L’analyse de ce livre montre combien la notion d’intégration peut-être étroitement liée à celle de mesure. En effet c’est la mesure d’un pavé de Rn et plus généralement d’un compact de Rn qui est mise en jeu ici dans la construction des connaissances sur les intégrales multiples, avec comme cas particuliers les intégrales doubles et triples. Ces dernières sont conçues comme un prolongement de l’étude des intégrales simples. Elles donnent, au sens de Riemann, et de façon rigoureuse21, les règles ou les techniques de calculs des aires et de volumes usuels, sans faire appel à l’intégrale de Lebesgue22. Dans ces calculs, les représentations graphiques de solides sont quasiment absentes.
On verra que les programmes et les manuels de deux institutions que nous allons étudier maintenant privilégient les aspects techniques liés aux calculs des intégrales doubles et triples. L’aspect théorique est réduit au minimum et comprend très peu de démonstrations. Par contre, l’analogie avec les intégrales simples est très présente ainsi que la référence aux sommes de Riemann, voire de Darboux. Enfin, dans une visée pratique, l’appui sur les représentations graphiques sera également plus fort.
PARTIE B2
1. ANALYSE DES PROGRAMMES DE L’UESC DEPUIS 1999
QUELLES NICHES POUR LES INTEGRALES MULTIPLES ?
L’analyse que nous présentons ici est une synthèse des programmes de l’enseignement de
21 Dans le sens où tous les théorèmes mis en place sont démontrés à partir d’outils de la Topologie comme la
convergence dans des espaces vectoriels normés.
22 Dans la réedition de 1989 de ce manuel, les auteurs décideront de « mettre à la disposition des lecteurs,
d’emblée, la vraie intégrale, celle de Lebesgue ».
Analyse institutionnelle Analyse des programmes
47
mathématiques de l’institution UESC (BA- Brésil). Le choix de cette institution est justifié par l’intérêt initialement révélé dans l’introduction de ce travail.
Comme le montrent les tableaux ci-dessous (organigrammes de cours des différentes disciplines pour la formation en Mathématiques « spécialités » « Bacharelado » et « Licenciatura » crées depuis 1999) l’enseignement des IM apparaît dans le cours dénommé « Cálculo IV ». Ce cours permet un approfondissement des notions d’analyses rencontrées par les étudiants dans la discipline dénommée « Cálculo Diferencial e Integral – CDI » ou simplement « Cálculo » découpée en quatre disciplines semestrielles. Les contenus de ces disciplines sont répartis en sections selon l’extrait d’organigramme ci-dessous :
Calcul – I . Fonctions d’une variable.
. Limites
. Dérivées
Calcul – II . Intégrales de fonc. d’une v.
. Applications d’intégrales
. Techniques d’intégration
Calcul – III . Suites, séries
. Fonctions des plusieurs v. Limites Dérivées et applications Calcul – IV . Intégrales Multiples Intégrales doubles Intégrales triples . Calcul vectoriel
Le CDI est ainsi présent dans les trois premières années de la formation en Mathématiques dans les deux « spécialités » (cf. tableaux ci-dessous) et constitue l’habitat des IM.
Universidade Estadual De Santa Cruz – UESC
Departamento De Ciências Exatas E Tecnológia – DCET Curso de Matemática : Habilitação Bacharelado FLUXOGRAMA Duração do curso : Mínima = 4 anos Máxima = 7 anos
I SEMESTRE II SEMESTRE III SEMESTRE IV SEMESTRE V SEMESTRE VI SEMESTRE VII SEMESTRE VIII SEMESTRE Fund. Matem.
Elementar I Cálculo I Cálculo II Cálculo III Cálculo IV Analíticas IFunções AvançadoCálculo Optativa
Fund. Matem.
Elementar II Geometria Analítica Álgebra Linear I Álgebra Linear II Análise Real I Análise Real II Teoria das Eq. Diferenciais Seminário em Matemática
Física I Física II Física III Física IV Cálculo
Numérico Estatística III Equações Difer. Parciais Optativa
Desenho
Geométrico Filosofia da Ciência Álgebra I Álgebra II Álgebra II DiferencialGeometria Topologia Geral
Português
Instrumental Lógica
Geometria Descritiva
Int. A Ciência da
Computaçao Mecânica I Metodologia de Pesquisa Optativa
Educação Física I Educação Física II
C/H Sem 405 Créd. Sem 22 Disciplinas O6 C/H Sem. 390 Créd. Sem. 20 Disciplinas 06 C/H Sem. 375 Créd. Sem. 20 Disciplinas 05 C/H Sem. 360 Créd. Sem. 19 Disciplinas 05 C/H Sem. 375 Créd. Sem. 20 Disciplinas 05 C/H Sem. 375 Créd. Sem. 21 Disciplinas 05 C/H Sem. 330 Créd. Sem. 18 Disciplinas 05 C/H Sem. 108 Créd. Sem. 09 Disciplinas 03
Tableau 1 : Organigramme de cours des différentes disciplines pour la formation en Mathématiques
« spécialité » « Bacharelado »
Universidade Estadual De Santa Cruz – UESC
Departamento De Ciências Exatas E Tecnológia – DCET Curso de Matemática : Habilitação Licenciatura FLUXOGRAMA Duração do curso : Mínima = 4 anos Máxima = 7 anos
I SEMESTRE II SEMESTRE III SEMESTRE IV SEMESTRE V SEMESTRE VI SEMESTRE VII SEMESTRE VIII SEMESTRE Fund. Matem.
