Section 17.2 : Aire et volume

Cette section s’intitule Aire et volume et comporte 2 définitions, 2 théorèmes, 4 exemples et 34 exercices regroupés en 8 paquets. Elle commence par un rappel du résultat du calcul de volume sous le graphique d’une fonction f continue et positive sur une région de type Rx de

xOy établi dans la section 17.1 et donné par 2

1 ( ) ( ) ( ) ( , ) b b g x a a g x

V =_∫ A x dx=_{∫ ∫} f x y dydx. Où A(x) est l’aire d’une section transversale représentative du solide considéré (cf. figure 17.9, section 17.1). Ensuite l’auteur montre comment interpréter cette formule de V comme limite de sommes de Riemann (doubles). Ainsi, en s’appuyant sur la figure 17.15, il met en évidence que l’intégrale simple de A(x) ci-dessus s’exprime comme limite des sommes de Riemann :

' ₀ ( ) lim ( ) b k k a _d k V A x dx A u x →

=_∫ = _∑ ∆ où d’ est découpage de l’intervalle [a, b]. Alors pour chaque uk∈[a,b] il établit que A(uk)= _"

0 lim ( ,_{k k}) _k. d j f x y y → ∑ ∆ Où d » _{est un découpage}

de l’intervalle [g1(x), g2(x)]. Enfin, il peut énoncer la définition suivante : Volume comme une limite de

double sommes (17.9) 2 1 ( ) ( ) 0 lim ( , )_{k k j k a g x}b g x ( , ) d _{k j} V f u v y x f x y dydx → = ∑ ∑ ∆ ∆ =∫ ∫

Ensuite l’auteur précise tout de suite que les aires de surfaces planes peuvent aussi être examinées comme limites de sommes. Pour voir cela, il considère f(,x,y)=1 dans la définition de l’intégrale itérée et commence par noter ∫∫R dA au lieu de ∫∫R 1dA. Ensuite, en prenant d’abord en compte une région de type Rx et en revenant au théorème 17.8(1) il montre que l’intégrale double apparaît aussi comme limite de doubles sommes tout comme pour les volumes. En effet, le résultat qui revient de (17.9) quand f(,x,y)=1 est ainsi énoncé.

Aire comme une limite de double sommes (17.10) 2 1 ( ) ( ) lim₀ b g x j k R a g x _d k j A dA dydx y x → =∫∫ =∫ ∫ = ∑ ∑∆ ∆

Cette définition est suivie par une démarche à suivre qui a pour but de guider l’étudiant dans l’utilisation de la formule ci-dessus. Ainsi l’auteur précise : comme pour les fonctions d’une variable (voir la marche à suivre (6.3), nous pouvons nous servir de la méthode intuitive suivante pour nous rappeler la formule 17.10).

65 Méthode pour le calcul d’aire d’ un e ré gi on Rx p ar in tégrale doub le ( 17 .1 1)

1. Dessiner la région comme dans la figure 17.18 (I) et y mettre en évidence un élément

d’aire représentatif de dimension dx et dy. 2. Tenant x fixé, considérer 2

1

( ) ( ) comme

g x g x

∫ un opérateur qui somme les éléments d’aire dxdy dans la direction de l’axe des y depuis la frontière inférieure jusqu’à la frontière supérieure. L’expression 2 1 ( ) ( ) g x g x dy dx    

∫  représente l’aire du rectangle vertical de la figure

17.18 (II). 3. Appliquer l’opérateur bà a ∫ 2 1 ( ) ( ) g x g x dy dx    

∫  prenant ainsi la limite des sommes des aires des

rectangles verticaux de l’instruction 2 depuis x = a jusqu’à x = b. Un exemple (01) suit cette méthode mettant

en évidence le calcul d’aire d’une région A du plan xOy délimitée par les graphiques de deux équations. Par la suite, il introduit la deuxième démarche à suivre analogue à (17.11) pour le calcul d’aire d’une région du type Ry par une intégrale double (17.12)

et précise tout de suite que cette deuxième démarche conduit à intégrer d’abord par rapport à x et puis par rapport à y. Un exemple (02) est aussi mis en place pour la faire fonctionner et est accompagné de deux dessins.

On trouve ensuite deux exemples (03 et 04) de calcul de volume utilisant (17.9) clôturant la partie cours. L’exemple 03 consiste à calculer le volume de la région qui, dans le huitième des coordonnées positive est délimitée par un paraboloïde et un plan d’équations données. L’exemple 04 consiste à calculer le volume du domaine commun aux deux cylindres circulaires d’équations données (qui ont comme l’axe Ox et Oz chacun). Comme pour le cas de calcul d’aires, l’auteur donne dès le début (des deux exemples) une représentation graphique des solides comme élément d’appui dans les traitements des tâches.

Notons que les définitions et les méthodes mises en place dans cette section permettent d’ancrer le discours théorique sur des bases intuitives relatives au calcul d’aires et de volumes par les sommes de Riemann (sommation d’aires de rectangles ou de volumes de parallélépipédiques). Le cours prend donc en charge l’esprit de recherche par rapport au problème de calcul de l’intégrale multiple. Il vise essentiellement à déboucher sur des méthodes et des « techniques » bien déterminées en fonction de l’entraînement des étudiants, notamment sur les sous-tâches qui vont organiser les tâches les plus complexes. On remarque également qu’ici le calcul d’intégrale est vraiment lié au calcul d’aires de surfaces planes et de volumes des solides, et s’outille souvent de modes de représentations graphiques (en 2D et 3D, respectivement) des expressions ou des fonctions de plusieurs variables occupant donc la

niche géométrique. Au niveau de l’apprentissage, l’étudiant travail surtout sur la lecture et la reproduction de dessins donnés préalablement dont-il ne dispose pas des techniques.

