6.6 Estimation du spectre de déflexion
7.1.4 Estimation du signal sur une grille irrégulière
XX2+ Y Y2 ZZ ! (7.3) φ = tan−1 Y Y XX (7.4) avec
XX = sin θ0cos φ0− ycos θ0cos φ0− xsin φ0
Y Y = sin θ0sin φ0− ycos θ0sin φ0+ x cos φ0
ZZ = cos θ0+ y sin θ0
La principale propriété de la projection gnomonique est de conserver la plus courte distance entre deux points. Elle transforme ainsi tous les grands cercles en lignes droites. Il faut noter qu’il n’est possible de projeter qu’une fraction d’un hémisphère à la fois ce qui est toutefois suffisant pour des patchs de 10 degrés de coté. Comme toute projection, elle introduit des distortions. On peut montrer que les distortion sont d’autant plus importantes qu’on s’éloigne du point tangent. La distance radiale varie avec la distance d au point tangent comme :
rr(d) = cos(d)1 (7.5) et la distance transverse comme :
rt(d) = cos12(d). (7.6) Afin de donner une idée des déformations introduites par une projection, il est courant d’utiliser les indicatrices de Tissot. Ce sont des cercles de même taille, dessinés sur la sphère. Leur image est en général des ellipses qui permettent de mettre en évidence les distortions et de donner une idée des propriétés de la projection (conservation locale des angles ou des surfaces). On peut voir sur la figure 7.3 la déformation introduite par la projection gnomonique sur des figures de test à la surface de la sphère. La projection gnomonique ne conserve ni les angles (les cercle deviennent des ellipses) ni les surfaces (la surface des indicatrices grandit). Il faut noter toutefois qu’aucune projection ne peut vérifier l’ensemble de ces propriétés à la fois.
7.1.4 Estimation du signal sur une grille irrégulière
Les pixels de la sphère, projetés sur le plan, tombent sur une grille irrégulière (voir figure 7.5). L’ensemble des codes d’analyse dans le plan travaille sur des images à deux dimensions avec une
7.1. OUTILS DE DÉCOUPE D’UNE SPHÈRE EN PATCH
(a) Indicatrices de Tissot
(b) Indicatrices de Tissot
Figure 7.3 – Figures de distortion. Sur la figure (a) on peut voir les indicatrices de Tissot de la projection gnomonique d’un patch carré, de 105 degrés de coté. Ces figures permettent de donner une idée des distortions introduites par la projection. Elles correspondent à l’image de cercles identiques de la sphère. On observe à la fois une élongation des cercles qui signifie que la projection gnomonique n’est pas conforme (elle ne conserve pas les angles localement) et une augmentation de la surface des indicatrices qui signifie que la projection gnomonique n’est pas non plus une projection équivalente (elle ne conserve pas les surfaces). On peut voir sur la figure (b) la projection de cercles concentriques centrés sur le point tangent, dont les rayons varient par pas de 10 degrés. On observe une augmentation de la distance entre les cercles images, lorsqu’on s’éloigne du centre, à cause de la distortion. Ces figures sont volontairement tracées sur un patch de grande taille afin d’amplifier les effets. Sur un patch de 10 degrés de coté, les effets sont beaucoup plus faibles. Il ne sont même plus visibles à l’oeil.
CHAPITRE 7. DÉVELOPPEMENT D’UNE MÉTHODE D’ANALYSE PAR PATCH POUR PLANCK
(a) Interpolation par plus proche voisin
(b) Interpolation bilinéaire (c) Interpolation par Fourier
Figure 7.4 – Interpolation pour la projection. Les pixels d’une carte HEALPix projetés sur un plan par projection gnomonique ne tombent pas dans une grille régulière. Pour obtenir une image plane, à deux dimensions et régulière il faut interpoler le signal sur la sphère, à la position correspondant aux centres des pixels sur le plan. Trois méthodes d’interpolation (plus proche voisin, bilinéaire et par Fourier) sont comparées, sur un morceau carré de 1 degré de coté extrait d’un patch de 10 degrés de coté à très haute résolution. On voit bien que la méthode par interpolation par plus proche voisin (figure (a)) entraîne des variations discontinues lorsque la valeur la plus proche passe d’un pixel à l’autre sur la sphère. Les deux autre méthodes (figures (b) et (c)) donnent des résultats beaucoup plus proches. Il est difficile de distinguer les deux par une simple comparaison des cartes. Les résultats sur l’étude des spectres de puissance de température ou de déflexion sont toutefois meilleurs avec la dernière méthode y compris en présence des effets d’un bruit et d’un lobe instrumental.
pixelisation régulière carrée. Il est donc nécessaire à partir des valeurs irrégulièrement réparties, d’estimer le signal sur une grille régulière. C’est un problème bien connu d’interpolation. Nous avons implémenté trois méthodes permettant d’y répondre.
