Comme nous l’avons déjà mentionné dans l’introduction, notre recherche porte sur l’enseignement et l’apprentissage des Intégrales Multiples dans l’enseignement supérieur, et plus particulièrement à leur utilisation pour le calcul de volume. Dans ce contexte, nous portons une attention particulière aux interactions possibles entre la représentation analytique et la représentation graphique des solides dans une tâche de calcul de volume par des Intégrales Multiples (éventuellement en utilisant le logiciel Maple). Pour réaliser cette étude et nos observations, nous nous plaçons dans l’institution des classes préparatoires technologiques aux grandes (CPGE) en France.
Nous étudierons dans cette institution « l’objet de savoir » Intégrales Multiples dans sa fonction sur les calculs de volumes. Comme nous l’avons vu précédemment, les tâches proposées aux étudiants, les techniques disponibles pour les résoudre et leurs justifications technologico-théoriques dépendent d’un ensemble de données relatives à l’institution dans laquelle l’enseignement prend place. De plus, analyser l’écologie d’un objet mathématique dans une institution, comprendre sa signification pour cette institution, c’est identifier l’organisation mathématique qui met cet objet en jeu. Ainsi, nous nous proposons d’étudier, dans le cadre de la TAD, l’organisation mathématique relative aux IM. Cette étude devrait nous permettre de répondre à une première question de recherche :
Q1. Quelle est l’organisation mathématique relative au calcul des IM dans les institutions
d’enseignement supérieur brésiliennes et dans les classes prépas technologiques en France ?
Les notions d’organisation praxéologique et de rapport institutionnel offrent, à partir d’une étude écologique des programmes et des manuels, les outils pour rechercher les réponses à ce type de questions. Cette question doit être complétée par d’autres questions plus en rapport avec les environnements informatiques (et plus spécifiquement le logiciel Maple). En effet, les programmes de cette institution introduisent l’utilisation des environnements informatiques contemporains dans l’enseignement et en particulier le logiciel Maple. Ce logiciel est reconnu institutionnellement, il fait partie de l’enseignement (en informatique, en mathématiques et en physique…). Il émerge dans cette institution les techniques d’utilisation de nouveaux outils (avec Maple). Or, comme le souligne Lagrange (2000, p.41) « pour que les techniques [instrumentées] prennent du sens, il faudrait construire les praxéologies dans lesquelles ces techniques pourraient s’insérer et prendre une signification mathématique ». Prendre en compte le rôle de l’environnement informatique, notamment Maple, dans l’institution, soulève les questions suivantes :
Q2. Quel est le rapport institutionnel à l’instrument Maple dans ces institutions ? Quelles
sont les pratiques qui émergent de ces institutions sur les IM en rapport avec Maple ? Quelles contraintes ces institutions imposent-elles, quelles conditions offrent-elles à l’enseignement du calcul des IM avec Maple ?
Nous allons ainsi regarder le rapport institutionnel à l’instrument – Maple – (en nous appuyant sur les textes officiels : les programmes et les manuels). Cette étude nous permettra
Questions de recherche
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de voir en quoi l’organisation mathématique sur les IM intègre l’aspect instrumental du logiciel Maple (en sachant qu’il existe le rapport institutionnel à l’instrument « Maple »), et en quoi cela modifie l’organisation mathématique autour des IM.
Une troisième question, qui nous intéresse et qui est plus au moins directement liée aux deux premières, fait plus particulièrement référence à la notion de registre de représentation sémiotique. Comme nous l’avons souligné auparavant, nous faisons appel à cette approche car, en faisant le calcul des volumes, on travaille sur les solides. Ces derniers sont représentables par plusieurs registres, en particuliers les registres graphique et analytique. Du point de vue mathématique, on met bien en évidence que les deux registres vont interagir dans les pratiques institutionnelles sur les calculs des volumes. Ainsi, nous voulons, précisément savoir :
Q3. Comment les représentations analytiques et graphiques des solides sont-elles présentées
dans l’organisation mathématique dégagée plus haut ? Comment interagissent les deux types de représentation dans les pratiques de calcul de volumes par des Intégrales
Multiples ?
L’analyse d’outils du logiciel Maple nous permettra de mieux comprendre comment ces outils peuvent contribuer à l’étude des interactions possibles entre les représentations graphique et analytique des solides dans une tâche du calcul de volume. Nous tenterons de nous appuyer sur les trois cadres dont, les aspects ostensifs et non-ostensifs des objets mathématiques, leurs sémiologies, ainsi que les aspects instrumentaux autour de ces objets jouant des rôles importants. Cette étude nous permettra, également, d’identifier les potentialités, les contraintes sur les actions et les transformations voulues par l’utilisateur de Maple sur les objets mathématiques, ainsi que l’organisation des objets qui conduisent au calcul de volume par des IM. Pour mener l’analyse de ces contraintes, nous prendrons en compte la typologie considérée par Trouche (2000), que nous avons présentée plus haut. Les questions suivantes se posent dans le cadre de l’approche cognitive des instruments :
Q4. Quels sont les outils disponibles dans l’environnement informatique Maple concernant : (a) la géométrie analytique dans l’espace (GAE)17 ?
(b) le calcul des Intégrales Multiples ?
(c) les interactions entre (a) et (b) ?
Q5. Comment à travers l’utilisation de ces outils, sont modifiées les techniques de résolution
de certaines tâches ?
Q6. Comment les étudiants s’approprient ces outils dans une tâche de calcul de volume par
des Intégrales Multiples ?
En nous appuyant aussi sur le travail de Lagrange (2000), nous allons, au fur et à mesure, étudier le rapport entre les objets manipulés par Maple et les objets ostensifs et non-ostensifs des pratiques mathématiques sur la GAE et les IM. La co-existence des trois approches, dans notre travail, nous donne des outils pour rechercher les réponses à toutes ces questions. Nous allons maintenant présenter le plan d’étude que nous avons suivi pour répondre à ces ensembles de questions.
17 A la fois sur la représentation analytique et graphique – soit par des fonctions de deux variables, soit par des
équations paramétriques.
Plan d’étude
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