5.2.1 Choix de l’algorithme
L’algorithme de compression des données à bord du satellite a été choisi afin de minimiser l’impact de la compression sur le signal d’intérêt scientifique et ses propriétés statistiques, tout en permettant d’obtenir un débit inférieur aux limites imposées par la bande passante et la capacité de stockage de l’ordinateur de bord. Son implémentation tient compte des fortes contraintes matérielles, notamment celles liées à des expériences spatiales : faibles ressources en mémoire vive, faible puissance de calcul, faible bande passante du bus permettant de communiquer avec l’ordinateur de bord, faible capacité de stockage dans l’ordinateur de bord, bande passante et temps de communication avec le sol limités, traitement en temps réel... L’algorithme de compression se base sur la quantification en amplitude d’un signal supposé gaussien et de moyenne nulle. Les données sont traitées par tranches de compression de 254 échantillons. Elles sont d’abord démodulées puis leur offset est estimé et soustrait sur chaque tranche de compression. L’amplitude des échantillons démodulés est ensuite quantifiée avec un pas fixe. Chaque échantillon est finalement codé sur un nombre variable de bits en fonction de l’intervalle dans lequel tombe son amplitude après quantification. Les intervalles les plus probables utilisent le nombre de bits le plus faible, puis le nombre de bits utilisé augmente lorsque la probabilité d’obtenir un échantillon dans l’intervalle diminue.
Cet algorithme ne permet pas une compression sans perte. C’est-à-dire que le signal reconstruit n’est pas identique bit à bit à l’original. Cependant un ensemble d’études théoriques Widrow & Kollár (2008) et de simulations (Présentations au Planck Core Team de Stéphane Plaszczynski) montrent que l’impact sur les données est connu et contrôlable. Les conséquences de la compression sur les données de l’instrument HFI de Planck se résument à celles introduites par la quantification du signal, qui sont des erreurs d’arrondis. La quantification est une opération non linéaire dont les effets ne sont pas toujours intuitifs. Il faut noter toutefois qu’un signal physique doit subir une conversion numérique avant de pouvoir être traité de façon numérique. Ainsi, même en l’absence de compression, les données ont nécessairement subi une première quantification.
1. Note interne de Désert et Macias-Perez : HFI noise fit
5.2. ALGORITHME DE COMPRESSION
Les travaux pionniers sur les effets de la quantification d’un signal ont été menés par Widrow (Voir notamment Widrow & Kollár (2008)). Il est a l’origine de plusieurs théorèmes qui permettent de prédire l’influence de la quantification sur les propriétés statistiques d’un signal. Nous allons détailler dans la suite les effets introduits par la quantification d’un signal à valeurs réelles et montrer que l’algorithme de compression n’introduit pas de non gaussianités mais rajoute simplement un bruit de quantification qui a un spectre blanc.
5.2.2 Opérateur de quantification
L’opérateur de quantification Q agit sur un signal à valeurs réelles s. L’unité de base de quan-tification est q. L’opérateur de quanquan-tification produit alors en sortie un signal s0 dont les valeurs varient par pas de q. L’expression du signal après quantification en fonction du signal d’entrée est donnée par la formule :
s0= q × bs+ q/2
q c (5.1)
où l’opérateur bc, représente l’arrondi à l’entier inférieur le plus proche (floor). C’est une opération non linéaire. Après quantification le signal d’origine ne peut plus être déduit de façon exacte du signal de sortie de l’opérateur Q. Si on note ν l’erreur commise lors de la quantification alors pour tout signal s on a la relation :
ν = s − s0 (5.2)
avec ν vérifiant |ν| ≤ q/2 pour toute valeur du signal d’entrée. Ainsi l’erreur maximale est bornée par q/2. Lorsque le pas de quantification devient arbitrairement petit, l’erreur tend donc vers zéro. Sur la figure 5.2, on peut voir la sortie de l’opérateur de quantification en fonction du signal d’entrée. L’erreur associée est tracée sur la figure 5.3.
Figure 5.2 – Effet de l’opération de quantification sur un signal à valeurs réelles. Le signal quantifié varie par pas de q. C’est une opération irréversible. Il n’est pas possible de restaurer le signal d’entrée à partir du signal de sortie. Par rapport au signal en entrée, l’erreur maximale sur le signal quantifié est q/2. La distance entre la droite en pointillés et la courbe en marches d’escalier (en traits pleins) est proportionnelle à l’erreur de quantification.
5.2.3 Théorèmes de quantification
Il existe une forte analogie entre l’échantillonnage d’un signal et la quantification. En effet, si on considère un signal aléatoire s et le signal quantifié correspondant s0, alors, si la densité de
CHAPITRE 5. COMPRESSION DES DONNÉES DE L’INSTRUMENT HFI À BORD DU SATELLITE
Figure 5.3 – Erreur de quantification sur un signal à valeurs réelles. Elle varie de façon discontinue et dépend de la valeur du signal non quantifié. Elle est bornée par ±q/2.
probabilité de s est donnée par la fonction fs, la probabilité que le signal se trouve dans un des intervalles de quantification i, est :
pi=Z i×q+q/2
i×q−q/2
fs(x)dx (5.3)
Par définition, après quantification, tous les éléments tombant dans cet intervalle prennent la même valeur qi= i×q. La probabilité picorrespond donc également à la probabilité que le signal quantifié prenne la valeur discrète qi. La densité de probabilité du signal quantifié prend donc des valeurs discrètes qui valent l’intégrale de la densité de probabilité du signal non quantifié sur l’intervalle de quantification (voir figure 5.4). L’effet de la quantification est alors de réaliser un échantillonnage de la densité de probabilité. On parle généralement dans ce cas d’échantillonnage continu, c’est-à-dire que la valeur n’est pas simplement évaluée de façon discrète mais la fonction est intégrée sur toute la largeur de l’échantillon. En gardant cela à l’esprit on peut alors appliquer les lois de l’échantillonnage à la densité de probabilité d’un signal quantifié afin d’estimer l’influence de la quantification sur les propriétés statistiques d’un signal.
