8.6.1 Estimation du potentiel de lentille
L’estimation du spectre de puissance de la déflexion se fait en plusieurs étapes. Dans un premier temps, nous estimons le potentiel de lentille, ou champ φ, sur chaque portion du ciel, grâce à l’estimateur quadratique dans le plan, basé sur les travaux de Hu et Okamoto, que nous avons développé (voir section 6.6.2). Cette estimation est basée sur un produit de différents modes de Fourier des cartes de température, associé à un filtrage en fréquence. La borne de l’intégrale de l’équation 6.32, est limitée à ` = 2000. Il n’est pas nécessaire d’aller au-delà car étant donnée la taille du lobe de l’instrument, on commence alors à être dominé par le bruit déconvolué. On ne gagne donc pas en rapport signal sur bruit pour l’estimation du spectre de la matière. Par ailleurs, les bornes de l’intégrale pour le calcul de la normalisation et des biais de l’estimateur doivent être identiques au choix précédent et sont donc également fixées à 2000.
8.6. ESTIMATION DU SPECTRE DE LA DÉFLEXION
(a) Spectre de puissance de température par patch, sur la carte des observations combinées à 143GHz
(b) Spectre de puissance de température par patch, sur la carte des observations combinées à 217GHz
(c) Spectre de puissance de température par patch, sur la carte GMCA
Figure 8.12 – Spectre de puissance de température brut, par patch, estimé sur les données déconvoluées.Le spectre de puissance est estimé par la coaddition de l’ensemble des spectres de puissance angulaire à deux dimensions des patchs découpés dans une carte de température. On peut observer l’explosion exponentielle de la puissance du bruit instrumental à haut `, causée par la déconvolution des données. Plus le lobe de l’instrument est important plus l’explosion apparaît tôt. La carte à 143GHz est donc celle ou l’effet est le plus marqué. Les barres d’erreurs sont estimées, à partir de la variance de la mesure sur 100 cartes issues du Monte-Carlo décrit dans la section 8.7 et représentent les variations attendues pour une réalisation. En noir on a tracé les points estimés un à un pour donner une idée de la variance. Les valeur en bleu sont moyennées dans des intervalles de 50, on les compare au spectre fiduciel en rouge qui est calculé avec CAMB à partir des paramètres cosmologiques estimés
CHAPITRE 8. ESTIMATION DE L’EFFET DE LENTILLE GRAVITATIONNELLE DANS LES DONNÉES DE HFI
Comme on peut le voir dans l’équation 6.40, le filtre dépend du spectre de puissance de tempéra-ture du CMB non lentillé, ainsi que le spectre de puissance de la carte observée, avec son bruit et déconvoluée des effets du lobe de l’instrument. Le spectre de puissance de température non lentillé, correspond à celui que l’on pourrait mesurer en l’absence de tous les autres effets extérieurs, c’est-à-dire le spectre de puissance des anisotropies à l’époque de la recombinaison. Bien évidemment, la mesure faite à l’heure actuelle inclue l’ensemble des effets modifiant les propriétés statistiques, inclu-ant l’effet de lentille gravitationnelle. Nous utilisons donc le spectre théorique, calculé avec CAMB, à partir de la meilleure estimation des paramètres cosmologiques par l’équipe de WMAP, après sept ans d’observation (Larson et al. (2010)). Pour le spectre de puissance des données nous utilisons le spectre mesuré dans la section précédente, à l’aide de la méthode par patch, qui correspond au spectre du signal et du bruit, déconvolué du lobe de l’instrument.
Finalement, l’estimateur du potentiel de lentille est appliqué à chaque patch découpé sur la sphère (voir section 8.5.1). On obtient alors pour chacune des trois cartes que nous analysons (les cartes combinées à 143GHz et 217GHz et la carte GMCA) un ensemble de cartes du potentiel de lentille à deux dimensions.
8.6.2 Estimation du spectre de puissance angulaire de la déflexion
La seconde étape de l’analyse consiste à estimer le spectre de puissance brut de la déflexion. À partir de l’ensemble des cartes à deux dimensions du potentiel de lentille, estimées sur chaque morceau découpé de la sphère, nous calculons le spectre de puissance angulaire de la même manière que celui des anisotropies de température. Nous réalisons donc la coadditions des cartes d’amplitude des coefficients de Fourier à deux dimensions par analogie avec le périodogramme de Welsh. À cause de la couverture inhomogène du ciel par Planck, le rapport signal sur bruit varie avec la direction du ciel considérée. Ainsi, le rapport signal sur bruit des différentes estimations du potentiel de lentille varie d’une zone découpée à l’autre mais nous n’en tenons pas compte dans le calcul de la moyenne. Les effets du bruit inhomogène sont pris en compte par les corrections estimées par Monte-Carlo. On obtient finalement un spectre de puissance à deux dimensions qu’on moyenne dans des couronnes de largeur 50 afin de diminuer les erreurs statistiques sur l’estimation du spectre de puissance angulaire ainsi obtenue.
