6.6 Estimation du spectre de déflexion
6.6.2 Dérivation dans le plan
L’amplitude des déflexions étant très faible, de l’ordre de quelques minutes d’arc (voir la sec-tion 3.3.3), on peut commencer par effectuer le développement limité de l’équasec-tion 3.12 afin de comprendre le développement de l’estimateur. Au premier ordre en φ, on obtient alors l’équation suivante :
˜
T(ˆn) = T (ˆn + ∇φ(ˆn))
' T(ˆn) + ∇φ(ˆn) · ∇T (ˆn) + ... (6.21) 118
6.6. ESTIMATION DU SPECTRE DE DÉFLEXION
Dans le cadre de l’approximation plane, on peut décomposer le champ de température lentillé dans l’espace de Fourier. On note :
˜
T(K) =Z d2ˆn ˜T(ˆn)e−iK·ˆn (6.22) la transformée de Fourier du champ lentillé ˜T et
˜
T(ˆn) =Z (2π)d2K2T˜(K)eiK·ˆn (6.23) sa transformée inverse. En utilisant l’équation 6.21, on peut exprimer le champ lentillé dans l’espace de Fourier en fonction du champ non lentillé T, sous la forme :
˜ T(K) = Z T˜(ˆn)e−iK·ˆnd2ˆn = Z T(ˆn + ∇φ(ˆn))e−iK·ˆnd2ˆn ≈ Z [T (ˆn) + ∇φ(ˆn) · ∇T (ˆn)]e−iK·ˆnd2ˆn ≈ Z
T(ˆn)e−iK·ˆnd2ˆn +Z [∇φ(ˆn) · ∇T (ˆn)]e−iK·ˆnd2ˆn (6.24) qu’on peut réécrire :
˜
T(K) ≈ T (K) +Z [∇φ(ˆn) · ∇T (ˆn)]e−iK·ˆnd2ˆn (6.25) en développant et en identifiant T (K), à la forme équivalente de l’équation 6.22. En remplaçant alors les champs T (ˆn) et φ(ˆn) par leur décomposition en terme de coefficients de Fourier sous forme équivalente à l’équation 6.23 et en effectuant le gradient dans l’espace de Fourier, on obtient alors :
˜ T(K) ≈ T (K) +Z Z −ik1φ(k1)eik1·ˆnd2k1 (2π)2 · Z −ik2T(k2)eik2·ˆnd2k2 (2π)2 e−iK·ˆnd2ˆn ˜ T(K) ≈ T (K) −Z Z k1· k2φ(k1)T (k2)d2k1 (2π)2 Z e−i(K−k1−k2)·ˆnd2ˆn d2k2 (2π)2 (6.26) Le membre entre crochet s’identifie à la fonction delta de Dirac δ(−k + k1+ k2). Finalement en intégrant sur k1 on obtient :
˜
T(K) = T (K) −Z d2k2
(2π)2T(k2)φ(K − k2)[(K − k2) · k2] + ... (6.27) où les termes K, k1 et k2 sont des vecteurs dans l’espace de Fourier et sont liés par la relation
K= k1+k2. On peut noter que le produit présent dans l’équation 6.21 se transforme en convolution dans l’espace de Fourier.
En utilisant le développement de l’équation 6.27, on peut alors estimer la moyenne sur un ensem-ble de réalisations de CMB, d’un produit de deux modes du champ de température lentillé ˜T(k1) et ˜T(k1), pour une réalisation du champ φ fixé. On trouve alors :
h ˜T(k1) ˜T(k2)iCMB= δ(k1+ k2)CT T k1 + fk1k2(K)φ(K) (6.28) avec fk1k2(K) = k1· KCT T k1 + k2· KCT T k2 (6.29) où les CT T
k désignent les éléments du spectre de puissance primordial du CMB, c’est-à-dire le spectre de puissance au niveau de la surface de dernière diffusion. Il faut noter que la moyenne s’effectue sur des réalisations différentes du CMB, à φ fixé. Dans le cas où le champ φ est nul, on n’a pas d’effet de lentille gravitationnelle, le membre de droite de l’équation est nul, ce qui est compatible avec la définition du spectre de puissance de température non lentillé, qui s’écrit dans ce cas :
h ˜T(k1) ˜T(k2)i = hT (k1)T (k2)i = δ(k1+ k2)CT T
CHAPITRE 6. SIMULATION ET ANALYSE DE SIGNAUX POUR PLANCK
Pour deux modes k1 et k2 différents, le premier terme du membre de droite de l’équation 6.28 s’annule et on obtient :
h ˜T(k1) ˜T(k2)iCMB= fk1k2(K)φ(K) (6.31) Cependant, la valeur moyenne de cette équation sur un ensemble de réalisations du champ φ devient nulle. Cette équation ne donne donc pas directement un estimateur du champ de potentiel de lentille. Elle suggère cependant qu’une combinaison quadratique de différents modes d’une carte de température du CMB peut servir d’estimateur du champ φ. En s’inspirant de cette forme, W. Hu a proposé un estimateur quadratique du potentiel (dans le domaine de Fourier) de la forme :
ˆφ(K) = AK
Z d2k1
(2π)2T˜(k1) ˜T(k2)Fk
1k2(K) (6.32) où, dans ce cas, ˜T représente la valeur mesurée sur le ciel lentillé c’est-à-dire le champ lentillé en présence du bruit et du lobe instrumental. Par ailleurs, les vecteurs K, k1et k2sont toujours reliés par la relation K = k1+ k2. Enfin AK et F sont respectivement une normalisation et un filtre qui doivent être optimisés.
