u et v peuvent être connectés, dans ∂∗F(x), par un plus court chemin passant par w.
Nous concluons cette section avec une propriété supplémentaire des fibres de l’étoile de sommet médian deG.
Lemme 30. Soit m un sommet médian d’un graphe médian G avec n sommets.
Alors toute fibre F(x) du bouquet de cube St(m) possède au plus n/2 sommets.
Démonstration. Supposons, par l’absurde, que |F(x)| > n/2 pour un certain sommet x ∈ St(m). Soit u un voisin de m dans I(x, m). Pour tout v ∈ F(x), x∈I(v, m) etu∈I(x, m), et nous pouvons conclure que u∈I(v, m). Par consé-quent F(x) ⊆W(u, m), et donc |W(u, m)| > n/2. Il en résulte que|W(m, u)|= n − |W(u, m)|, mais cela contredit le fait que m ait été choisi comme un som-met médians de G. En effet, comme u ∼ m, il est facile de constater que M(u)−M(m) =|W(m, u)| − |W(u, m)|<0.
Malheureusement, la bordure∂∗F(x)d’une fibreF(x)n’induit pas toujours un graphe médian. De ce fait, même si∂∗F(x)est un sous-graphe isométrique deG de dimension au plus dim(G)−1, l’étiquetage ne pourra pas être récursivement appliqué au sous-graphe induit par la bordure. Toutefois, si G est sans cube, alors la bordure des fibres est toujours un sous-arbre isométrique deG, et il est donc possible d’utiliser pour elles des schémas de distance ou de routage pour les arbres (graphes médians1-dimensionnels). Mais, même dans ce cas, il nous reste certaines bonnes propriétés des bordures à établir. C’est l’objet de la section 7.5.
7.5 Fibres dans les graphes médians sans cube
Dans cette section, nous établissons les propriétés supplémentaires que pos-sèdent les fibres des étoiles, ainsi que leur bordure, dans le cas particulier des graphes médians sans cube G = (V, E). En utilisant ces propriétés, nous pour-rons ensuite montrer que, pour n’importe quelle paire de sommets u et v de G, la trichotomie suivante est vérifiée. La distance dG(u, v) est : soit égale à dG(u, m) + dG(m, v)(pour un sommet médian m de G) ; soit égale à la somme des distances de uet v vers deux sommets appropriés u0 etv0 de∂∗F(x)plus la distance entre u0 et v0, soit calculée grâce à un appel récursif sur la fibre conte-nant uetv.
7.5.1 Classification des fibres
Les graphes G = (V, E)considérés dans le reste de ce chapitre seront suppo-sés médians et sans cube. L’étoile St(z) de tout sommet z de G consiste donc maintenant en l’union d’arêtes et de carrés contenantz. De même que les étoiles des sommets dans les graphes médians quelconques sont en bijection avec les graphes quelconques (via la construction du graphe simplexe), les étoiles des sommets dans le cas présent des graphes médians sans cubes sont en bijection avec les graphes sans triangles.
Soit z un sommet quelconque de G et soit Fz := {F(x) : x ∈ St(z)} la partition de V en les fibres de St(z). Nous pouvons distinguer deux types de fibres dans Fz : une fibre F(x) telle que x soit adjacent à z est appelée un panneau; une fibreF(x) telle que dG(x, z) = 2 est appelée un cône. Si F(x) est un panneau, alors l’intervalle I(x, z) est une arête. Si F(x) est un cône, alors l’intervalle I(x, z) est un carré Qx := (x, y0, z, y00). Dans le second cas, puisque y0 et y00 sont les seuls voisins de x dans St(z), alors nous déduisons, de par le lemme 27, queF(x) est voisin des panneaux F(y0) et F(y00), et d’aucune autre fibre. Par le même lemme 27, nous pouvons observer qu’un panneau F(y) ne peut être voisin d’aucun autre panneau mais peut, en revanche, être voisin d’un nombre quelconque (linéaire en la taille du graphe) de cônes (c.-à-d., tous les cônesF(x0) tels que le carré Qx0 contienne l’arête yz). La figure 7.6 donne une illustration de ce fait.
