Propriétés

Dans cette section, nous commençons par décrire la structure des triangles métriques et des intervalles dans les graphes pontés sansK₄. Nous introduisons ensuite la notions d’ensemble étoilé et décrivons la structure de l’intersection entre un intervalle et un arbre étoilé. Rappelons que, lorsque nous parlons d’un triangle métrique, c’est souvent son enveloppe convexe que nous considérons.

Le lemme 38 présente une propriété des graphes pontés sans K₄ utile à la preuve du lemme39qui suivra. Pour l’énoncer, nous donnons le nom detriangle platau graphe Tk = (Vk, Ek)défini par

• V_k :={u^j_i : 0≤j ≤ket0≤i≤j};

• E_k :={u^j_iu^j_i0⁰ :u^j_i, u^j_i0⁰ ∈V_k,(j = j⁰ eti⁰ =i−1)ou(j⁰ = j−1eti−1≤i⁰ ≤i)}.

Un motif correspondant à un triangle plat est donné en figure8.1(gauche).

Lemme 38. L’enveloppe convexe d’un triangle métrique (u, v, w) dans un graphe ponté sans K₄ contient toujours un triangle plat en tant que sous-graphe induit.

Démonstration. Posons k:= d_G(v, w) et considérons un plus court chemin P entre

8.3 Propriétés

v et w. Nous renommons ses sommetsv =: u^k₀, u^k₁, . . . , u^k_k :=w, oùu^k_i est le sommet à distanceide v =u^k₀ surP. D’après le théorème10, chaque sommet de P est aussi à distancek deu. Pour touti∈ {0, . . . , k−1}, nous pouvons appliquer la condition du triangle sur u^k_i, u^k_i+1 et u⁰₀ := u pour dériver un sommet u^k−1_i ∼ u^k_i, u^k_i+1 à distance k−1 de u⁰₀. Nous voulons alors montrer que :

(1) ∀i, i⁰ ∈ {0, . . . , k−1}, avec i < i⁰, u^k−1_i 6=u^k−1_i⁰ ; (2) ∀j ∈ {0, . . . , k−2}, u^k−1_j ∼u^k−1_j+1.

Pour montrer (1), faisons l’hypothèse absurde qu’il existe i6= i⁰ tels que u^k−1_i = u^k−1_i0 =: x. Alors x est adjacent à u^k_i, u^k_i+1, u^k_i0 et u^k_i0+1. Rappelons que chaque sommet de I(u^k₀, u^k_k) est à distance k de u⁰₀. En particulier, chaque sommet de I(u^k_i, u^k_i0+1) doit être à distance k de u⁰₀. Par conséquent,u^k−1_i ∈/ I(u^k_i, u^k_i0+1). Il s’en suit que {u^k_i, u^k_i+1, u^k_i0, u^k_i0+1} induit une clique, et que P n’est pas un plus court chemin. La propriété (2) découle de la convexité des boules B_k−1(u⁰₀). En effet, nous avons : u^k−1_j 6= u^k−1_j+1; u^k−1_j , u^k−1_j+1 ∼ u^k_j; et u^k_j ∈/ Bk−1(u⁰₀). Nous pouvons en conclure que u^k−1_j ∼u^k−1_j+1.

Nous pouvons alors remplacer P, par le chemin P⁰ de longueur k −1 induit par {u^k−1₀ , . . . , u^k−1_k−1} et lui appliquer les mêmes arguments. Ainsi de suite jusqu’à dériver {u⁰₀}.

Le triangle métrique (u, v, w) contient donc un triangle plat en tant que sous-graphe. Il nous reste à prouver que ce sous-graphe est maximal en nombre d’arêtes (c.-à-d., qu’il est induit). Pour cela, il suffit de montrer que pour touti∈1, . . . , k−1,

les seuls voisins deu^k_i dans le triangle plat (généré parP et u⁰₀) sontu^k_i−1,u^k_i+1,u^k−1_i−1 et u^k−1_i . De même, les seuls voisins de u^k₀ dans ce triangle sont u^k₁ etu^k−1₀ , et ceux de u^k_k sont u^k_k−1 et u^k−1_k−1. En effet, si un sommetu^k_i possède un autre voisin dansP que ceux listés précédemment, alors P n’est plus un plus court chemin. Concernant les sommets sur le niveau k−1, u^k_i ne peut pas avoir plus de deux voisins (u^k−1_i−1 et u^k−1_i ) de par la convexité de la boule Bk−1(u⁰₀) à laquelle n’appartient pas u^k_i (c.-à-d., ajouter un troisième sommet adjacent à u^k_i dans I(u^k_i, u⁰₀) créerait un K₄).

