étude.
Pour simuler les spectres, nous prenons en compte les corrections non linéaires dans CAMB. Nous n’incluons pas de modes tensoriels. Sur la figure 6.1 on peut voir les spectres des anisotropies de température et de la déflexion obtenus.
6.2 Simulation de cartes gaussiennes
Le CMB est un champ gaussien isotrope (voir section 2). Ses fluctuations sont donc entièrement décrites par leur spectre de puissance. La méthode de simulation des cartes repose sur cette hypothèse et sur les propriétés d’un champ gaussien. Elle se base sur un tirage aléatoire contraint.
6.2.1 Simulation sur la sphère
Pixelisation de la sphère avec HEALPix
La représentation d’un signal sur tout le ciel, nécessite de définir une pixelisation de la sphère. Les premières cartes du CMB du ciel complet, produites par COBE utilisaient une pixelisation carrée d’un ensemble de six plans, issus de la projection de la sphère sur les faces d’un cube. Depuis, de nombreuses méthodes plus adaptées ont été développées pour pixeliser la sphère, dans le but d’être utilisées par les futures expériences de mesure du CMB, notamment, HEALPix, GLESP, Igloo, Icosahedron, ECP. La pixelisation HEALPix tend à s’imposer dans un nombre croissant d’expériences, ces dernières années. Son succès est certainement dû au développement d’un ensemble performant de programmes et librairies, permettant de travailler avec cette pixelisation, librement accessibles et disponibles dans plusieurs langages (C, C++, FORTRAN, IDL, python).
Les principales propriétés de cette pixelisation sont : une indexation hiérarchique des pixels qui facilite l’accès rapide aux pixels ou la recherche de plus proches voisins, une surface identique pour tous les pixels qui permet d’avoir un bruit constant par pixel pour une observation homogène et enfin une répartition des centres des pixels sur des cercles d’isolatitude qui permet de réaliser des transformations en harmonique sphérique basées sur des FFT, ce qui allège grandement les calculs. Les pixels HEALPix sont issus de la subdivision d’un ensemble de 12 pixels de base (voir figure 6.2). Le nombre de subdivisions est contraint par le paramètre nside. Ainsi, une carte possède au total 12nside2pixels.
Les cartes du ciel produites par le consortium Planck utilisent la pixelisation HEALPix1. Étant donnée la résolution des instruments de Planck de quelques minutes d’arc, il a été décidé de produire l’ensemble des cartes avec un paramètre nside de 1024 pour les cartes de LFI et un nside de 2048 pour les cartes de HFI. Un simple calcul montre que les cartes de HFI comportent plus de 50 millions de pixels, avec une taille angulaire moyenne entre leurs centres de 1.7 minutes d’arc. Pour avoir une résolution comparable à celle des données de Planck, nous avons donc produit l’ensemble des simulations avec un paramètre nside de 2048.
Fonction fenêtre des pixels
Le signal observé sur le ciel est un signal continu. Cependant, les observations sont représentées sur des cartes pixelisées et une valeur unique est affectée à chaque pixel. On peut écrire l’effet de la pixelisation par la formule suivante (Hivon et al. (2002)) :
Tp=Z Wp(θ, φ)T (θ, φ)dΩ (6.1) où, Tp et Wp(θ, φ) sont respectivement, la valeur affectée au pixel p et sa fonction fenêtre. T (θ, φ) représente la valeur du signal observé, dans une direction sur la sphère, définie par (θ, φ). La plupart des algorithmes de génération des cartes à partir des observations sur le ciel, effectuent une moyenne des échantillons tombant dans chaque pixel. Dans ce cas, on peut définir la fonction fenêtre des pixels par :
Wp(θ, φ) = 1
Ap à l’intérieur du pixel
0 sinon (6.2)
CHAPITRE 6. SIMULATION ET ANALYSE DE SIGNAUX POUR PLANCK
Figure 6.2 – Pixelisation HEALPix. On obtient une carte de résolution arbitraire en subdivisant chaque pixel en quatre sous-pixels à partir d’un ensemble de douze pixels de base. La résolution est contrôlée par le paramètre nside qui défini le nombre de subdivisions par rapport aux pixels de base. Chaque carte comporte ainsi 12nside2pixels. La figure ci-dessus montre la projection de Mollweide des 12 pixels de base (visible en couleur). On peut également voir en noir, les contours des pixels issus de la première subdivision (nside = 2)
où Ap est la surface du pixel p, qui est constante pour la pixelisation HEALPix (Ap = A). La pixelisation lisse toutes fluctuations du signal à des échelles plus petites que la plus large dimension d’un pixel (Crittenden & Turok (1998)). Cela se traduit par une perte de puissance à grand ` dans le spectre de puissance angulaire du signal. C’est un effet systématique purement géométrique et qui a été estimé avec précision pour les pixels HEALPix, pour des cartes de paramètre nside pouvant aller jusqu’à 8192.