La méthode la plus simple consiste à associer à chaque pixel du patch la valeur du pixel de la sphère le plus proche. On appelle ce type d’interpolation, l’interpolation par plus proche voisin. Ses principaux avantages sont sa rapidité et le fait qu’elle n’utilise que des valeurs existantes dans la carte de départ. La répartition des pixels HEALPix sur des cercles d’équilatitude puis de façon régulière en longitude, facilite grandement la recherche des pixels les plus proches d’une direction arbitraire sur la sphère. Ainsi pour chaque pixel du patch nous effectuons un projection inverse afin de déterminer la position d’origine sur la sphère qui se projette dans le centre du pixel sur le plan. À partir de cette position, nous utilisons une routine HEALPix rapide qui retourne les quatre pixels de la sphère les plus proches. Parmi cette liste de pixels nous choisissons finalement le plus proche. Pour cela, il faut évaluer la distance entre le point correspondant au centre du pixel du patch et les centres des quatre pixels de la sphère les plus proches déterminés précédemment. L’estimation des distances doit se faire le long des géodésiques qui sont données par les grands cercles pour une sphère. Afin de faciliter les calculs, nous utilisons une méthode permettant de réaliser le calcul des distances sur le plan. Pour cela nous projetons les pixels de la liste, avec une projection gnomonique centrée sur la position en laquelle nous voulons interpoler le signal. Cette projection transforme les grands cercles en ligne droite et les distortions évoluent radialement avec la distance au centre de projection. Ainsi il suffit de mesurer la distance cartésienne la plus courte entre l’origine du patch et les pixels de la sphère projetés, pour trouver le pixel le plus proche. Comme on peut le voir sur la figure 7.4(a), la méthode d’interpolation par plus proche voisin produit des variations brutales du signal interpolé lorsque le plus proche voisin passe d’un pixel à l’autre de la sphère. Nos études ont montré qu’elle n’était pas adaptée à l’étude de l’effet de lentille gravitationnelle, tout au moins pour des cartes initiales à la résolution de Planck (nside égal à 2048).
La second méthode permet d’obtenir un signal interpolé beaucoup moins discontinu (voir fig-ure 7.4(b)). Elle utilise une interpolation bilinéaire. Cette opération est réalisée avec les routines HEALPix et fait une approximation plane. C’est-à-dire qu’elle évalue les distances entre pixels de façon cartésienne, ce qui introduit des erreurs qui sont largement négligeables, étant donné qu’à la
7.1. OUTILS DE DÉCOUPE D’UNE SPHÈRE EN PATCH
Figure 7.5 – Répartitions des pixels projetés. Les pixels de la sphère projetés sur le plan ne tombent pas sur une grille régulière. On a tracé ici la répartition des centres des pixels d’une carte HEALPix de paramètre nside de 64 (croix noires) sur un ensemble de 16 patchs carrés de 10 degrés de coté (en rouge). On observe que la répartition n’est pas régulière et dépend de la position du patch considéré.
résolution de Planck, la distance moyenne inter-pixels est de seulement 1.7 minutes d’arc. Elle né-cessite la détermination des quatre pixels les plus proches de la position en laquelle on veut interpoler le signal. Cette liste de pixels est obtenue par la même routine que précédemment.
Finalement avec l’aide de Guy Lemeur qui est ingénieur au LAL, nous avons développé un algorithme permettant de se passer totalement d’interpolation. Pour cela, nous réalisons pour chaque patch, une estimation des coefficients de Fourier sur une grille régulière de taille définie, à partir de la répartition globale de l’ensemble des points irrégulièrement espacés issus de la projection des pixels de la sphère pour chaque patch (voir l’annexe B). C’est une méthode générale qui peut s’appliquer pour toute répartition arbitraire de l’ensemble des points de départ et peut donc être employée sur des cartes n’utilisant pas la pixelisation HEALPix. Elle donne les meilleurs résultats pour l’étude de l’effet de lentille gravitationnelle. Sur la figure 7.4(c) on la compare, dans l’espace réel, sur une zone de 1 degré à haute résolution, aux deux autre méthodes qui utilisent elles une interpolation. Pour cela, on calcule le signal dans l’espace réel par transformée de Fourier discrète inverse à partir des coefficients estimés par la méthode d’approximation par série de Fourier.