7.5 Traitement des erreurs
8.1.4 Séparation des composantes
Pour les cartes combinées à 143GHz et à 217GHz nous utilisons la méthode d’inpainting locale par patch développée dans la section 7.2. Pour la carte issue de la séparation des composantes avec GMCA, la méthode est plus complexe et nous utilisons deux étapes d’inpainting distinctes. Dans un premier temps, on utilise le code MRS pour inpainter les sources ponctuelles et les zones d’émissions galactiques les plus intenses sur les six cartes en fréquence afin de pouvoir appliquer l’algorithme de séparation des composantes décrit dans la section 8.1.4 et déterminer la matrice de mélange. C’est un inpainting global de la sphère. Dans un second temps on utilise l’algorithme d’inpainting par patch sur la carte finale issue de la séparation des composantes, obtenue à partir de la matrice de mélange comme une simple combinaison linéaire des cartes en fréquence.
8.1.4 Séparation des composantes
En plus de l’émission du CMB, on trouve de nombreuses autres composantes astrophysiques qui émettent aux longueurs d’onde de Planck. On peut distinguer des émissions diffuses d’origine galactique, comme l’émission de la poussière, du rayonnement synchrotron et de freinage et des émissions ponctuelles extragalactiques comme les galaxies radios ou infrarouges et les amas SZ, ou galactique comme les nuages moléculaires froids. Le CMB étant émis avant, dans le temps, on
1. Voir le site web http://irfu.cea.fr/Ast/fastlens.software.php
CHAPITRE 8. ESTIMATION DE L’EFFET DE LENTILLE GRAVITATIONNELLE DANS LES DONNÉES DE HFI
(a) Nombre d’échantillons par pixel pour la carte combinée à 143GHz
(b) Nombre d’échantillons par pixel pour la carte combinée à 217GHz
Figure 8.1 – Nombre d’échantillons par pixel pour les cartes à 143GHz et 217GHz du jeu de données DX4.Chaque production de cartes est accompagnée des cartes contant le nombre d’échantillons dans chaque pixel (parfois appelées cartes de hit). Elles permettent notamment d’estimer les variations de bruit d’un pixel à l’autre qui sont directement dépendantes du nombre de mesure. Étant donnée la fréquence d’échantillonnage des bolomètres de HFI, de Fsamp= 180.38Hz, chaque échantillon correspond à un temps d’intégration d’environ 6 ms. L’échelle de couleur est une échelle logarithmique. On remarque bien que la stratégie de pointage de Planck produit des zones très denses autour des pôles écliptiques.
8.1. PRÉPARATION DES DONNÉES
(a) Carte du CMB originale (b) Carte du CMB masquée (c) Carte du CMB inpainté Figure 8.2 – Exemple d’inpainting de la carte à 217GHz. La figure (a) montre un patch de 10
degrés de coté découpé dans la carte des observations combinées à 217GHz, sur une position centrée à −35.7° de latitude et 225° de longitude. Les pixels masqués (en noir sur la figure (b)) sont ensuite inpaintés avec l’inpainting local par patch décrit dans la section 7.2. Les zones inpaintées de la carte (c) sont très similaires aux zones à l’extérieur du masque. Les sources ponctuelles, dont certaines sont fortement visibles sur la carte originale, ont totalement disparues.
regroupe souvent l’ensemble des émissions précédentes sous le terme d’avant-plans. C’est la somme de toutes les émissions qui est capturée par les détecteurs. Lorsqu’on veut étudier l’émission du CMB par exemple, les autres composantes constituent alors une contamination qui modifie les propriétés statistiques, ce qui peut entraîner notamment une dégradation de l’estimation de l’effet de lentille gravitationnelle.
Dans la plupart des analyses et en particulier pour l’analyse de l’effet de lentille gravitationnelle, il est intéressant de travailler sur une carte la moins contaminée possible par les autres émissions. Pour cela on peut essayer de séparer la contribution des différentes émissions afin d’obtenir une carte par composante. C’est évidemment un exercice très difficile, qui occupe un groupe de travail entier dans le consortium Planck, le WG2. Afin de séparer les différentes émissions, les algorithmes tirent partie de la différence de structure morphologique et de répartition spatiale et spectrale des émissions. Pour atteindre les meilleures performances, la séparation de composante est réalisée à partir d’une analyse multi-fréquence. Les neuf bandes de fréquence de Planck ont été prévues principalement pour cette analyse.