Simulation
Dans la section 2 on a vu que dans l’état actuel des connaissances, le CMB peut être considéré dans une bonne approximation comme un champ gaussien statistiquement isotrope. Ses propriétés statistiques sont donc totalement décrites par son spectre de puissance angulaire. Si on décompose une carte sur la base des harmoniques sphériques, les coefficients a`mde la décomposition, pour un
` donné, sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes : ha∗`ma`0m0i= C`δ``0δmm0
où C`est le spectre de puissance angulaire de la carte.
Pour simuler une carte gaussienne il faut donc effectuer un tirage d’a`mgaussien de variance C`
pour un ` donné. Pour prendre en compte l’effet de la fonction fenêtre des pixels, il faut moduler le tirage par la fonction correspondante qui dépend de la géométrie des pixels comme décrit dans la section 6.2.1.
Plusieurs codes ont été développés pour générer des cartes du ciel avec une pixelisation HEALPix à partir d’un spectre de puissance. Dans notre analyse, nous avons utilisé en particulier la version c++ des librairies HEALPix ainsi que le code LENSPIX2 qui permet en plus de simuler l’effet de lentille gravitationnelle (voir section 6.3.1) mais qui utilise les routines fortran de HEALPix pour simuler les cartes gaussiennes. Seul le code simfast permet de prendre en compte l’effet de la fonction
2. Voir le site web http://cosmologist.info/lenspix
6.2. SIMULATION DE CARTES GAUSSIENNES
fenêtre des pixels. Une exemple de carte du ciel du CMB, simulée avec la méthode précédente est visible sur la figure 6.3.
Figure 6.3 – Carte du ciel gaussienne. La simulation est effectuée avec LENSPIX à partir du spectre de puissance du CMB issu de CAMB et basé sur l’estimation des paramètres cosmologiques publiée par WMAP.
6.2.2 Simulation sur le plan
Le principe de la simulation d’un champ gaussien dans un plan, est similaire à celui sur la sphère. Dans le plan, l’espace de Fourier joue un rôle analogue à celui des harmoniques sphériques sur la sphère (voir section 2.3.3).
Pour simuler une réalisation d’un champ gaussien de spectre de puissance C(l), de taille angulaire
Lx par Ly, nous commençons par générer une carte Gij à partir d’un tirage de bruit blanc gaussien de variance 1 et de moyenne nulle. Cette carte vérifie donc la relation :
hGijGi0j0i= δii0δjj0 (6.3) Il suffit ensuite de calculer sa transformée de Fourier et de moduler ses coefficients a(kmn) de la façon suivante :
ˆa(kmn) = a(kmn)pC(|kmn|) (6.4) avec le vecteur d’onde kmn donné par :
kmn= 2mπ Lx 2nπ Ly ! (6.5) Les coefficients de Fourier du signal dans le plan, s’obtiennent donc à partir du spectre de puissance angulaire sur la sphère C`. Pour les valeurs entières de |kmn|, on a la relation (voir White et al. (1999)) :
C(`) = C(|kmn|= `) (6.6) Pour les autres valeurs, il est nécessaire d’interpoler le spectre de puissance angulaire C(`) en |kmn|. Pour cela nous réalisons une simple interpolation linéaire qui donne une bonne approximation car le spectre de puissance du CMB est suffisamment lisse. On peut voir un exemple sur la figure 6.4.
CHAPITRE 6. SIMULATION ET ANALYSE DE SIGNAUX POUR PLANCK