Comme l’énonce le préambule, ce chapitre se propose de donner des procédés pratiques de calcul des Intégrales Multiples dans différents contextes.
Les auteurs commencent par l’étude du cas général d’une fonction des deux variables intégrable sur un produit de pavé.
D’abord, les auteurs présentent et démontrent de façon très rigoureuse le théorème (V.1.1) suivant comme la version élémentaire d’un résultat plus général, relatif à l’intégrale de Lebesgue, et appelé théorème de Fubini.
Soit P un pavé de Rp, Q un pavé de Rq, et
f : (x,y) 6 f (x,y)
une fonction intégrable sur P x Q, telle que l’ensemble des x∈P pour lesquels la fonction fx : y 6 f (x,y) n’est pas intégrable dans Q, soit R-négligeable dans P.
Alors la fonction : ( , )
Q
F x ∫ f x y dy est intégrable sur P, et on a : (1) P Q× f =PF x dx( ) = PQf x y dy dx( , )
∫ ∫ ∫ ∫
Pour simplifier la notation les auteurs présentent un cas particulier qui précise le théorème ci- dessus. De plus, en prenant en compte la possibilité d’échanger les rôles de variables x, y, ils présentent, sans risque de confusion, le résultat (1) de la façon suivante :
( , )
P Q× f = P Q× f x y dxdy
∫
∫∫
Une extension du théorème précédent est présentée dans ce livre par le paragraphe suivant comme intégrales superposées.
20 Les sommes S ( , )σ f
+ etS−( , )σ f sont appelées les sommes de Darboux.
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Par recouvrance, l’intégrale d’une fonction intégrable sur le produit de n pavés se ramène à n intégrales superposées.
Soit f : (x1, x2, …, xn) 6 f (x1, x2, …, xn) une fonction intégrable sur le pavé P de Rn défini par
ai≤xi≤ bi (i=1, 2, …, n). On a alors : (6) 1 2 1 2 1 2 1 ... n ( ,..., ) ... n b b b n n Pf a a a f x x dx dx dx = ∫ ∫ ∫ ∫
pourvu que les intégrales figurant dans (6) aient un sens ; soit, en d’autre termes : pourvu que les fonctions intermédiaires figurant dans cette formule soient intégrables.
Le formule (6) peut n’est pas être valable si certaines des intégrales qu’il contient sont des intégrales généralisées semi-convergentes. On trouvera également une version simplifiée du second membre de la formule (6) sous la forme ci-dessous, éliminant les parenthèses superposées: 1 2 1 1 2 2 1 ... n ( ,..., ) n b b b n n a dx a dx a f x x dx
∫
∫
∫
En vue des applications pratiques, ce livre présente 7 versions de notations d’intégrales et souligne les cas particuliers relatifs aux ensembles quarrables de Rn pour n=2 et n=3 :
Soit f : (x1, x2, …, xn) 6 f (x1, x2, …, xn) une fonction intégrable sur un ensemble A de Rn. Il est
commode de noter son intégrale sur A par
1 1 ( ,..., n) ... n Af x x dx dx ∫ au lieu de ( ) Af x dx ∫
Si n = 2 [resp. n = 3] cette intégrale est aussi notée
( , ) . ( , , )
Af x y dxdy resp Af x y z dxdydz
∫∫ ∫∫∫
Avec ces notations la formule (6) s’écrit (6’) ∫Pf x( ,...,1 x dx dxn) 1... n= 1 2 1 1 2 2 1 ... n ( ,..., ) n b b b n n a dx a dx a f x x dx ∫ ∫ ∫
La valeur commune des deux membres de (6’) sera souvent notée aussi
1 2 1 2 1 1 ... n ( ,..., ) ... n b b b n n a a a f x x dx dx ∫ ∫ ∫
Le paragraphe qui suit ces références présente un théorème d’intégrabilité sur une partie
quarrable de Rn et puis un corollaire. La démonstration mise en place s’appuie sur la notion de projection et sur une représentation graphique, pour le cas où n=2.
