Dans un schéma d’étiquetage de routage(ou RLS pour “Routing Labeling Sche-me”), la fonction de décodageD00G :{0,1}∗×{0,1}∗ →Na accès à l’étiquette d’un sommetsource uet à celle d’un sommet ciblev, et elle calcule un portport(u, v) à prendre depuisupour se rapprocher dev. Rappelons qu’unport port(u, v)est un identifiant unique donné à une arêteuv ∈ E relativement au sommet u∈ V. Plus généralement, si u et v sont deux sommets quelconques de G, port(u, v) dénote n’importe quelle valeur port(u, v0) telle que uv0 ∈ E et v0 ∈ I(u, v) (par convention, nous pourrons poserport(u, u) := 0). Un graphe dans lequel chaque arête possède un port relativement à chacune de ses extrémités est ditavec ports.
Ce sera le cas de tous les graphes que nous considèrerons lorsque nous nous intéresserons à des problèmes de routage.
Router de l’information est l’une des tâches principales qu’un réseau distribué doit être capable d’effectuer. De ce fait, la conception de schémas de routage efficaces est un sujet bien étudié. Le livre Distributed Computing : A Locality-Sensitive Approach [130], par exemple, donne un aperçu général des résultats sur ce domaine. Un moyen trivial pour obtenir un RLS exact (c.-à-d., un schéma routant sur des plus courts chemins) consiste à stocker dans chaque nœud une table de routage complète du réseau. Cette table indique, pour chaque destina-tion, le port à emprunter depuis chaque source pour rejoindre la destination en passant par un plus court chemin. Cela donne un RLS exact avec des étiquettes de O(nlog ∆) bits, où ∆ représente le degré maximum du graphe. Ce résultat, bien que peu satisfaisant est pourtant optimal dans le cas général par un ré-sultat de GAVOILLE et PÉRENNÈS [86]. Pour les arbres, il existe des RLS exacts avec des étiquettes de longueur(1 +o(1)) logn, construits par FRAIGNIAUDet GA
-VOILLE [74] et THORUPet ZWICK [145]. Des RLS exacts avec étiquettes de taille poly-logarithmiques existent aussi pour les graphes de largeur-arborescente, lar-geur de clique ou cordalité bornées (DRAGAN et YAN [70]), et pour les graphes
3.4 Schémas de routage
planaires de courbure non-positive (CHEPOI, DRAGAN et VAXÈS [53]). Pour la famille des graphes excluant un mineur fixé (graphes planaires ou de genre bor-nés entre autres), DRAGAN et YAN[70] donnent aussi un RLS exact utilisant des étiquettes deO(√
nlog2n/log logn)bits .
Puisque les RLS exacts pour des graphes généraux nécessitent des étiquettes de O(n) bits, nous pouvons nous poser la question de RLS approchés, c’est-à-dire, de RLS ne routant pas les paquets sur des plus courts chemins mais sur des chemins faisant peu de détours, à la manière des RLS étudiés par COWEN
[65], EILAM, GAVOILLE et PELEG [72] et THORUP et ZWICK [145]. Un RLS 3-multiplicatif (c.-à-d., avec erreur multiplicative3) a été obtenu par COWEN[65].
Un RLS 5-multiplicatif avec étiquettes de taille O(n˜ 1/2) a été donné par EILAM, GAVOILLEet PELEG[72]. THORUPet ZWICK [145] ont ensuite amélioré ces résul-tats en construisant un RLS (4k−5)-multiplicatif avec des étiquettes n’utilisant que O(kn˜ 1/k) bits, pour tout k ≥ 2. D’autres résultats concernent des RLS avec erreur affine comme, par exemple, ceux de ABRAHAMet GAVOILLE[3].
3.4.1 Routage dans les arbres
Le schéma de distance de la sous-section 3.3.1 précédente peut être adapté pour obtenir un schéma de routage. Pour la fonction d’encodage Enc_Rout_
Arbre, il suffit simplement de remplacer(id(m),dT(u, m))à l’étage (3) par(id(m), port(u, m),port(m, u)). Alors, la fonction de décodageRout_Arbre(u,v) retourne port(u, m) (stocké dans l’étiquette de u) lorsque m 6= u, et port(m, v) (stocké dans l’étiquette dev) sinon (ici encore, mdénote le dernier séparateur commun deuetv).
