3. Analyse section après section
3.3 Section 17.3 : Intégrales doubles en coordonnées polaires
La section 17.3 s’intitule Intégrales doubles en coordonnées polaires et comporte 2 théorèmes, 1 formule, 5 exemples et 34 exercices regroupés en 6 paquets. L’enjeu mathématique est d’élargir l’ensemble des intégrales effectivement calculables en rendant possible par un changement de variables l’utilisation du théorème de Fubini.
Pour introduire les intégrales doubles en coordonnées polaires, l’auteur considère une région
R plane comprise entre deux arcs de cercles centrés, de rayons
r1 et r2, et deux rayons polaires. Région qu’il appelle élément
d’aire en coordonnées polaires (cf. figure 17.24). Ainsi l’auteur explique : Si ∆θ désigne la mesure en radians de l’angle intercepté par les deux rayons et si ∆r=r2-r1, l’aire ∆A de l’élément d’aire en coordonnées polaires est 22 12
2 2
r r
A θ θ
∆ = ∆ − ∆ .
Cette formule peut aussi s’écrire 2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) ( )( ) 2 2 A r r θ r r r r θ ∆ = − ∆ = + − ∆ ou ∆A= r ∆r∆θ si
le rayon moyen (r2+r1)/2 est noté r.
Ensuite l’auteur considère une région R plus générale (figure 17.25) délimitée par deux rayons qui font des angles positifs α et β avec l’axe polaire et par les graphiques des deux équations polaires r=g1(θ) et r=g2(θ) où il est supposé que g1(θ)≤g2(θ) pour α≤θ≤β.
Cette région est alors découpée par des rayons et des arcs circulaires (ce qui correspond à la figure 17.25 (II) que nous ne reproduisons pas ici) en constituant une découpe intérieure d de
FIGURE 17.24 FIGURE 17.25 ( I ) r=g1 (θ) r=g2 (θ) β α R
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R. Le pas d d’un tel découpage (la longueur de la plus longue des diagonales de Rk) est alors pris en compte. En choisissant un point (rk,θk) dans Rk tel que rk soit le rayon moyen, il énonce le résultat suivante (pour une région de type Rθ) :
Théorème du calcul d’une intégrale double en coordonnées polaires
(17.13) 2 1 ( ) ( ) 0 lim ( ,k k) k k R ( ,k k) gg ( , ) d k f r r f r dA f r rdrd β θ α θ θ θ θ θ θ → ∑ ∆ ∆ =∫∫ =∫ ∫
L’auteur rappelle que l’on démontre ce résultat (admis ici) dans l’hypothèse où f est une fonction continue des variables polaires r et θ. De plus, dans le cas où f(r,θ)=1 sur tout R, l’intégrale de (17.13) donne l’aire de R. Ce résultat découle aussi de la formule (13.11) explique l’auteur.
Deux exemples (01 et 02) suivent ce théorème. Dans le premier on calcule l’aire d’une région extérieure d’un cercle et intérieure de l’autre en utilisant une symétrie. Dans le deuxième on calcule l’aire d’une boucle d’une lemniscate. Ce sont donc deux exemples simples qui permettent de valider le résultat précédent. Ensuite, on trouve la formule (17.14) permettant la transformation d’une intégrale itérée en coordonnées cartésiennes en une intégrale double en coordonnées polaires. Pour cela, il faut d’abord remplacer dans la fonction sous le double signe d’intégration x par rcosθ et y par rsinθ et ensuite, dans l’intégrale itérée, dydx par rdrdθ ou rdθdr.
Formule de changement de variables
(17.14) ∫∫Rf x y dydx( , ) =∫∫Rf r( cos , sin )θ r θ rdrdθ
L’auteur précise tout de suite que le passage aux coordonnées polaires est particulièrement conseillé quand la fonction sous le double signe d’intégration contient l’expression x2+y2 et quand la région R implique des arcs des cercles centrés à l’origine, car x2+y2=r2 et l’équation des cercles est de la forme très simple r=k. On pourrait ajouter l’importance dans la prise de décision d’un changement de variables des propriétés géométriques du domaine d’intégration. On voit donc se dessiner un rôle supplémentaire de l’interprétation géométrique dans le calcul de l’intégrale.
Un exemple (03) suit cette formule, où l’écriture algébrique du calcul d’intégrale est donnée. C’est donc un exemple simple qui permet de « valider » la formule ci-dessus. Par la suite est introduit le théorème 17.15 (relatif au calcul d’intégrale sur une région polaire de type Rr) analogue à (17.13).
Théorème du calcul d’une intégrale double en coordonnées polaires
(17.15) 2 1 ( ) ( ) ( , ) b h r ( , ) Rf rθ dA= a h r f rθ rd drθ ∫∫ ∫ ∫
Un exemple (04), de calcul d’aire d’une région plane, suit ce théorème. Par la suite on trouve un rappel important relatif au calcul de volume, qui clôture ainsi la partie cours de la section 17.3. Ainsi l’auteur souligne :
Comme dans la section précédente, le volume V d’une région coiffée par le graphique d’une équation z=f(x,y) où f(x,y)≥0 et reposant sur une région R du plan xOy est donné par V=∫∫Rf(x, y)dA.