Intégrales doubles
Le calcul des intégrales doubles (§ V.3), est présenté comme un cas particulier du théorème (V.1.1) selon la technique suivante que l’on appellera Idτ1 :
Soit f : (x,y) 6 f (x,y) une fonction intégrable sur le pavé P de R2 défini par les inégalités a≤x≤b,
c≤y≤d. Si, pour chaque x∈[a, b], la fonction fx : y 6 f (x,y) est intégrable sur [c, d], alors la
fonction F x: ∫cdf x y dy( , ) est intégrable sur [a, b], et on a :
( , ) b ( )
Pf x y dxdy= aF x dx
∫∫ ∫
On peut alors trouver à partir des exemples mis en place, un type de tâches IdT1 des
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intégrales doubles concernant un genre de tâches « calculer une Intégrale Multiple », à savoir :
IdT1 : Etant donné un pavé P de R2 et une fonction à intégrer,
calculer l’intégrale double.
Ce type de tâches se résoud selon la technologie Idτ1. A noter que dans ce type de tâches le domaine d’intégration et la fonction à intégrer sont fournis. La tâche de l’étudiant consiste en l’exécution de calculs que l’on peut décomposer ainsi : le choix de l’ordre d’intégration, le calcul des primitives et le calcul numérique. Le premier temps peut cependant ne pas intervenir dans la tâche de l’étudiant. C’est le cas où IdT1 comporte l’écriture algébrique du calcul de l’intégrale préalablement établie.
Ce livre présente une deuxième technique Idτ2 permettant d’accomplir le type de tâches IdT2 suivant :
IdT2 : Etant donné un compact K de R2 et une fonction à intégrer, calculer l’intégrale double.
Idτ2 est représentée par l’écriture algébrique 2
1 ( ) ( ) ( , ) b x ( , ) K f x y dxdy a x f x y dy dx ϕ ϕ = ∫ ∫ ∫ où ϕ1 et ϕ2 sont
deux fonctions numériques continue sur [a, b] et f une fonction vectorielle continue sur un compact du plan K. Les auteurs illustrent cette technique Idτ2 par une représentation graphique 2D. Les graphiques sont donc présents, mais de façon assez réduite.
La possibilité de changement de rôle des variables x, y permet la construction d’une technique
Idτ2’ pour accomplir le même type de tâche IdT2. Cette technique (conséquence du théorème
de Fubini) est présentée dans ce livre par l’écriture algébrique
2 ' 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) K d y c y f x y dxdy= ψψ f x y dx dy
∫ ∫ ∫ où ψ1 et ψ2 sont deux fonctions numériques continue sur
[c, d] et f une fonction vectorielle continue sur un compact du plan K’.
A noter qu’IdT1 et IdT2 sont deux types de tâches subtilement distincts. Les techniques associées ne sont pas tout à fait les mêmes. En effet, le théorème de Fubini est toujours valable dans IdT1 mais pas dans IdT2. Par exemple, il suffit de donner ϕ1=-x et ϕ2=4x-x2,
∀x∈[0, 5]. Dans ce cas l’application de la technique Idτ2’ suivante n’est pas directe. Elle passe par le découpage de K en sous régions compactes.
La technologie propre au calcul des intégrales doubles révèle donc deux techniques de référence Idτ1, Idτ2 et deux types de tâches IdT1 et IdT2. La notion de symétrie est ici signalée comme moyen pouvant simplifier le calcul d’une intégrale double. Les dessins ou les graphiques sont absents dans les exemples mis en place. Il semble qu’il n’y ait pas d’intérêt pour les auteurs de mettre en évidence un travail sur les interactions possibles entre les représentations graphique et analytique dans les deux types de tâches mise en place.
Intégrales triples
Comme pour les intégrales doubles, les intégrales triples sont présentées dans ce livre comme
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une application du théorème V.1.1 selon la règle suivante révélant une première technique
Itτ1 d’intégration triple. Il est également signalé que dans les cas plus généraux qui pourront se présenter, on cherchera à décomposer le domaine d’intégration en compacts rentrant dans cette règle :
Soit P un pavé de R3 défini par les inégalités a1≤x≤b1, a2≤y≤b2, a3≤z≤b3 ; soit Q la projection de P
sur le plan xOy, c’est-à-dire le pavé de R2 défini par a1≤x≤b1, a2≤y≤b2. Si f est une fonction
intégrable sur P, son intégrale sur P est égale à chacune des « intégrales superposées » suivantes : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) b b b b b b a a a a a a b b a Q a Q b b Q a Q a I dx dy f x y z dz f x y z dz dy dx I dz f x y z dxdy f x y z dxdy dz I dxdy f x y z dz f x y z dz dxdy = = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
pourvu que les intégrales qui y figurent existent.