Graphes faiblement modulaires
Sommaire
4.1 Graphes faiblements modulaires . . . 56 4.2 Graphes médians . . . 58 4.2.1 Graphes médians et complexes cubiques CAT(0) . . . 61 4.2.2 Problèmes de distances dans les graphes médians et les
com-plexes cubiques CAT(0) . . . 63 4.3 Graphes pontés . . . 64 4.3.1 Graphes pontés et complexes systoliques . . . 66 4.4 Courbure et théorème de Gauss-Bonnet . . . 67 Dans ce chapitre, nous commençons par introduire une classe importante de la théorie métrique des graphes : la classe des graphes faiblement modulaires.
Nous nous intéressons ensuite à deux de ses sous-classes, celles des graphes médians et pontés, car ce sont elles qui nous concernerons particulièrement dans la partie III. Nous rappelons quelques une de leurs nombreuses défini-tions/caractérisations et donnons une partie de leurs liens avec divers domaines.
Nous évoquons, en particulier, les liens respectifs des graphes médians et pontés avec des complexes cubiques et simpliciaux, expliquant notamment leur impor-tance en théorie géométrique des groupes (précisons que ces liens ne sont pas fondamentaux pour la compréhension du reste de ce manuscrit). En fin de cha-pitre, dans la section4.4, nous rappelons les définitions utiles à l’énoncé du théo-rème de Gauss-Bonnet dans le cadre des graphes planaires. Ce résultat est loin du cœur de ce manuscrit, mais il nous sera utile dans le chapitre 8(affirmation 54.1).
4.1 Graphes faiblements modulaires
Les graphesfaiblement modulairessont introduits par CHEPOI[47] et BANDELT
et CHEPOI[22] comme les graphes satisfaisant lacondition du triangle (CT)ainsi
4.1 Graphes faiblements modulaires
que la condition du quadrangle (CQ), décrites ci-dessous et illustrée en figure 4.1.
Figure 4.1 – Illustrations de la condition du triangle (à gauche) et du quadrangle (à droite).
Cette famille des graphes faiblement modulaires peut sembler assez ad hoc; pour autant, elle contient un grand nombre de classes importantes de la théorie métrique des graphes, et elle les unifie par des caractérisations “local-vers-global”
(et des considérations de courbure non-positive). Pour ce qui nous intéresse dans ce document, elle contient les graphes médians et les graphes pontés (dont nous parlons dans les deux sections suivantes). Parmi les sous-classes importantes des graphes faiblement modulaires, nous pouvons aussi citer les graphes modulaires et quasi-médians (deux généralisations des graphes médians), les graphes de Helly, ou encore les graphes “dual polar”. Pour des définitions et résultats sur ces familles, le lecteur pourra notamment consulter l’article « Weakly modular graphs and nonpositive curvature » [43].
Untriangle métriquedans un graphe connexeG= (V, E)est un triplet de som-mets (u1, u2, u3) définissant trois intervalles qui s’intersectent deux-à-deux sur ces sommets uniquement. Plus précisément,u1, u2 etu3 sont tels que I(ui, uj)∩ I(uj, uk) ={uj}pour touti6=j 6=k de{1,2,3}. Un triangle métrique(u1, u2, u3) estéquilatéralsi dG(u1, u2) = dG(u2, u3) = dG(u1, u3).
Remarque 9. Lorsque nous considèrerons un triangle métrique (u1, u2, u3), ou le graphe induit par (u1, u2, u3), nous ferons bien souvent référence à l’enveloppe convexe du triplet (u1, u2, u3).
Soient x, y et z trois sommets d’un graphe connexe G = (V, E). Un triangle métrique(x0, y0, z0)tel que
dG(x, y) = dG(x, x0) + dG(x0, y0) + dG(y0, y) dG(y, z) = dG(y, y0) + dG(y0, z0) + dG(z0, z) dG(x, z) = dG(x, x0) + dG(x0, z0) + dG(z0, z)
est appelé un quasi-médian de x, y et z. Nous pouvons remarquer que tout tri-plet de sommets d’un graphe connexe admet un quasi-médian. Les graphes fai-blement modulaires sont caractérisés par la propriété forte suivante de leurs triangles métriques (c.-à-d., quasi-médians) :
Théorème 10 (Chepoi [47]). Un graphe G = (V, E) est faiblement modulaire si et seulement si, pour tout triangle métrique (u1, u2, u3) de G, et pour tout x, y ∈I(u1, u2), l’égalité dG(u3, x) = dG(u3, y) est vérifiée. Il s’en suit que chaque triangle métrique d’un graphe faiblement modulaire est équilatéral.