Cette analogie a été développée dans Widrow & Kollár (2008) et donne lieu à plusieurs théorèmes de quantification. Si la transformée de Fourier de la densité de probabilité du signal, ou fonction caractéristique, Φs(u), est limitée en fréquence, avec :
Φs(u) = 0, |u| ≥ π
q (5.4)
alors il est possible de reconstruire la densité de probabilité d’un signal à partir des valeurs quantifiées de ce signal. Cela constitue le premier théorème de quantification. Dans le cas moins restrictif où :
Φs(u) = 0, |u| ≥ 2π
q (5.5)
on n’est plus capable de reconstruire la densité de probabilité de façon exacte. Cependant, on peut montrer qu’il est toujours possible d’estimer tous les moments de la distribution ce qui donne lieu au deuxième théorème de quantification. Il a été montré que dans ces conditions, l’effet de la quantification pouvait être modélisé par l’ajout d’un bruit uniforme sur l’intervalle [−q/2, q/2], indépendant du signal, appelé « pseudo bruit de quantification » (ou PQN pour le terme anglais Pseudo Quantification Noise). Si on note n ce bruit, alors le signal quantifié, s0 aura les mêmes propriétés statistiques que :
s00= s + n (5.6)
La densité de probabilité du pseudo bruit de quantification est représentée sur la figure 5.5. On peut en déduire que sa valeur moyenne est nulle :
hνi = Z ∞ −∞ fν(s)sds = Z q/2 −q/2 1 qsds = 0 (5.7) 66
5.2. ALGORITHME DE COMPRESSION fs 0 q 2q 3q -q -2q -3q
(a) Densité de probabilité du signal
fs'
0 q 2q 3q -q
-2q -3q
(b) Densité de probabilité du signal quantifié
Figure 5.4 – Effet de la quantification sur la densité de probabilité du signal. La densité de probabilité du signal quantifié prend des valeurs discrètes, d’amplitude égale à l’intégrale de la densité de probabilité du signal initial, sur les intervalles de quantification. La densité de probabilité du signal quantifiée peut donc être considérée comme une version échantillonnée de la densité de probabilité initiale du signal avant quantification. L’échantillonnage n’est cependant pas réalisé sur des valeurs discrètes mais correspond à l’intégrale sur un intervalle. On parle alors d’échantillonnage continu.
CHAPITRE 5. COMPRESSION DES DONNÉES DE L’INSTRUMENT HFI À BORD DU SATELLITE
Sa variance est donnée par :
hν2i = Z ∞ −∞ fν(s)s2ds = Z q/2 −q/2 1 qs 2ds = 12q2 (5.8)
Figure 5.5 – Densité de probabilité du bruit de quantification. Elle est répartie uniformément sur l’intervalle [−q/2, q/2].
On peut donc utiliser les résultats du théorème de la quantification, pour calculer les moments du signal quantifié en modélisant l’erreur introduite par la quantification par le bruit n. Les premiers moments du signal quantifié s0 exprimés en fonction de ceux du signal non quantifié s, sont alors donnés par Widrow & Kollár (2008) :
E[s0] = E[s]
E[(s0)2] = E[s2] +q122
E[(s0)3] = E[s3] +q42E[s]
E[(s0)4] = E[s4] +q22E[s2] + q804 (5.9) Les corrections par rapport aux moments non quantifiés sont connues sous le nom de corrections de Sheppard. Ces résultats donnent les déviations sur les moments de la distribution, introduites par la compression.
5.2.4 Application à un bruit blanc gaussien
On considère un signal de densité de probabilité gaussienne de moyenne nulle et d’écart type σ. Sa fonction caractéristique Φs(u) ∝ exp[−u2σ2/2] possède en principe des fréquences infinies. Les théorèmes de quantification ne s’appliquent donc pas. Cependant, si on choisit le pas de quantifica-tion judicieusement, on peut être arbitrairement proche des condiquantifica-tions du second théorème car la fonction caractéristique chute très rapidement. On peut définir le pas de quantification en unité de
σ:
q= Qσ (5.10)
Il est alors possible de montrer Widrow & Kollár (2008) que si le pas de quantification q est choisi de façon à avoir q . σ alors, l’erreur sur l’estimation des moments est négligeable.
Finalement, il a aussi été montré dans Widrow & Kollár (2008) que l’effet de la quantification sur le spectre de puissance d’un signal n’est pas nul. Pour un signal gaussien, la modélisation des effets de la quantification par un bruit de type PQN reste valide dans certaines conditions, suivant la valeur de Q. Les calculs indiquent que pour q . σ, les corrélations introduites sont, dans une