Du point de vue pratique, la règle supra est présentée, pour convention, par les écritures suivantes, exprimant l’intégrale de f sur P :
Pf ∫ ou ( , , ) Pf x y z dxdydz ∫∫∫ ou 1 2 3 1 2 3 ( , , ) b b b a a a f x y z dxdydz ∫ ∫ ∫
On remarquera que ce sont les deux dernières écritures qui prédominent dans les applications pratiques mises en place, alors que ∫Pf reste sur le plan théorique. Un seul exemple suit cette définition. Pour permettre le calcul d’une intégrale triple d’une fonction définie sur un compact de Rn les auteurs présentent la technique Itτ2 suivante :
Soit K un compact de R3 défini par les relations : (1) (x,y)∈D, ϕ1(x,y) ≤ z ≤ ϕ2(x,y),
où D désigne un compact quarrable de R2, ϕ1, ϕ2 deux fonctions numériques continues sur D
vérifiant ϕ1 ≤ ϕ2 (voir fig. 6 ci-dessous). Alors K est quarrable ; et, si f est une fonction vectorielle
continue sur K, on a : (2) ( , , ) Kf x y z dxdydz ∫∫∫ = 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) x y D x y f x y z dz dxdy ϕ ϕ ∫∫ ∫
En particulier, le volume de K est égal à
[ 2( , ) 1( , )]
D
V=∫∫ ϕ x y −ϕ x y dxdy Ainsi, les auteurs soulignent :
On notera que K est la portion de cylindre, de base D et de génératrice parallèles à Oz, comprise entre les surfaces S1, S2
d’équations respectives z=ϕ1(x,y) et z=ϕ2(x,y). La formule (2)
permet de donner une idée intuitive de l’intégrale de f sur K : on découpe K en « petits cylindres » de génératrices parallèles à Oz (voir fig. 6) et on fait la somme des intégrales de f sur ces « petits cylindres ».
Cette interprétation géométrique et la technique Itτ2 sont accompagnées de la figure 6 ci- dessus comme éléments de référence dans le discours et la compréhension.
Nous pouvons dégager deux types de tâches ItT1 et ItT2 des intégrales triples concernant un genre de tâches « calculer » qui se résolvent par les deux techniques Itτ1 et Itτ2 :
ItT1 : Etant donné un pavé P de R3 et une fonction à intégrer,
calculer l’intégrale triple.
ItT2 : Etant donné un compact K de R3 et une fonction à intégrer, calculer l’intégrale triple.
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Comme pour le cas des intégrales doubles, les deux taches se différencient par le type du domaine d’intégration. A priori, le choix de l’ordre d’intégration et les calculs nécessaires pour accomplir les tâches sont plus complexes dans le deuxième type de tâches, que dans le premier. De plus, une représentation graphique de K pourra être essentielle.
On notera cependant que, comme dans le cas des intégrales doubles, les graphiques représentant P ou K sont absents dans les exemples mis en place. Même si elles apparaissent de façon assez réduite dans le texte de référence, il n’y a pas vraiment l’investissement dans ce type de connaissance pouvant, a priori, permettre un travail sur les interactions possibles entre les représentations graphique et analytique dans les deux types de tâches mis en place. Cependant, il y a une allusion de cet investissement dans certains exemples concernant l’application des IM dans le calcul des aires et de volumes. L’idée de projection d’un solide compact K de R3 sur un plan de repérage est présente (cf. figure 6, plus haut). Parmi ces solides, ce sont surtout ceux de révolution qui sont mis en évidence, tant dans le texte de référence, que dans les exemples. Les problèmes proposés aux étudiants sont systématiquement placés à la fin du livre.