Section 17.6 : Moments d’inertie et centre de masse

La section 17.6 s’intitule Moments d’inertie et centre de masse et comporte 4 définitions, 1 théorème, 7 exemples et 32 exercices regroupés en 9 paquets.

Cette étude est introduite comme prolongement de celle menée dans la section 6.7 qui a traité des moments et du centre de masse d’une plaque plane homogène. En s’appuyant sur les intégrales doubles l’auteur s’attache ici à l’étude de la même notion pour des plaques non

homogènes L qui ont la forme d’une région R du plan xOy. Si la fonction δ qui donne la densité en un point P(x,y) de L est continue sur R, alors la formule pour la masse de L est donnée par (17.23).

Pour donner les formules des moments et du centre de masse, l’auteur considère d’abord un découpage d={Rk} de R en choisissant un point quelconque (xk, yk) de Rk mis en évidence dans la figure (17.50). Le fait que δ est continue sur R permet à l’auteur d’affirmer que la densité en deux points voisins de R ne sont pas très différentes. En effet, sur un élément d’aire Rk, δ est presque constante. Par conséquent, l’auteur met en évidence que, si d est proche de 0, la masse ∆mk relative à Rk est

approximativement égale à δ(xk, yk)∆Ak où ∆Ak est l’aire de Rk. En supposant que la masse ∆mk est centrée en (xk, yk) l’auteur exprime le moment [ponctuel] par rapport à l’axe Ox de cet élément de L par le produit ykδ(xk, yk)∆Ak. Comme la somme des moments Σk ykδ(xk, yk)∆Ak devrait approcher les moments de toute la plaque, l’auteur définit respectivement les moments, notés Mx et My de L par rapport à l’axes Ox et Oy par

Mx = 0

lim

k

A _k

∆ → ∑ ykδ(xk, yk)∆Ak =∫∫R yδ (x, y) dA et My = ∆Alimk →0∑ xk kδ(xk, yk)∆Ak =∫∫R xδ (x, y) dA En se referant à la section (6.24) l’auteur précise que le centre de masse (ou centre de gravité) de la plaque est le point (x y, ) tel que x=My/m et y=Mx/m.

La définition (17.24) suivante est alors mise en place en accord avec le discours ci-dessus.

Définition (17.24)

Soit L une plaque qui a la forme d’une région R du plan xOy. Si la fonction δ qui donne la densité en (x,y) est une fonction continue sur R les expressions de la masse m, des moments Mx et My et du centre de masse (x y, ) sont :

(1) m = ∫∫R δ (x, y) dA

(2) Mx= ∫∫R yδ (x, y) dA, My= ∫∫R xδ (x, y) dA (3) x=My/m et y=Mx/m

L’auteur précise tout de suite que quand L est homogène la densité δ(x, y) est constante et que, dans ce cas, le centre de masse ne dépend que de la forme de la plaque et est appelé le

centre géométrique de la région R.

Deux exemples (01 et 02) suivent cette définition. L’exemple (01) est une reprise de l’exemple (07) (section 17.5) et calcule les coordonnées du centre de masse (ou point d’équilibre) de la région considérée. Notons que le dessin utilisé dans l’exemple (07) est aussi

Figure 17.50

x y

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repris ici. L’exemple (02) s’intéresse aux coordonnées du centre de masse d’une plaque plane en forme d’une région R déterminée par une parabole et une droite où la densité en un point P de R varie comme la distance de P à l’axe de la parabole. Ici aussi une représentation graphique de R accompagne la résolution.

Ensuite l’autre précise que :

« Les moments Mx et My sont aussi appelés premiers moments de L par rapport aux axes de

coordonnées, car il existe des seconds moments ou moments d’inerties notés Ixet Iy par rapport à l’axe Ox et Oy respectivement, dont l’expression est la même que celle des premiers moments à part qu’elle contient les carrés des distances aux axes de coordonnées. La somme I0=Ix+Iy est le

moment polaire d’inertie ou moment d’inertie par rapport à l’origine ». [SWOF, p. 925] Vient ensuite une définition formelle de moments d’inerties.

Définition (17.25) Ix= 2 0 lim _k d→ ∑_k y δ(xk, yk)∆Ak = ∫∫R y 2_{δ (x, y) dA,} Iy= 2 0 lim _k d→ ∑_k x δ(xk, yk)∆Ak = ∫∫R x 2_{δ (x, y) dA} I0 =

(

)

Un exemple (03) assez simple suit cette définition et calcule le moment d’inertie par rapport à l’axe Ox d’une plaque en forme de demi-disque, où la densité y est directement proportionnelle à la distance à l’axe Ox. Une représentation graphique accompagne la solution.