Dans certains cas, le passage aux coordonnées polaires facilite le calcul de cette intégrale.
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Un exemple (05) de calcul de volume suit cette consigne. Notons que jusqu’ici tous les exemples mis en place dans cette organisation, sont accompagnés d’un dessin sur lequel l’auteur s’appuie pour organiser les tâches. De plus, les représentations analytiques (des régions et des solides) concernées sont implicitement liées aux techniques d’intégration. En fait, ce terme (représentation analytique) n’est pas employé par l’auteur.
Viennent ensuite les exercices (non résolus proposés aux étudiants). Rappelons qu’ici ils sont au nombre de 34 regroupés en 6 paquets.
Le premier paquet T1=T[t1, t6] correspond à la tâche : établir l’intégrale itérée en
coordonnées polaires qui fournit l’aire de la région, en exploitant si possible les symétries. Comme pour le type T1 de la section précédente, ce paquet est aussi constitué de tâches de calcul d’aires où la région d’intégration est donnée graphiquement. Notons que, dans chaque dessin, les équations (polaires) des courbes délimitant les régions considérées sont explicitées. De plus, tous ces exemples permettent d’exploiter facilement des symétries, qui simplifient les calculs. A noter aussi qu’ici on ne demande pas forcement de calculer l’intégrale. C’est donc une tâche jouant sur l’interaction possible entre la représentation graphique et analytique.
Le paquet T2=T[t7, t12] correspond à la tâche : employer une intégrale double pour calculer
l’aire décrite par une équation en coordonnées polaires. Ici, il est demandé explicitement un calcul d’aire, et les équations des six tâches t concernées sont relativement simples. Le fait que le calcul soit à faire en coordonnées polaires est bien sûr induit par la question. Ce sont donc des exercices d’entraînement correspondant à une application directe du cours. Toutefois, la mise en place de l’écriture algébrique du calcul d’intégrale demande implicitement le tracé des graphes des équations polaires pour repérer les bornes d’intégration. Par exemple, comment arriver au résultat 4 3 cos 2
0 0 9 2 2 rdrd π θ θ = ∫ ∫ de t11 où l’aire en
question est décrite par une boucle de r2=9cos2θ ? Pour utiliser le théorème 17.13 il est d’abord nécessaire de savoir ce que veut dire « boucle de r2=9cos2θ » pour dégager une représentation analytique du domaine d’intégration. Cette tâche se ramène donc à des sous- tâches de type T1 et à la section 13.3 (coordonnées polaires) et c’est à l’étudiant de le reconnaître.
Le paquet T3=T[t13, t24] correspond à la tâche : calculer l’intégrale par passage aux
coordonnées polaires. En fait, cette tâche est décomposable en deux sous-paquets T3[a] et T3[b]. Dans les deux, toutes les fonctions concernées sous le double signe d’intégration contiennent l’expression x2+y2. La tâche de l’étudiant dans le premier sous-paquet T3[a]=T[t13, t18] est donc l’emploi direct des méthodes données dans les cours. Toutefois, l’étudiant doit trouver des bornes d’intégration avant de procéder aux calculs. Alors que pour T3[b]=T[t19, t24] les représentations analytiques sont directement données. En effet, les écritures algébriques du calcul d’intégrale sont établies. La seule tâche de l’étudiant est de procéder au calcul d’une intégrale itérée déjà organisée.
Le paquet T4=T[t24, t30] correspond à la tâche : grâce aux coordonnées polaires, calculer le
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volume du solide qui a la forme de Q. Différemment de T3 où l’écriture algébrique du calcul
d’intégrale est donnée, ici cette sous-tâche est demandée à l’étudiant. Notons que les solides Q en question sont des régions de l’espace déterminées par (au moins) deux surfaces d’équations données. Les tracés des dessins ne sont pas demandés explicitement. Mais, il est probable que les étudiants les fassent (effet de contrat). La consigne de la tâche est claire et invite l’étudiant à s’outiller du travail mené au niveau logos.
Le paquet T5=T[t31, t32] correspond à deux tâches qui s’intéressent au calcul d’intégrale
double impropre (ou généralisée) où les résultats sont de première importance en statistiques. Le paquet T6=T[t33, t34] est le dernier paquet de cette section. Il se réfère à la possibilité de
transformer une intégrale double en une intégrale simple, et au calcul d’une valeur approchée de l’intégrale par la méthode de Simson. Comme pour la dernière tâche (T8) de la section précédente, la technique ici est également calculatoire et fait référence à la section 5.7 qui s’intitule « intégration numérique ». Les résultats sont par ailleurs, difficilement accessibles par des techniques papier/crayon. L’auteur recommande l’emploi d’une calculatrice ou logiciel du calcul formel (T8 est donc signalé par C).