Les travaux de Okamoto et Hu ont montré la présence d’un bruit dans l’estimation du potentiel de lentille produit par la réalisation du CMB elle-même. Le biais introduit par ce bruit sur le spectre de puissance (N(0)
K ) a été calculé et peut être soustrait (voir section 6.6). Après soustraction de ce biais on obtient une estimation brute du spectre de puissance du potentiel de lentille Cφφ
` . Cette mesure ne tient pas compte des bruits additionnels corrélés au champ φ, ni des effets systématiques de l’ensemble de la chaîne d’analyse.
En général on ne représente pas directement le spectre du potentiel de lentille mais le spectre de la déflexion Cdd
` = `∗(`+1)Cφφ
` . L’estimation brute du spectre de la déflexion pour chacune des trois cartes analysées, est présentée sur la figure 8.13. Les erreurs sont estimées à partir de la dispersion entre 100 réalisations issues du Monte-Carlo détaillé dans la section 8.7.4 et représentent l’erreur attendue pour une réalisation. À ce niveau, le signal est dominé par les effets systématiques qui sont pris en compte dans la section 8.7. Les résultats sont comparés aux spectres mesurés à partir de la moyenne des spectres des 100 cartes du Monte-Carlo avec un signal de lentille gravitationnelle et avec le jeu de 100 cartes sans signal. Pour les multipôles inférieurs à 500, les données sont mieux reproduites par les simulations contenant un signal.
8.6.3 Correction des biais de l’estimateur
Les spectres de déflexion estimés dans la section précédente, sont des spectres bruts. Afin d’obtenir une mesure fiable, dans un premier temps, il faut corriger des biais de l’estimateur qui sont connus et qui ont été prédits analytiquement (voir section 6.6.3).
D’après les équations 6.45 et 6.46, le calcul des biais N(1)
K et N(2)
K nécessite de connaître le spectre non lentillé mais également le spectre du signal des cartes sur lesquelles sont faites les estimations, c’est-à-dire le spectre lentillé avec bruit déconvolué. Nous utilisons les mêmes mesures que pour l’estimation du potentiel de lentille : le spectre non lentillé calculé à partir des données de WMAP et le spectre lentillé mesuré par la méthode par patch sur les donnnées dans la section 8.5.3.
8.6. ESTIMATION DU SPECTRE DE LA DÉFLEXION
(a) Spectre de la déflexion brut pour la carte à 143GHz
(b) Spectre de la déflexion brut pour la carte à 217GHz
(c) Spectre de la déflexion brut pour la carte GMCA
Figure 8.13 – Estimation brute du spectre de puissance de la déflexion. Sur les trois graphiques ci-dessus, on compare le spectre de puissance de la déflexion, brut, sans les corrections (en noir), aux spectres estimés à partir de la moyenne sur un jeu de 100 simulations contenant un signal de lentille gravitationnelle (en bleu) et sur le jeu équivalent ne contenant pas de signal (en rouge). Les erreurs sur les spectres mesurés sur les données de Planck correspondent aux erreurs statistiques attendues pour une réalisation et ont été estimées à partir de la dispersion sur les 100 estimations sur les cartes lentillées.
CHAPITRE 8. ESTIMATION DE L’EFFET DE LENTILLE GRAVITATIONNELLE DANS LES DONNÉES DE HFI
Figure 8.14 – Biais de l’estimateur pour la carte à 217GHz. Les biais dominants de l’estimateur du spectre de puissance de la déflexion ont été calculés analytiquement. Le terme de biais principal est N(0)
K (en vert). Il est bien connu est peut être facilement retirer. Dans un second temps, on peut voir que N(2)
K (en orange) est dominant en terme d’amplitude aux petits `. NK(1) (en bleu) domine le terme précédent aux grands ` et représente un biais important en pourcentage du signal (en rouge) à ces échelles. Le biais additionnel introduit par les effets systématiques que nous avons pris en compte (en noir) est du même ordre de grandeur que
NK(1)
Enfin, N(2)
K dépend également du spectre de la déflexion ce qui peut poser un problème car nous ne disposons à l’heure actuelle d’aucune mesure de ce spectre. Nous utilisons donc le spectre calculé avec CAMB dans un modèle ΛCDM, à partir des paramètres cosmologiques déterminés par l’équipe de WMAP avec sept ans de données. C’est une bonne approximation car N(2)
K a une amplitude relativement faible et contribue surtout à bas `. De plus les variations attendues pour un spectre de la déflexion légèrement différent sont petites. Finalement on à également une justification à posteriori avec la mesure finale qui est fortement compatible avec celle attendue par WMAP étant données les barres d’erreurs de la mesure. Pour la mesure finale, on peut imaginer une méthode itérative permettant de recalculer N(2)
K à partir des valeurs estimées, cependant l’erreur attendue sur N(2)
K est à l’heure actuelle dominée par les autres effets systématiques. Sur la figure 8.14 on peut voir l’amplitude des biais de l’estimateur N(0)
K , N(1)
K et N(2)
K obtenus pour la carte des données combinées à 217GHz, comparée à la valeur du spectre de puissance attendu à partir des paramètres cosmologiques déterminés par WMAP. On a également représenté l’amplitude du biais introduit par les effets systématiques que nous avons pris en compte. Ce biais est calculé à partir de simulations Monte-Carlo dans la section suivante. On peut voir qu’il est du même ordre de grandeur que le terme N(1)
K .