Chapitre E : Expérimentations sans et avec Maple

De notre analyse institutionnelle, nous avons dégagé une tâche emblématique de l’institution concernant les IM. Emblématique par le fait d’être une tâche présente dans quasiment tous les manuels que nous avons étudiés. De plus, elle utilise des techniques ou méthodes possibles pour le traitement d’un grand nombre des types de tâches autour des IM, tant dans l’environnement papier/crayon qu’en utilisant l’environnement Maple. Le fait de s’intéresser à l’utilisation des nouvelles technologies dans l’enseignement des mathématiques dans son ensemble, et plus particulièrement les IM, conduit à s’interroger sur les techniques instrumentées (leur enseignement et leur apprentissage) au sein de l’institution. Ce chapitre se découpe en deux parties qui décrivent et analysent (a priori et a posteriori) l’ensemble de contraintes et de conditions de genèse instrumentale qui interviennent dans les pratiques des

Plan d’étude

34 étudiants devant utiliser ou pas le logiciel Maple.

5.4.1 Partie E1 : Analyse des pratiques des étudiants dans l’environnement papier/crayon

Dans cette partie nous présentons l’analyse a priori du problème de l’intersection de deux cylindres visant leur réalisation possible par des techniques habituelles de l’environnement papier/crayon. Pour mettre en évidance le rapport institutionnel aux IM, nous analysons postérieurement comment les étudiants résolvent cette tâche de calcul de volume en utilisant une intégrale multiple dont la sous-tâche importante consiste à obtenir une représentation analytique ad hoc pour le traitement du problème. Quel degré de difficultés ou de facilités de mise en œuvre effective de l’écriture algébrique du calcul de l’intégrale rencontrent les étudiants ? Quelles techniques de résolutions choisissent-ils ?

5.4.2 Partie E2 : Analyse des pratiques des étudiants dans l’environnement informatique Maple

Dans cette partie nous présentons l’analyse a priori, du même problème, étudié dans la partie E1. Elle fournit un découpage permettant la construction de la séquence didactique proposée aux étudiants, et met en évidence les genèses instrumentales qui peuvent se construire selon les techniques de résolution, les stratégies observables, la réduction des faits à observer lors de l’expérimentation et la généralisation du problème. Comme dans la partie précédente, les buts visés ici sont de voir comment les étudiants vont résoudre cette tâche de calcul de volume en utilisant une intégrale multiple dont les sous-tâches importantes consistent à obtenir des représentations, graphique et analytique, adéquates du solide en jeu, en utilisant le logiciel Maple, et dans quelle mesure Maple peut fournir des rétroactions efficaces aux étudiants. Quel degré de difficulté ou facilité de mise en œuvre effective pour un étudiant dans l’utilisation du ce logiciel ? Quelles techniques de résolution pour les étudiants ? Comment les deux types de représentations graphique et analytique se coordonnent dans les pratiques des étudiants lors du calcul de l’intégrale ? Se servent-ils des deux représentations ? Si oui, comment ? Si non, pourquoi ?

Les analyses des protocoles que nous présentons, tant dans cette partie, que dans celle qui précède ont pour objectif principal de dégager, respectivement, les techniques de l’environnement papier/crayon et les techniques instrumentées mise en œuvre par les étudiants. La confrontation des deux analyses (E1 et E2) nous permet de comparer les deux types d’enseignement en mettant l’accent sur les difficultés et les facilités pour l’apprentissage des étudiants dans cet enseignement.

C

HAPITRE

ANALYSE INSTITUTIONNELLE

Analyse institutionnelle Analyse des programmes

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CHAPITRE B

ANALYSE INSTITUTIONNELLE

L’analyse institutionnelle permet d’identifier les conditions et les contraintes qui déterminent dans l’institution l’organisation mathématique de l’objet d’enseignement. Elle passe par l’étude des pratiques relatives à cet objet qui émergent dans l’institution.