Viennent ensuite les exercices. Rappelons qu’ici ils sont au nombre de 34 regroupés en 8 paquets. Le premier paquet T1=T[t1, t4] correspond à la tâche : établir une intégrale double

dont la valeur soit celle de l’aire d’une région représentée graphiquement. Les régions

y y=g2 (x) dy dx y=g1 (x) a b x y y=g2 (x) y=g1 (x) a b x FIGURE 17.18 (I) FIGURE 17.18

(II)

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associées sont simples : trapèzes ou triangles délimités par des segments de droites dont les équations sont données sur le graphique, ainsi que les coordonnées des sommets. Ce sont donc des tâches des applications directes du cours. Ici l’étudiant travail donc sur la lecture et l’interprétation des dessins prédéterminés.

Le paquet T2=T[t5, t12] correspond à la tâche : tracer la région déterminée par les graphiques

des équations et en calculer l’aire par une ou plusieurs intégrales doubles. Notons qu’ici est explicitement demandée la production d’une représentation graphique de la région d’intégration en 2D. L’auteur insiste donc sur l’importance donnée au tracé des dessins qui apparaissent comme élément d’appui dans le traitement des tâches. Ce sont des tâches d’entraînement, qui sont quasiment des applications du cours. Saut qu’au niveau logos l’étudiant ne travail que sur la lecture et la reproduction de dessins. Ici il doit les produire. Le paquet T3=T[t13, t16] correspond à la tâche : établir une intégrale itérée qui permette de

calculer le volume du solide représenté graphiquement. On trouve ici un saut de 2D à 3D. Cependant, comme pour le cas des calculs d’aires des surfaces planes de type de tâche T1, ici aussi, la représentation graphique est donnée avec les équations des surfaces délimitant le solide en question. L’étudiant travail sur la lecture des solides, qu’a priori sont simples a lire. Il s’agit d’applications directes du cours en particulier de la définition 17.9 (écriture emblématique du calcul des volumes).

Le paquet T4=T[t17, t20] correspond à la tâche : à partir de la donnée d’une intégrale itérée

dont on dit qu’elle représente le volume d’une région coiffée par une surface S et reposant sur une région R du plan xOy, décrire S et tracer R. Ici la tâche consiste donc à interpréter une intégrale itérée comme un volume coiffé par une surface et à décrire la fonction représentative de S et le domaine d’intégration. Ce dernier doit être explicité graphiquement en 2D. Ceci renvoie donc implicitement l’étudiant à la tâche T1. Notons toutefois, que jusqu’ici l’auteur ne s’intéresse ni au calcul de l’aire ni au calcul du volume, mais plutôt à leurs représentations, soit graphiquement soit par l’écriture algébrique du calcul d’intégrale double.

Le paquet T5=T[t21, t22] correspond à la tâche : calculer le volume du solide délimité

supérieurement par le graphique d’une équation donnée et reposant sur la région polygonale du plan xOy dont les sommets sont donnés. Ici on demande explicitement le calcul du volume. La fonction à intégrer est également explicite. Le travail de l’étudiant est donc de caractériser la région polygonale du plan (à partir des sommets donnés) comme une région de type Rx ou

Ry et ensuite à partir de (17.9) ou (17.10) respectivement, d’établir le calcul. Notons que dans cette tâche T5 on ne demande pas explicitement à l’étudiant de tracer le domaine d’intégration. Mais cela pourra apparaître notamment par effet de contrat.

Le paquet T6=T[t23, t30] correspond à la tâche : dessiner le solide situé dans le premier octant

et délimité par les graphiques d’équations données et calculer son volume. Ici on demande explicitement la représentation graphique et le calcul du volume. Donc, l’étudiant est d’abord amené à dessiner le solide en question (la production du dessin en 3D) à partir des équations données. Cette production l’oblige à voir dans l’espace et développer des techniques lui- même afin de produire le solide. Soulignons qu’ici chaque tâche comporte au moins quatre

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expressions algébriques (relativement simples) représentant les surfaces qui interagissent dans l’espace en délimitant le solide. Notons le fait que les expressions données sont a priori, familières des étudiants, ce qui ne veut pas dire que forcement les tâches de typeT6 sont toutes simples. On remarquera que le niveau de la facilité de traitement de la tâche n’est pas forcement lié à la simplicité ou familiarité des équations des surfaces qui délimitent le solide. Le paquet T7=T[t31, t32] correspond à la tâche : calculer le volume du solide déterminé par les

graphiques des équations données. Cette tâche renvoie à T6, sauf qu’ici on ne demande pas forcement à l’étudiant de faire le dessin.

Le T8=T[t33, t34] est le dernier paquet de cette section. Il se réfère à (17.9) et correspond à la

tâche : calculer une valeur approchée du volume V=∫ ∫_{0 0}1 1/ 2 f(x,y)dydx pour la fonction f donnée, à l’aide de la double somme 4 2

1 1

k∑ ∑ f(u= =j k, vk)∆yj∆xk.

Ici ∆yj , ∆xk et les variations de j et k sont données. La technique est ici purement calculatoire et fait référence au début du cours. Les résultats sont donc difficilement accessibles par des techniques papier/crayon. En effet, l’auteur préconise l’usage d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel (présence du symbole C).