’observation en chaque point et de réaliser la déconvolution échantillon par échantillon. C’est une opération qui n’est pas envisagée pour Planck sans approximations. Les résultats des mesures effectuées par Antoine Chamballu sont résumés dans le tableau 8.4 qui récapitule la meilleure estimation de la largeur à mi-hauteur du lobe de l’instrument pour chaque fréquence.
La formule de déconvolution d’un lobe gaussien circulaire de déviation standard σ, est donnée dans la section 6.4.1. Les calculs peuvent être effectués simplement dans l’espace de Fourier. Nous réalisons ainsi cette opération pour chaque patch découpé dans la sphère, afin de pouvoir faire l’analyse de l’effet de lentille gravitationnelle.
Pour la carte issue de la séparation des composantes, le lobe effectif est plus complexe que celui des cartes à 143GHz et 217GHz. En effet, la carte issue de GMCA est une combinaison des six cartes en fréquence de HFI, qui possèdent chacune un lobe différent. Connaissant la matrice de mélange et son pseudo-inverse (voir section 8.1.4), il est toutefois possible d’estimer le lobe effectif résultant de la combinaison des cartes. Étant donnée la linéarité du système permettant d’obtenir les cartes des différentes composantes, le lobe effectif s’obtient par une simple combinaison linéaire des lobes effectifs aux différentes fréquences :
BGMCACMB (`) =X
ν
A+νiAνiBν(`) (8.5) où Aνiet A+
νireprésentent respectivement la matrice de mélange du système et son pseudo-inverse,
ν correspond à l’indice de la fréquence considéré et i à l’indice de la composante qui nous intéresse, c’est-à-dire le CMB dans notre cas. On déconvolue finalement la carte issue de GMCA, à partir du lobe effectif BCMB
GMCA(`), de façon similaire aux cartes en fréquence. Les lobes effectifs utilisés pour déconvoluer les trois cartes utilisées pour notre analyse, sont tracés sur la figure 8.11. On remarque
CHAPITRE 8. ESTIMATION DE L’EFFET DE LENTILLE GRAVITATIONNELLE DANS LES DONNÉES DE HFI
Fréquence (Giga Hertz) 100 143 217 353 545 857 Taille du lobe (fwhm [minute d’arc]) 9.53 7.08 4.71 4.50 4.72 4.42
Table 8.4 – Tableau récapitulatif de la taille du lobe de l’instrument en fonction de la fréquence. Ces mesures représentent la meilleure estimation d’un lobe gausssien elliptique obtenue à partir des données de la première observation de la planète Mars par Antoine Chamballu et al. La taille du lobe est la plus importante à basse fréquence et la plus faible pour les voies à haute fréquence.
que la forme du lobe effectif de la carte issue de la séparation de composantes est relativement complexe, cependant le lobe reste toujours gaussien car il correspond à une combinaison linéaire de lobes gaussiens. Sa forme particulière en fonction de ` , ne dépend que des coefficients de la matrice de mélange mais ne dépend pas du choix de l’algorithme utilisé pour déterminer cette matrice.
8.5.3 Estimation du spectre de puissance de température
Dans la section 6.6 nous avons présenté l’estimateur du potentiel de lentille de Okamoto et Hu. Nous avons vu qu’il nécessite en paramètre, le spectre de puissance observé sur une carte décon-voluée du lobe de l’instrument. Nous estimons ce spectre à partir de l’ensemble des patchs découpés puis déconvolués des effets du lobe de l’instrument. Nous employons pour cela la méthode expliquée dans la section 6.5.2. Dans un premier temps on commence par estimer le spectre de puissance à deux dimensions, la coaddition des modules carré des coefficients de Fourier de l’ensemble des patchs par analogie avec le périodogramme de Welsh à une dimension. Le spectre de puissance est alors moyenné sur des couronnes en fonction du module du vecteur de Fourier afin d’obtenir l’estimation finale du spectre de puissance angulaire. On peut voir sur la figure 8.12 les spectres obtenus sur les trois cartes que nous avons analysées, comparés au spectre calculé avec CAMB à partir de l’esti-mation des paramètres cosmologiques donnés par WMAP, après sept ans d’observations. Comme aucun traitement du bruit n’a été effectué la mesure est dominée à haut ` par l’explosion du bruit déconvolué. Pour chacune des trois mesures, les barres d’erreur sont déduites de la dispersion sur un ensemble d’estimations du spectre de puissance sur 100 cartes, possédant un bruit et un lobe réalistes (voir section 8.7.1) et représentent l’erreur attendue pour une réalisation.
La mesure précédente est uniquement adaptée à une analyse dédiée à l’estimation du spectre de puissance de déflexion à l’aide de l’estimateur quadratique de Okamoto et Hu, qui nécessite une mesure du signal plus du bruit décorrélé. Si on s’intéresse à une mesure du spectre de puissance des anisotropies de température elles-mêmes, il est nécessaire de choisir une méthode plus adaptée. Il est notamment plus judicieux, dans ce cas, de ne pas déconvoluer les données afin d’éviter l’explosion du bruit aux petites échelles angulaires. Dans ces conditions, on peut par exemple estimer le spectre de puissance sur les cartes convoluées, puis soustraire une estimation du bruit avant de prendre en compte les effet du lobe de l’instrument au niveau du spectre. Le spectre de puissance du bruit peut alors être obtenu dans une première approximation par Jack-Knife (voir section 8.7.1).