L’analyse d’un programme, produit de la noosphère, permet d’identifier le contour du rapport institutionnel à l’objet de savoir à enseigner. Lorsqu’un enseignant construit le texte du savoir, une des références premières est constituée par les programmes régissant l’institution dans laquelle s’inscrit son projet d’enseignement, même si les assujettissements à d’autres institutions jouent de façon plus ou moins souterraine dans l’élaboration de son travail. Les programmes mettent en évidence ce que l’enseignant est tenu de faire selon les choix fait par l’institution.

Une analyse écologique du « texte de savoir » est essentielle, elle se fait à travers les manuels et œuvres de référence. Elle permet de poser des questions sur la place de l’objet de savoir à enseigner, afin de mettre en évidence leurs habitats et leurs niches écologiques. Dans notre travail, l’objet de savoir est les Intégrales Multiples (IM) et nous l’étudierons essentiellement dans les deux institutions d’enseignement supérieures, une université brésilienne (UESC) et les classes préparatoires aux grandes écoles françaises (CPGE).

En nous appuyant sur l’approche écologique, développée par Chevallard (1994), on peut se demander par exemple : quels sont les habitats ou les différents lieux de vie pour les IM ? Quelles sont dans ces habitats les niches occupées par les IM ? Quels sont les types de tâches institutionnalisés ?

Pour mener cette analyse institutionnelle nous cherchons à disposer d’une organisation de référence, intermédiaire entre le savoir savant et le savoir enseigné, sur les Intégrales Multiples et leurs rapports avec la question du calcul des aires et des volumes.

Nous trouvons une telle organisation dans le livre :

Equations différentielles, Intégrales Multiples de J. Lelong-Ferrand et J.M. Arnaudiès : Cours de mathématiques, Tome 4, 2e édition. Bordas, Paris, 1977.

Ce livre qui date de la fin des années soixante-dix, en plein essor de la réforme des mathématiques modernes, était destiné en France tout à la fois aux étudiants des classes préparatoires et à ceux des universités. Les exigences portées dans ce contexte pour ce double public font que ce livre peut être considéré comme un manuel de référence pour un savoir par ailleurs peu présent dans les enseignements de mathématiques. Dans l’avant-propos du tome 4, les auteurs annoncent :

La théorie des IM proprement dite ne figure pas explicitement au programme des Classes

Analyse institutionnelle Analyse des programmes

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Préparatoires, et le calcul de ces intégrales y est envisagé d’un point de vue essentiellement pratique. Mais on ne peut pas calculer une intégrale sans savoir ce qu’elle représente, et sans savoir quels sont les ensembles que l’on peut négliger dans ce calcul. Aussi avons-nous d’abord donné un bref exposé de la théorie de l’intégrale de Riemann en insistant surtout sur les notions de mesure et d’ensemble négligeable.

Il va sans dire que l’enseignement que nous observerons dans la suite (que ce soit en France dans les classes préparatoires technologiques et encore plus au Brésil) se place à un niveau mathématique beaucoup plus modeste sur le plan théorique et vise essentiellement à outiller des techniques « pratiques » pour un ensemble de tâches relativement restreint. L’objet de l’analyse de ce manuel de référence est d’offrir un cadre épistémologique à l’analyse institutionnelle en montrant qu’il existe au niveau du savoir savant d’autres approches des Intégrales Multiples.

PARTIE B1

ANALYSE D’UN MANUEL DE REFERENCE

Les contenus portant sur les Intégrales Multiples s’organisent en deux chapitres :

• Intégrales Multiples - Définitions - Propriétés générales (Chapitre IV) • Calcul des Intégrales Multiples (Chapitre V)

Le point de vue des auteurs consiste à donner une construction rigoureuse de la notion des Intégrales Multiples, qu’ils lient à celle de mesure, qui se construit conjointement (c’est l’objet essentiel du premier chapitre). Le deuxième chapitre permet à partir de cet appui théorique de déduire des théorèmes visant à outiller des techniques de calcul des Intégrales Multiples et à présenter des exemples concrets de calculs des Intégrales Multiples dans divers contextes. Mais ces exemples jouent ici essentiellement un rôle générique. Ainsi, même si la visée de ce second chapitre est plus appliquée, il reste essentiellement théorique.