Les graphes pontés ont été introduits par FARBER et JAMISON [73] comme les graphes ne contenant aucun cycle isométrique de plus de trois sommets (un exemple est donné en figure 4.2). Il représentent donc une sur-classe impor-tante de la famille, non moins imporimpor-tante, des graphescordaux. C’est-à-dire, des graphes ne contenant aucun cycle induit de plus de trois sommets. Les graphes cordaux (et donc les graphes pontés) possèdent toujours un sommet simplicial (c.-à-d., un sommet dont le voisinage induit une clique), et par conséquent sont
démontables par ces sommets.
Comme nous l’avons fait dans la section 4.2, nous commençons par énoncer les propriétés des graphes pontés qui nous fournirons les outils pour les preuves du chapitre8. Tout d’abord, FARBERet JAMISON [73] et SOLTANet CHEPOI[143]
ont montré que les graphes pontés pouvaient être définis de manière équivalente de la façon qui suit.
Théorème 14. Un graphe G = (V, E) est ponté si, pour tout sous-ensemble convexe S ⊆V et pour tout rayon r∈N, la boule Br(S, G) est convexe.
Autrement dit, les graphes pontés satisfont l’une des propriétés principales des espaces CAT(0) : le voisinage des convexes est convexe. Cette caractérisation a pour conséquence que, dans un graphe ponté G = (V, E), un sous-ensemble S ⊆V est convexe si et seulement s’il est localement convexe.
Remarque 13. De par la définition des graphes pontésG= (V, E) par la convexité des boules, il suit que :
4.3 Graphes pontés
Si u, v ∈ V sont deux sommets à distance k−1 d’un sommet central x∈V, et s’il sont tous deux voisins d’un sommet w∈V à distance k de x, alors la convexité de Bk−1(x) implique que u∼v (voir la figure 4.5).
k k x
u v
w
x
u v
w
k k
Figure 4.5 – Exemple d’une implication de la convexité des boules dans les graphes pontés.
Comme les graphes médians, les graphes pontés jouissent de la propriété sui-vante :
Lemme 7. Tout graphe ponté G= (V, E) satisfait les conditions (CT) et (CQ).
Démonstration. Montrons d’abord que Gsatisfait la condition du triangle. Soient u, v, w ∈ V tels que uv ∈ E et dG(u, w) = dG(v, w) =: k. Soit x un sommet de I(u, w)∩I(v, w) à distance minimale de u et v. Alors un cycle C formé par l’arête uv, un (x, u)-chemin et un (x, v)-chemin doit être isométrique par le choix de x. Il s’en suit que C est de longueur 3, et donc que x∼u, v et que dG(w, x) =k−1.
Pour montrer que G satisfait aussi la condition du quadrangle. Considérons quatre sommets u, v, w, z ∈ V tels que z ∼ u, v, dG(u, w) = dG(v, w) =: k et dG(w, z) = k+ 1. Alors la convexité de la boule Bk(w) implique queuv ∈E. Le cas se réduit donc à la condition du triangle, satisfaite par G.
Il s’en suit que les graphes pontés constituent une sous-classe des graphes faiblement modulaires. En fait, ils sont caractérisés de la façon suivante :
Théorème 15 (Chepoi[47]). Un graphe est ponté si et seulement il est faiblement modulaire et ne contient pas de C4 ou de C5 induits.
Il existe un lien fort entre les graphes pontés et la notion de graphes policier-gagnants introduite par NOWAKOWSKI et WINKLER [125]. Ces graphes sont dé-finit par le jeu du policier et du voleur suivant. Deux joueurs (un policier p et un voleur v) jouent chacun leur tour sur un graphe non-orientéG = (V, E). Au début, p et v sont placés sur des sommets distincts de G et, à chaque tour, ils peuvent soit se déplacer sur un sommet voisin, soit ne pas bouger. Le but depest
de se retrouver sur le même sommet que v, celui de v est d’empêcher indéfini-ment cela. Un graphe Gest policier-gagnant si, indépendamment du placement initial depetv, le policier peut toujours gagner. Il se trouve que les graphes pon-tés sont exactement les graphes policier-gagnants ne contenant pas deC4 ou de C5 induits, par un résultat de ANSTEE et FARBER [16]. CHEPOI [48] donne une preuve algorithmique alternative de ce résultat. Cette preuve alternative établit qu’un parcours en largeur sur un graphe pontéG= (V, E)produit systématique-ment un “ordonnancesystématique-ment policier-gagnant” de ses sommets (c.-à-d., un ordre total(V, <)dans lequel pour tout v ∈V, il existe unv0 < v adjacent àv tel que pour toutv00 < v adjacent àv,v00 ∼v0).
4.3.1 Graphes pontés et complexes systoliques
De même qu’il semble naturel d’associer un complexe cubique à un graphe médian, nous pouvons dériver un complexe simplicialX(G)à partir d’un graphe pontéGen lui associant soncomplexe de cliques: chaque clique de taille k deG est unk-simplexe de X(G), les faces communes de ces simplexes étant détermi-nées par les intersections des cliques de G. CHEPOI [49] nomme les complexes simpliciaux X dont les graphes pontés sont le 1-squelette des complexes pon-tés(“bridged complexes”), et il démontre alors que ces derniers sont simplement connexes et que les “links” (c.-à-d., le voisinage ouvert) de leur sommets sont
“flag” (c.-à-d., X est un complexe de cliques) et sans cycle induit de longueur 4 ou 5. Par la suite, HAGLUND [94] et JANUSZKIEWICZ et ´SWI ˛ATKOWSKI [104] re-découvrent indépendemment ces complexes simpliciaux dont les graphes pontés sont le 1-squelette. Ils les renomment alors des complexes (simpliciaux) systo-liques, et c’est plutôt ce terme-ci qui est désormais adopté. JANUSZKIEWICZ et S´WI ˛ATKOWSKI [104] définissent les complexes systoliques comme un cas parti-culier (mais néanmoins important) des complexesk-systoliques: complexes sim-pliciaux simplement connexes et dans lesquels tout cycle de longueur inférieur (strictement) à k dans le “link” d’un sommet doit contenir deux arêtes
consécu-tives dans un même2-simplexe. Les complexes 6-systoliques sont alors nommés complexes systoliques. Ce lien entre graphes pontés et complexes systoliques a ensuite donné lieu à une littérature fournie en théorie géométrique des groupes [61,104,94,126].
La proximité des propriétés des complexes systoliques avec celles des com-plexes cubique CAT(0) fait qu’ils sont considérés comme un analogue aux espaces de courbure non-positive. Ils sont, en particulier, contractiles (voir « Simplicial nonpositive curvature » [104]). Un complexe systolique n’est pas nécessairement hyperbolique en général, mais le seul contre-exemple à cela est le complexe sys-tolique (2-dimensionnel) formé par une triangulation du plan euclidien par des triangles équilatéraux (voir, par exemple, les articles de CHEPOI[49] ou PRZYTY