La normalisation est obtenue en imposant un estimateur non biaisé pour un champ φ(K) fixé. Ainsi si on moyenne sur des réalisations de CMB on veut que l’estimateur vérifie :
h ˆφ(K)iCMB= φ(K) (6.33) en injectant l’équation 6.32 dans l’équation précédente et en utilisant la relation 6.31 on obtient :
h ˆφ(K)iCMB = hAK Z d2k1 (2π)2T˜(k1) ˜T(k2)Fk1k2(K)iCMB = AK Z d2k1 (2π)2h ˜T(k1) ˜T(k2)iCMBFk1k2(K) = AK Z d2k1 (2π)2fk1k2φ(K)Fk1k2(K) = φ(K) (6.34) ce qui donne : AK =Z d2k1 (2π)2fk1k2(K)Fk1k2(K) −1 (6.35) La variance de cet estimateur (en séparant les moyennes sur des réalisations de CMB, de celles sur le potentiel de lentille) s’écrit :
hh ˆφ∗(K) ˆφ(K0)iCMB− h ˆφ∗(K)iCMBh ˆφ(K0)iCMBiφ= δ(K − K0)[N(0)
K + ...] (6.36) Le second terme du membre de gauche de l’équation précédente, fait intervenir le spectre du potentiel de lentille puisque h ˆφ(K)iCMB = φ(K) et que le champ φ est gaussien hφ(K)φ∗(K0)iφ = δ(K −
K0)Cφφ K
Le terme N(0)
K correspond au bruit gaussien de l’estimateur, c’est-à-dire à la puissance qui appa-raît lorsque les cartes ne sont pas lentillées. Il existe des termes d’ordre supérieur qui sont couplés au champ gravitationnel : ils ont été calculés dans Kesden et al. (2003) et Hanson et al. (2011) (voir section 6.6.3). Ils sont néanmoins d’amplitude plus faible. Le bruit peut se mettre sous la forme (Hu & Okamoto (2002)) : NK(0)= [A(K)]2 Z d2k1 (2π)22CT˜obsT˜obs k1 CT˜obsT˜ obs k2 Fk1k2(K) (6.37) où K = k1+ k2 et CT˜obsT˜obs
k désigne le spectre de puissance du CMB observé c’est-à-dire le spectre lentillé tenant compte en plus des effets du bruit et du lobe instrumentaux. On peut l’exprimer sous la forme : CT˜obsT˜obs k = CT ˜˜T k + Cnn k (6.38) 120
6.6. ESTIMATION DU SPECTRE DE DÉFLEXION
où Cnn
k est le spectre du bruit instrumental, déconvolué du lobe de l’instrument. Il est donné par :
Cknn= fsky 4π tpixNpix s TCM B ek2σ2 (6.39) où, fsky est la fraction du ciel couverte, Npix le nombre de pixels total de la carte, tpix le temps d’intégration par pixel, s la sensibilité du détecteur et σ l’écart type du lobe instrumental.
On obtient alors le filtre optimal en minimisant la variance de l’estimateur, N(0)
K , par rapport à F, ce qui donne : Fk1k2(K) = fk1k2(K) CT˜obsT˜obs k1 CT˜obsT˜obs k2 (6.40) où l’on retrouve la fonction f donnée par l’équation 6.29. On en déduit que :
NK(0)= AK (6.41)
Finalement, l’estimateur quadratique optimal s’écrit donc : ˆφ(K) = AK
Z d2k1
(2π)2T(k1)T (k2)fk1k2(K)/(2CT˜obsT˜obs
k1 CT˜obsT˜obs
k2 ) (6.42) Il faut prendre garde au fait que les CT T
k de l’équation 6.29 sont ceux du spectre primordial du CMB au niveau de la surface de dernière diffusion, tandis que les CT˜obsT˜
obs
k du filtre (équation 6.40) correspondent à ceux du spectre mesuré sur les données (avec bruit et après déconvolution du lobe). L’estimateur effectue donc une forme de filtrage de Wiener sur les données Hu (2001).
Cette estimateur permet la reconstruction de la carte de ˆΦ à partir de laquelle on peut estimer le spectre de puissance angulaire du potentiel de lentille. Il est donnée par :
ˆ CKφφ = h| ˆφ(K)|2i+ NK = Cφφ K + NK (6.43) où NK = N(0) K + N(1) K + N(2) K + ... et le terme N(0)
K est donné par l’équation 6.41 et dépend donc du jeu de donnée considéré par l’intermédiaire du filtre F . Le champ estimé est un champ scalaire de variance Cφφ
K + NK, la précision de l’estimation prend donc la forme classique (Hu & Okamoto (2002)) : ∆ ˆCKφφ ' C φφ K + NK pK∆Kfsky (6.44) où ∆K est la taille des intervalles sur lesquels sont moyennées les valeurs. On voit que la variance dépend directement de la fraction du ciel couverte. Par ailleurs, le terme NK dépend des valeurs de CT˜obsT˜obs
k qui dépend directement de la taille du lobe et du temps d’intégration comme on peut le voir dans l’équation 6.39. Ainsi, on constate que la variance de l’estimateur diminue lorsque le temps d’intégration dans les pixels augmente. Enfin, une expérience avec un lobe instrumental plus faible est également capable de réaliser une mesure avec une plus faible variance.