7.5.2 La bordure totale des fibres est quasi-portée
La propriété principale d’une empreinte sur un ensembleA⊆V est que, pour tout sommet z ∈ A, il existe un plus court (u, z)-chemin passant par Υ(u, A) (c.-à-d., I(u, z) ∩ Υ(u, A) 6= ∅). De ce fait, si l’ensemble Υ(u, A) possède un nombre constant d’éléments, alors nous pouvons stocker dans l’étiquette deula distance à chaque élément deΥ(u, A). En utilisant cela, pour tout sommetz ∈A, nous sommes alors capable de calculerdG(u, z)commemin{dG(u, a) + dG(a, z) : a∈Υ(u, A)}. L’objectif principal de cette sous-section va être de montrer que la bordure des fibres d’un graphe médian sans cube possède cette propriété, et que c’est un arbre quasi-porté.
Lemme 31. La bordure ∂∗F(x) de toute fibre F(x) d’un bouquet de cube St(z) dans un graphe médian sans cube Gest un arbre isométrique dont les branches sont
portées.
Démonstration. Des lemmes28et29, il résulte que∂∗F(x) est un arbre isométrique enraciné enx. Pour tout sommet v ∈∂∗F(x), il existe une fibre F(y)∼F(x) de
7.5 Fibres dans les graphes médians sans cube
St(z) telle que v appartienne à la frontière ∂F(y)F(x) de F(x) vers F(y). De par le lemme 27, ∂F(y)F(x) est un sous-arbre porté deG auquel appartiennent v et x.
L’unique chemin P(v, x) entre v etx dans ∂F(y)F(x) est un sous-chemin convexe de ∂F(y)F(x) et donc un sous-chemin convexe dans le graphe Gtout entier. Puisque les sous-graphes convexes sont portés (lemme 6), P(x, v) est un chemin porté deG inclus dans ∂∗F(x).
Par le lemme 31, les branches de ∂∗F(x) sont portées. En revanche, ∂∗F(x) lui-même n’est pas nécessairement porté. Puisqu’un panneauF(x)peut être voi-sin d’un nombre arbitraire de cônes, il serait intuitif de penser que l’empreinte Υ(u, ∂∗F(x))d’un sommetudu panneau sur sa bordure puisse aussi être de taille arbitrairement grande. Le lemme32suivant montre que ce n’est pas le cas. Plus précisément, il montre que |Υ(u, ∂∗F(x))| ≤ 2, et ce résultat est fondamental dans l’élaboration des schémas de distance et de routage présentés en sections 7.7 et 7.8. Malheureusement, cette propriété n’est plus vraie lorsque la dimen-sion du graphe médian est strictement supérieure à2.
Lemme 32. Soit T un arbre enraciné avec des branches portées dans un graphe médian sans cube G= (V, E). Alors T est quasi-porté.
Démonstration. Soit r la racine de T. Considérons un sommet u ∈ V \V(T) et faisons l’hypothèse absurde que Υ(u, T) contienne trois empreintes distinctes x1, x2 et x3. Comme les branches de T sont portées, aucun des sommets x1, x2 etx3 ne peut appartenir à un même chemin de T entre la racine et l’un de ces trois sommets. En particulier, r doit être différent de x1, x2 etx3. Supposons, de plus, que parmi tous les arbres enracinésT0 dansG, avec des branches portées, et tels que
|Υ(u, T0)| ≥3, T ait un nombre de sommet minimal. Par ce choix de minimalité (et du fait que chaque sous-arbre de T contenant r soit aussi un arbre enraciné avec des branches portées), T doit être l’union d’exactement trois chemins portés P(r, x1), P(r, x2) et P(r, x3). En d’autres mots, x1, x2 et x3 doivent constituer l’ensemble des feuilles de T.