Elementar I Cálculo I Cálculo II Cálculo III Cálculo IV Análise Real I Analíticas IFunções Optativa
Fund. Matem.
Elementar II Geometria Analítica Álgebra Linear I Álgebra Linear II Fund. Matem. Elementar III Fund. Matem. Elementar IV Met. Do Ensino da Matemática Optativa Física I Física II Física III Física IV Cálculo
Numérico Estatística III Educação e Sociedade Optativa
Desenho
Geométrico Filosofia da Ciência Álgebra I Álgebra II Est. Func. Ens. 1º e 2º Graus Didática Prát. Do Ensino Matemática I Prát. Do Ensino Matemática II
Português
Instrumental Lógica Geometria Descritiva Int. A Ciência da Computaçao Psicologia da Educação V Psicologia da Educação VI Metodologia da
Pesquisa Instrumental Inglês
Educação Física I Educação Física II
C/H Sem 405 Créd. Sem 22 Disciplinas O6 C/H Sem. 390 Créd. Sem. 20 Disciplinas 06 C/H Sem. 375 Créd. Sem. 20 Disciplinas 05 C/H Sem. 360 Créd. Sem. 19 Disciplinas 05 C/H Sem. 375 Créd. Sem. 21 Disciplinas 06 C/H Sem. 390 Créd. Sem. 22 Disciplinas 06 C/H Sem. 345 Créd. Sem. 14 Disciplinas 04 C/H Sem. 330 Créd. Sem. 13 Disciplinas 04
Tableau 2 : Organigramme de cours des différentes disciplines pour la formation en Mathématiques
« spécialité » « Licenciatura »
Comme le montre les tableaux 01 et 02, les étudiants qui entrent dans cette institution pour la
Analyse institutionnelle Analyse des programmes
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formation en mathématiques, ont deux options qui déterminent une « spécialité ». Ces options ont une particularité remarquable : les deux premières années universitaires sont communes dans les deux « spécialités ». Les étudiants ont donc le même rapport aux « objets de savoir » existant dans l’institution pour ces premières années. A la rentrée de la troisième année chacun doit faire un choix de « spécialité » : « Bacharelado » ou « Licenciatura ». Ainsi les programmes soulignent23 :
• La spécialité « Bacherelado » en Mathématiques envisage la préparation du professionnel capable de concevoir les Mathématiques comme domaine scientifique et qui a l’ambition de poursuivre les études au niveau de Master et Doctorat en Mathématiques ou autres domaines. Pouvant devenir Professeur des universités, chercheur ou enseignant chercheur.
• La spécialité « Licenciatura « en Mathématiques envisage la préparation du professionnel destiné à l’enseignement de mathématiques au niveau secondaire et collégial. Pouvant poursuivre les études au niveau de Master et Doctorat en Mathématiques, Education Mathématiques ou autres domaines en lui permettant d’agir comme Professeur des universités, chercheur ou enseignant chercheur.
Dans les deux spécialités les IM apparaissent comme des objets indispensables pour la formation des étudiants. Leur enseignement prend la suite de celui des fonctions de plusieurs variables.
Dans le cours intitulé Cálculo II (cf. tableaux ci-dessus) apparaissent les premières techniques d’intégration, à travers les « intégrales des fonctions d’une variable » ou « intégrales simples » (IS). Certaines de ces techniques concernent des tâches de calculs : d’aires de surfaces planes ; de volumes des solides de révolution ; de volumes par des anneaux cylindriques et de volumes par des sections transversales. Puis, l’enseignement des IM est introduit comme prolongement des IS. Ces dernières nourrissent ainsi les objets avec lesquels interagissent les IM, du fait de la place importante accordée dans l’organisation mathématique à la notion de sommes de Riemann.
Remarquons également que la géométrie analytique (IIème semestre) et la géométrie descriptive (IIIème semestre) interagissent avec les IM, du fait des places importantes occupées dans les programmes par les opérations sur les fonctions et les tracés des dessins. Par ailleurs, la vie des IM est renforcée par la présence des sections24 intégrales doubles, aire et volume, intégrales doubles en coordonnées polaires, aire de surfaces, intégrales triples, moment d’inertie et centre de masse, coordonnées cylindriques et sphériques, changement de variables et calcul vectoriel. Cette dernière est à son tour découpée en sous-sections : champs vectoriels, intégrales curvilignes, indépendance de chemins, théorème de Green, théorème de Gauss et de Stokes faisant partie des contenus de l’enseignement des Intégrales Multiples. L’enseignement des IM trouve une place toute naturelle dans l’enseignement de l’analyse. Après l’étude des fonctions d’une variable et le calcul différentiel et intégral, arrive l’étude
23 • A Habilitação Bacharelado em Matemática – visa preparar o profissional que pretende dedicar-se ao estudo
da Matemática como ciência, ambiciona obter o grau de Mestre e/ou Doutorado em Matemática ou áreas a fins. Pode atuar como professor universitário, pesquisador, consultor técnico e em outras áreas afins. • A Habilitação Licenciatura em Matemática – Visa preparar o profissional que pretende dedicar-se ao ensino
de Matemática em nível de Ensino Fundamental e Médio. Podendo prosseguir seus estudos em nível de Pós- graduação (Mestrado e Doutorado) em Matemática, Educação Matemática ou área a fins.