Enfin, tout lien entre u^k_i et un sommet u^k_i0⁰ avec k⁰ < k−1 et i⁰ ∈ {0, . . . , k⁰}serait contradictoire avec le théorème 10.

Le lemme qui suit nous sera utile dans les preuves qui font intervenir des sommets dans des triangles métriques. Nous nous réfèrerons directement à la structure de ces triangles, décrite dans ce lemme 39, pour exhiber des sommets où des liens entre sommets dans un triangle métrique.

Lemme 39. L’enveloppe convexe d’un triangle métrique (u, v, w) dans un graphe ponté G= (V, E) sans K₄ est exactement un triangle plat.

Démonstration. Il nous suffit ici de prouver que le triangle plat T induit dans (u, v, w) par le lemme 38 est maximal en nombre de sommets. Nous montrons

u v

w u⁰

v⁰

w⁰

u⁰₀ u^k−1₀

u^k₀

u¹₀ u⁰₁ u^k−1_k−1

u^k_k u^k_k−1 u^k₁

Figure 8.1 – À gauche, l’illustration d’un motif présent dans chaque quasi-médian (u⁰, v⁰, w⁰) d’un triplet (u, v, w) de sommets d’un graphe ponté sans

K₄. À droite, une aide à la preuve du lemme 38.

pour cela qu’il est localement convexe (et donc convexe). Supposons, par l’absurde, qu’il existe un sommet x dans (u, v, w) n’appartenant pas au triangle plat illustré T en 8.1. Un quasi-médian étant nécessairement connexe,x doit être connecté à un sommet y de T. Supposons que cette connexion soit une arête, (sinon nous remplaçons x par le sommetx⁰ sur un (x, y)-chemin tel que x⁰ ∼y). Puisque nous avons supposé, par l’absurde, queT n’est pas localement convexe,xdoit appartenir à l’intervalle I(y, z) pour un certain z à distance 2 dey. L’intervalle entre y et z dansT peut être des deux formes illustrées ci-dessous (en noir l’intervalle I_T(y, z), en rouge la présence de x dans I_G(y, z), en gris des sommets issus de la structure du triangle plat) :

y z y z

x x

Dans le dessin de gauche, la convexité de N_G[y] implique quex soit adjacent aux deux voisins deydansIT(y, z), faisant apparaître unK₄. Dans celui de droite,xdoit être relié à l’unique voisin dey dans I_T(y, z) pour ne pas créer de C₄ isométrique, mais cela crée alors un W₅ (et donc un long cycle isométrique, ce qui contredit que Gest ponté).

Soient u et v deux sommets de la grille triangulaire “complète” (c.-à-d., le squelette du pavage du plan euclidien par des triangles équilatéraux de côté1).

Unegrille triangulaire rongéeest obtenue en retirant (ou non) itérativement des sommets de degré 3 dans le “parallélogramme” induit par I(u, v) (un exemple est donné dans la figure8.2). Initialement, dans la grille triangulaire complète, I(u, v) contient deux sommets de degré 2 (dans I(u, v)) et deux sommets de degré3. Ces sommets sont appelés des coins convexes. Les sommets sur les plus courts chemins reliant ces coins externes sont des bords. Les sommets restant

8.3 Propriétés

sont des sommets internes. Un sommet w de degré 3 dans I(u, v) possède un voisin w_u ∈ W(u, v), un voisin w_v ∈ W(v, u) et un voisin w⁰ ∈ W⁼(u, v). Si w est supprimé, w_u et w_v deviennent des coins convexes et w⁰ devient un coin concave. Par la suite, lors de la suppression d’un de ses voisins, un sommet interne devient un coin concave, un coin concave devient un bord, un bord devient un coin convexe et un coin convexe devient un bord (ces évolutions de statuts sont indiquées dans la table8.1). Remarquons que le voisinage d’un sommetwretiré est toujours unP₃ induit dansI(u, v)(c.-à-d., un P₃ convexe deI(u, v)\ {w}).

u v m

v

u v

v

Figure 8.2 – À gauche, un exemple de grille triangulaire rongée (induite par l’intervalle entre u et v, voir lemme 40). Les coins concaves sont en vert, les convexes sont en bleu. Les bords sont en rouge et les sommets internes en noir. À droite, une autre grille triangulaire rongée pour illustrer le lemme 41.