Soit yi le voisin de xi dans le chemin P(r, xi) (i = 1,2,3). Comme G est biparti, soit xi ∈ I(yi, u), soit yi ∈ I(xi, u). Mais comme xi ∈ Υ(u, T), nous avons xi ∈I(yi, u). Soit Ti0 le sous-arbre de T obtenu en supprimant la feuille xi. De par l’hypothèse de minimalité de T, nous ne pouvons pas remplacer T par son sous-arbre Ti0. Autrement dit, |Υ(u, Ti0)| ≤2. Puisque xj, xk ∈ Υ(u, Ti0) pour {i, j, k} = {1,2,3}, xj ou xk doit nécessairement appartenir à I(yi, u) (c.-à-d., I(yi, u)∩ {xj, xk} 6=∅).
Remarquons que x1, x2, x3 ∈ I(u, r). En effet, dénotons par zi le médian du triplet xi, u, r. Comme zi ∈I(xi, r) =P(xi, r)⊆T et zi ∈I(u, xi), si zi 6=xi, alors nous obtenons une contradiction avec l’inclusion de xi dans Υ(u, T). Donc zi = xi, et xi ∈I(u, zi).
Nous pouvons maintenant supposer, sans perte de généralité, que dG(r, x3) = max{dG(r, xi) : i = 1,2,3} =: k. Nous pouvons aussi supposer, toujours sans perte de généralité, que x2 ∈ I(y3, u) car I(y3, u)∩ {x1, x2} 6= ∅ comme nous l’avons expliqué plus haut. Vu quex3 ∈I(y3, u), nous obtenons que dG(x3, u) + 1 = dG(y3, x2) + dG(x2, u). Donc dG(x3, u) ≥dG(x2, u) et nous pouvons conclure que dG(x3, u) = dG(x2, u) et dG(y3, x2) = 1 (c.-à-d., y2 =y3 =:y). Et comme x2, x3 ∈ I(r, u),nous obtenons aussi que dG(x3, r) = dG(x2, r). Deux cas se présentent alors : Cas 1.dG(x1, r) =k.
Puisque chacun des trois sommetsx1,x2 et x3 est à la même distancek de la racine r, nous pouvons appliquer à x1 le même raisonnement que celui fait pour x3 afin de déduire que le voisiny1 dex1 dans T coïncide avec y2 ouy3. Étant donné que y2 = y3 =y, nous pouvons conclure que les sommets x1, x2 et x3 ont tous pour voisin ydansT. Vu que yest plus proche de rque ne le sontx1,x2 et x3, et comme x1, x2, x3 ∈ I(r, u), nous obtenons que x1, x2, x3 ∈ I(y, u). En appliquant trois fois la condition du quadrangle, nous trouvons trois sommetsxi,j, i, j ∈ {1,2,3}, i 6= j, tels que xi,j ∼ xi, xj et dG(xi,j, u) = k −1 (voir la figure 7.5, gauche).
Si deux des sommets x1,2, x2,3 et x1,3 coïncident, alors nous obtenons un K2,3, interdit car c’est un sous-graphe interdit des graphes médians. Les sommetsx1,2, x2,3 etx1,3 sont alors deux-à-deux distincts. Comme Gest biparti, cela implique que dG(xi, xj,k) = 3 pour {i, j, k} = {1,2,3}. Par une nouvelle application de la condition du quadrangle à (x1,2, x2,3, x2, u), nous dérivons un sommet w tel que w ∼ x1,2, x2,3 et dG(w, u) = k −2. Comme G est biparti, dG(w, x1,3) vaut soit 3, soit 1. Si dG(w, x1,3) = 3 = d(y, w), alors le triplet y, w, x1,3 possède deux médians x1 et x3, ce qui n’est pas possible car G est un graphe médian. Nous avons, par conséquent, dG(w, x1,3) = 1 (c.-à-d., w∼x1,3). Dans ce cas, les sommets y, x1, x2, x3, x1,2, x2,3, x1,3, w définissent un 3-cube isométrique de G, ce qui est en contradiction avec le fait que G soit sans cube. Cela termine l’analyse du premier cas.