24 Voir les détails partie B.3 : Organisation praxéologique des IM.
Analyse institutionnelle Analyse des programmes
49
des fonctions de plusieurs variables avec le calcul différentiel et bien sûr le calcul intégral. Ainsi on peut dire que la première niche des IM est la niche de l’analyse qui est ici une niche
structurelle dans le sens où les IM viennent compléter un programme d’étude dont elles
renforcent la cohérence, selon un schéma en deux parties (fonctions d’une, puis de plusieurs variables réelles) et trois temps (définition, calcul différentiel, calcul intégral).
Par ailleurs, les Intégrales Multiples servent à calculer des aires des surfaces et des volumes des solides, dans ce contexte, elles s’outillent, via les graphiques, des modes de représentation et de raisonnement géométriques pour occuper une niche géométrique qui est ici une niche
interprétative.
Enfin, les Intégrales Multiples servent à calculer des moments d’inertie, des masses et plusieurs notions issues de la physique. On trouve ici des applications des IM révélant ce, que l’on appellera la niche « physique » qui est ici une niche applicative.
Comme nous l’avons dit, les contenus des programmes des IM sont étroitement liés à l’étude des fonctions de plusieurs variables réelles (Cálculo III) qui est un habitat pour les représentations graphiques dans l’espace. Cependant, la place occupée par les fonctions de plusieurs variables dans le « Cálculo IV » révèle des fonctionnalités distinctes par rapport à la représentation graphique dans l’espace dans l’enseignement de « Cálculo III ». Dans ce dernier, en effet, les fonctions de plusieurs variables sont étudiées d’une façon isolée en examinant une seule fonction dans chaque tâche. Alors que dans la plupart des situations de résolution de problèmes et d’exercices d’application de « Cálculo IV » une fonction interagit avec d’autres fonctions pour former un solide. De fait, la représentation graphique dans l’espace prend un autre statut dans l’étude des IM par rapport à l’enseignement précédent. En outre, on voit dans les programmes que le « CDI » n’est pas le seul habitat des IM dans cette institution. Elles vivent également dans diverses disciplines de la formation en Mathématique, notamment le «Cálculo Numérico» «Funções Analíticas» «Análise Real II» «Cálculo Avançado» «Física IV».
Par ailleurs, les programmes de Mathématiques mis en place depuis 1999 dans cette institution (UESC) mettent en évidence l’objectif suivant :
• Attirer l’attention de l’étudiant sur la nécessité de l’utilisation des outils informatiques.
On reconnaît ici une tentative de répondre aux initiatives concernant l’intégration des outils informatiques dans l’enseignement supérieur (cités dans les PCN – Paramètres Curriculum Nationaux). Dans ce contexte, il importe de voir ce que l’utilisation des outils informatiques pourra apporter comme changements significatifs dans l’enseignement et l’apprentissage des Mathématiques en général et en particulier aux calculs des IM. Comment une telle attention est-elle mise en scène par les enseignants ? Comment l’injonction « attirer l’attention de l’étudiant » peut-elle être (et est-elle) interprétée ?
L’analyse du programme montre plusieurs passages touchant à l’utilisation des nouvelles technologies dans l’enseignement, pour leur introduction dans les programmes spécifiques de Mathématiques. Ainsi dans la partie intitulée « Perfil do licenciado em matemática » on peut
Analyse institutionnelle Analyse des programmes
50 lire :
Des compétences et habilités du caractère général du professeur de mathématiques sont les suivantes : • capacité à s’exprimer, clairement et avec précision, par écrit et oralement ;
• capacité à travailler en équipes multidisciplinaires ;
• capacité à comprendre, critiquer et utiliser des idées et technologies nouvelles pour la résolution de problèmes ;
• etc.
Ces compétences correspondent bien aux initiatives du système de l’Education Nationale brésilien d’après le texte officiel de LDB « Loi Directrices et Bases de l’éducation » pour tous les niveaux d’enseignement, publié depuis quelques années.
Mais, en regardant par exemple de plus près les « Fluxogramas » rien n’indique la place de l’enseignement de ces nouvelles technologies. Cependant certains enseignants les utilisent de façon informelle. Donc les initiatives prises au Brésil pour l’usage des nouvelles technologies dans l’enseignement restent isolées et au stade de l’innovation. Elles ne sont pas généralisées pour tous les étudiants des IES, en particulier dans l’enseignement des IM, limitant ainsi les possibilités d’expansion des recherches dans ce domaine.