Le rayonnement mesuré sur le ciel par chaque détecteur peut être modélisé comme une combi-naison linéaire de l’émission des différentes composantes. On peut alors écrire le signal observé à une fréquence ν, dans une direction n sous la forme :
Tνobs(n) = Aνisi(n) + nν(n) (8.1) où, si(n) est l’émission associée à chacune des nc composantes {si(n)}i=1,...,nc, la matrice A est la matrice de mélange des différentes émissions en fonction de la fréquence et nν(n) est le bruit instrumental à la fréquence ν. Le but de la séparation des composantes est alors d’estimer l’ensemble des si à partir des observations Tobs
ν ce qui correspond à estimer la matrice Aνi.
Huit méthodes concurrentes ont été développées dans le cadre du WG2, pour essayer de répondre au mieux aux besoins de Planck. En règle générale, elles se basent donc sur un certain nombre de cartes à différentes fréquences en entrée et en déduisent les cartes de l’émission des différentes com-posantes ainsi qu’une carte de résidus et de bruit instrumental, en faisant parfois certaines hypothèses supplémentaires sur les propriétés des différentes émissions. Les méthodes diffèrent principalement par les contraintes extérieures qu’elles utilisent et par les modèles physiques d’émission qu’elles sup-posent. Une revue des différents algorithmes de séparation de composantes et une comparaison de leurs résultats, issus du travail du WG2, peuvent être trouvées dans Leach et al. (2008).
Pour notre étude, nous avons utilisé la méthode GMCA (Generalized Morphological Componant Analysis) développée par Bobin et al. (2008), qui réalise une décomposition basée sur une analyse morphologique à l’aveugle. C’est la seule méthode de séparation de composantes dont l’influence
CHAPITRE 8. ESTIMATION DE L’EFFET DE LENTILLE GRAVITATIONNELLE DANS LES DONNÉES DE HFI
sur l’effet de lentille gravitationnelle a été étudiée à l’heure actuelle (voir à ce sujet Perotto et al. (2010)). Son principal avantage est l’analyse à l’aveugle qui ne nécessite pas de réglages particuliers. Le fonctionnement de l’algorithme repose sur des travaux récents en traitement du signal (voir les références dans Bobin et al. (2008).
Pour réaliser la séparation des composantes, on part du principe que les différentes émissions, possèdent chacune, de par leur origine physique distincte, une morphologie et une répartition spa-tiale propres et distinctes de celles des autres. L’algorithme GMCA s’appuie alors sur l’hypothèse principale qu’on peut trouver un dictionnaire D de fonctions (voir section 7.2.3) sur lequel la décom-position de chaque composante possède une grande parcimonie et est distincte de celle des autres. Si on appelle αikles coefficients de la décomposition sur les k composantes de D de la source si, il a été montré dans Bobin et al. (2008) qu’un bon estimateur de la parcimonie est la somme de la valeur absolue des αik. La détermination de la matrice de mélange et des différentes composantes du signal se fait alors par une approche bayésienne de maximisation de la parcimonie de la décomposition, qui peut s’écrire sous la forme du problème de minimisation suivant :
min {si},{Aνi} X ik |αik| (8.2) soumis à la contrainte : kTobs ν (n) − Aνisi(n)k < (8.3) où est un paramètre fixant l’erreur de reconstruction autorisée et k·k représente la norme `2. (voir Bobin et al. (2008)).
Finalement chaque composante du signal peut être obtenue à partir des observations {Tobs ν (n)} en appliquant le pseudo-inverse de la matrice de mélange :
si(n) =X
ν
A+νiTνobs(n) (8.4) où A+
νiest l’élément i, ν du pseudo-inverse de A donné par A+= (ATA)−1AT. Chaque composante est donc une combinaison linéaire des observations ce qui permet de propager facilement les erreurs et les propriétés du bruit instrumental.