Cas 2.dG(x1, r)< k.
Ce cas implique que dG(r, x1) ≤ k −1 = dG(r, y). Soit r0 le voisin de r sur le (r, y)-chemin de T. Remarquons que r0 ∈/ I(r, x1) = P(r, x1). En effet, dans le cas contraire, nous aurions r0 ∈ P(r, x1)∩P(r, x2)∩P(r, x3) et nous pourrions remplacer l’arbreT par son sous-arbre T0 enraciné en r0 consistant en l’union des sous-chemins de P(r, xi) entre r0 et xi, pour i= 1,2,3. T0 serait alors clairement un arbre enraciné, avec des branches portées, et tel que x1, x2, x3 ∈ Υ(u, T0), contredisant le choix minimal du contre-exempleT. Donc r0 ∈/ P(r, x1).
Posons P(r, x1) = (r, v1, . . . , vm−1, vm =: x1). Notons que r peut coïncider avec y1, et que x1 peut coïncider avec v1. Comme v1, r0 ∈ I(r, u), en appliquant la condition du quadrangle, nous trouvons un sommet v02 ∼ v1, r0 à distance dG(r, u)−2 de u. Comme r0 ∈/ I(r, x1), v20 6= v2. Puisque v2, v20 ∈ I(v1, u), par la
7.5 Fibres dans les graphes médians sans cube court chemin, dont nous affirmons qu’il est porté. En effet, si ce n’est pas le cas, nous pouvons appliquer le lemme 6 et utiliser le fait que P(r0, x01) soit un plus court chemin pour trouver deux sommets vi−10 , vi+10 possédant un voisin commun z0 différent de vi0. Soit z le médians du triplet z0, vi−1, vi+1. Alors z est un voisin commun de z0, vi−1 et vi+1, et z est différent de vi (autrement, nous obtenons un sous-graphe interdit K2,3). Mais alors, il est facile de vérifier que les sommets vi−1, vi, vi+1, vi−10 , vi0, vi+10 , z et z0 induisent un 3-cube isométrique, contrairement à l’hypothèse dim(G)≤2. Par conséquent,P(r0, x01) est bien un chemin porté de G.
Soit T00 l’arbre enraciné en r0 consistant en le chemin porté P(r0, x01) et les sous-chemin portés de P(r, x2) et P(r, x3) compris respectivement entre r0 et x2 et entre r0 etx3. T00 est évidemment un arbre enraciné avec des branches portées.
Remarquons que x01, x2, x3 ∈Υ(u, T00). En effet, six2 ou x3 appartenait àI(x01, u), alors x01 appartiendrait à I(x1, u) et nous conclurions que x2 ou x3 appartient à I(x1, u), ce qui est impossible carx1 ∈Υ(u, T). D’autre part, x01 ne peut appartenir ni à I(x2, u), ni à I(x3, u) car dG(x01, u) = dG(x1, u)−1≤ dG(x2, u) = dG(x3, u).
Par conséquent, |Υ(u, T00)| ≥ 3. Comme T00 contient moins de sommets que T, nous obtenons une contradiction avec la minimalité de T. Cela conclut l’analyse du second cas et la preuve que T est quasi-porté.
y
Figure 7.5 – Illustration des cas 1 et 2 de la preuve du lemme 32.
En appliquant les lemmes 31 et 32 au sous-graphe médian sans cube de G induit par la fibreF(x), nous obtenons directement :
Corollaire 9. La bordure ∂∗F(x) de toute fibre F(x) est quasi-portée.