On trouve ensuite l’étude des moments et du centre de masse en 3D. Dans ce cas, l’auteur considère un solide qui occupe une région Q de l’espace de dimension trois et revient à la définition 17.22 de la masse d’un solide, notamment, ∫∫∫Qδ(x,y,z)dV. Comme pour le cas d’une plaque plane, il souligne :

Le moment par rapport au plan xOy d’un élément Qk de Q vaut approximativement le produit

zkδ(xk, yk, zk)∆Vk. Une somme sur k et un passage à la limite sur la dimension des éléments de

volume conduisent au moment Mxy du solide par rapport au plan xOy (voir (17.26)(2)). Les

moments Mxz et Myz par rapport au plan xOz et yOz respectivement s’obtiennent de la même façon. Le centre de masse est défini par (17.26)(3).

Vient ensuite la définition formelle de moments et du centre de masse en 3D ci-dessous.

Moments et centre de masse en trois dimensions (17.26) (1) m =∫∫∫Q δ (x, y, z) dV (2) Mxy = ∫∫∫Q zδ (x, y, z) dV ; Mxz = ∫∫∫Q yδ (x, y, z) dV ; Myz = ∫∫∫Q xδ (x, y, z) dV (3) x Myz m = ; y Mxz m = ; z Mxy m =

L’auteur rappelle ici que les équations du point (3) peuvent aussi s’écrire mx=Myz ; my=Mxz ;

m z =Myz. En effet, mx, my et m z sont les moments par rapport au plan yOz, xOz et xOy

respectivement de la masse totale m si elle est localisée en (x, y,z ).

Deux exemples (04 et 05) suivent cette définition. L’exemple (04) est une reprise de l’exemple (06) (section 17.5) et calcule le centre de masse du solide en question. A noter qu’ici aussi apparaît le même dessin que celui utilisé précédemment. L’exemple (05) s’intéresse au calcul d’une des coordonnées du centre de masse du solide Q dont la frontière

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est composée d’une surface parabolique et de trois plans d’équations données. Dans cet exemple, la densité en un point P(x,y,z) de Q est proportionnelle à la distance de P à l’origine. C’est un exemple d’application directe du cours. La difficulté est dans la détermination du domaine d’intégration et le choix d’un ordre ad hoc dans l’écriture algébrique du calcul de l’intégrale itérée.

Ensuite l’auteur débouche sur l’étude des moments d’inerties des solides. Ainsi il précise : Comme une particule de masse m située au point (x, y, z) est à une distance (x2_+y2₎1/2 _{de l’axe Oz,}

son moment d’inertie Iz par rapport à l’axe Ozest défini par (x2+y2)1/2m. De même, les moments

d’inertie Ix et Iy par rapport à l’axe Oxet Oy respectivement sont (y2+z2)1/2m et (x2+z2)1/2m. Dans le cas d’un solide Q comme celui de la figure 17.55 [même que la figure 17.46] une décomposition en éléments de masse infinitésimaux et un passage à la limite sur les sommes qui en résultent mènent [aux formules 17.27] ci-après. [SWOF, p. 930]

L’auteur donne ainsi la définition formelle des moments d’inerties en 3D.

Moments d’inertie des solides (17.27)

Iz = ∫∫∫Q (x2+y2)δ (x, y, z) dV

Ix = ∫∫∫Q (y2+z2)δ (x, y, z) dV

Iy = ∫∫∫Q (x2+z2)δ (x, y, z) dV

Notons que la décomposition en éléments de masse infinitésimaux et le passage à la limite sur les sommes de Riemann ne sont qu’évoquées par l’auteur, qui considère cette méthode comme acquise et donc institutionnalisée, dans le discours d’ordre technologique ou théorique. En pratique, elle n’apparaît jamais dans les tâches demandées aux étudiants, sauf sur des exemples numériques sans enjeu réel.

Deux exemples (06 et 07) suivent la définition (17.27). Ce sont tous deux des applications directe du cours qui s’appuient sur des exemples déjà étudiés dans les sections précédentes et sur les dessins faits alors.

Pour clore la partie cours de cette section (17.6), l’auteur propose une démonstration du

second théorème de Guldin32 (théorème 17.28) déjà cité dans la section 6.26.

Viennent ensuite les exercices non résolus. Rappelons qu’ici ils sont au nombre de 32 regroupés en 10 paquets.

Le premier paquet T1=T[t1, t8] correspond à la tâche : déterminer la masse et le centre de

masse d’une plaque de densité donnée et dont la frontière se compose de graphiques d’équations données. C’est une tâche simple. Elle comporte des expressions et des fonctions densités simples. A priori, il est commode d’obtenir une représentation analytique nécessaire pour le calcul de l’intégrale double conduisant au calcul des masses et de centre de masse demandés. Ce paquet permet donc essentiellement un re-travail de la tâche de calcul d’une intégrale double.

Le paquet T2=T[t9, t14] correspond à la tâche générique Calculer le moment d’inertie d’une

plaque par rapport à un point ou à un axe. Il se décompose cependant en deux sous-paquet

32 _{Même que "Teorema de Pappus". (SWOP, p. 520)}

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T2[a] et T2[b]. Dans les quatre tâches de T2[a]=T[t9, t12] la plaque est déterminée par des équations et les axes par rapport auxquels on demande de calculer les moments d’inertie sont toujours des axes du repère. Dans le sous-paquet T2[b]=T[t13, t14] les plaques sont respectivement un carré et un triangle, il n’y a pas de repère prédéfini et les axes par rapport auxquels on demande le calcul des moments d’inertie sont liés aux plaques et oblige à des choix judicieux de repères pour décrire analytiquement les plaques.

Le paquet T3=T[t15,t16] donne la formule I=md2, où m la masse d’un solide et I le moment

d’inertie par rapport à une droite, et s’appelle le rayon de giration (distance à laquelle toute la masse d’un solide devrait être concentrée pour que le moment d’inertie ne change pas). Les deux exercices demandent de calculer d dans deux cas où I a été calculé précédemment ! Le paquet T4=T[t17, t18] correspond à la tâche : déterminer le centre de masse d’un solide Q de

densité donnée. Les solides sont très simples et si les expressions des fonctions densités ne sont pas données explicitement, elles sont décrites en termes géométriques simples.

Le paquet T5=T[t19, t20] correspond à la tâche : établir les intégrales itérées qui permettent de

calculer le centre de masse du solide qui occupe la région Q et de densité δ(x,y,z) donnée. Ici les fonctions densités sont données. Les solides sont délimités par des paraboloïdes et des plans d’équations données. La difficulté est surtout dans la représentation analytique de Q et dans la mise en place d’une écriture algébrique du calcul de l’intégrale itérée demandée. A noter qu’ici on ne demande pas à l’étudiant de procéder aux calculs. Notons aussi que la représentation graphique n’est pas demandée. Mais, comme dans les cas de calculs des volumes, cela pourra apparaître, notamment par effet de contrat.

Le paquet T6=T[t21, t22] correspond à la tâche : établir les intégrales itérées qui permettent de

calculer le centre géométrique d’un solide représenté graphique. Les dessins des solides concernés représentent respectivement l’hémisphère nord centré de rayon a et un cône (centré dans l’axe Oz, convexe vers le haut) coiffé par un plan parallèle au plan xOy. Ce sont donc deux sous-tâches simples d’application du cours. Comme pour T5, ici on ne demande pas non plus de procéder aux calculs. On peut dire que c’est juste une tâche d’entraînement sur la coordination entre les registres graphique et analytique et l’écriture algébrique du calcul de l’intégrale itérée.

Le paquet T7=T[t23, t24] correspond à un type de tâche similaire à T6, sauf qu’ici on ne donne pas les dessins, mais les équations des surfaces qui composent les frontières des solides. De plus, on s’intéresse non seulement à établir l’intégrale itérée, mais aussi au calcul des coordonnées du centre géométriques (pour t23).

Le paquet T8=T[t25, t28] correspond à un type de tâche similaire à T6, sauf qu’ici on ne s’intéresse pas au centre de masse, mais au moment d’inertie par rapport à l’axe Oz du solide délimité par des surfaces d’équations données. Ces solides sont une la sphère et un cône de densités données (pour les deux premières tâches) et un tétraèdre et un ellipsoïde homogènes (pour les deux dernières tâches). On ne demande à l’étudiant ni de faire le dessin ni de procéder aux calculs.

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Le paquet T9=T[t29, t30] correspond à la tâche : calculer une valeur approchée de la masse de

la plaque de densité δ(x,y) et de forme R donnée. C’est une tâche qui est a priori difficile et utilise la technique appelée méthode de Monte Carlo. Les résultats sont donc difficilement accessibles par des techniques papier/crayon. En effet, l’auteur préconise l’usage d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel (présence du symbole C).

Le T10=T[t31, t32] est le dernier paquet de la section 17.6. Il se rapporte à T9 et correspond à la une généralisation de la méthode de Monte Carlo à une fonction f de trois variables et un solide Q de volume V. Il s’intéresse alors au calcul d’une valeur approchée de la masse d’un solide de densité donnée où la frontière de Q est déterminée par la composition de surfaces d’équations données. C’est aussi une tâche dont les résultats sont laborieux par des techniques papier/crayon. C’est pourquoi, l’auteur recommande l’usage d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel (présence du symbole C).