Remarque 26. Les trois sommets rouges des dessins ci-dessous sont, en quelque sorte, des cas “dégénérés”. Notons que ce sont, de gauche à droite, un bord, un coin convexe et un bord. De plus, le sommet ude la première figure et les sommets v de la première et de la deuxième figure sont aussi des bords.

u v u v u v

Voisins retirés bord concave convexe interne

1 convexe bord bord concave

2 bord convexe convexe bord

3 convexe bord bord convexe

4 bord convexe convexe bord

Table 8.1 – Évolution du statut d’un sommet d’une grille rongée en fonction du nombre de voisins qui lui sont retirés.

Lemme 40. L’intervalle I(u, v) entre deux sommets u et v d’un graphe ponté G= (V, E) sans K₄ est une grille triangulaire rongée.

Démonstration. Soient u et v deux sommets de G et soit P⁰ ⊆ I(u, v) un plus court chemin entre u et v dans G (c.-à-d., P⁰ est une grille triangulaire rongée

minimale, ainsi qu’un potentiel intervalle minimal). Alors, soit P⁰ =I(u, v), soit pour toutx₁ ∈ {a∈N_G(b) : b∈P⁰}tel que P¹ :=P⁰∪ {x₁} ⊆I(u, v), P¹ est une grille triangulaire rongée (c.-à-d., x₁ est connecté aux sommets d’un P₃ induit de P⁰). En effet, supposons queP⁰ (I(u, v) (sinon nous avons terminé). Soit x₁ un sommet tel queP¹ ⊆I(u, v). Si x₁ n’est connecté qu’à un unique sommet ou une unique arête de P⁰, alors il ne peut clairement pas être sur un plus court chemin.

Si x₁ est connecté à exactement deux sommets non-adjacents de P⁰ ou a plus de 3 sommets, alors il crée un raccourci (et contredit queP⁰ soit un plus court chemin).

Donc xest connecté à exactement 3 sommets de P⁰, et si ces trois sommets sont non consécutifs (c.-à-d., pas dans unP₃), alorsx₁ crée à nouveau un raccourci.

Supposons maintenant que, pour un certaink ≥1,|I(u, v)| ≥ |P⁰|+k−1 et que nous ayons pu itérativement ajouter des sommetsx₁, . . . , x_k−1 à P⁰ pour obtenir une grille triangulaire rongéeP^k−1. Alors, soitP^k−1 =I(u, v) (nous supposons que ce n’est pas le cas), soit pour tout x_k tel que P^k := P^k−1 ∪ {x_k} ⊆ I(u, v), P^k est une grille triangulaire rongée (c.-à-d., x^k est relié à chaque sommet d’un P₃ induit dans P^k−1, et aucun des sommets du P₃ n’est interne, autrement dit, P₃ est convexe). En effet, si x_k n’est relié qu’à un ou deux sommets de P^k−1, alors il ne peut pas être dans I(u, v). Il en est de même si x_k est relié à plus de trois sommets. Donc x_k est relié à trois sommets. Si ces trois sommets sont un P₃ non induit, alorsx_k et son voisinage forment un K₄, et si ce n’est pas unP₃, alors x_k crée un raccourci. Enfin, si le voisinage dex_k est un P₃ avec un ou deux sommets internes, alors Gcontient un W₄, et si les trois sommets sont internes,G contient un W₅. Ainsi,x_k est forcément connecté à un P₃ du bord de P^k−1, et P^k est donc une grille triangulaire rongée.

Remarque 27. L’enveloppe convexe des triangles métriques et les intervalles d’un graphe ponté sans K₄ induisent des graphes planaires. Pour autant, les graphes pontés sansK₄ contiennent tous les sous-graphes en tant que mineurs et sont donc, en particulier, non-planaires. En revanche, les graphes pontés G= (V, E) sans K₄ étant 3-dégénérés, leur nombre d’arêtes est d’au plus O(|V|) (et leur densité est constante).

Un cheminP d’un arbreT (enraciné enr) est ditmontantsiP est entièrement inclus dans une branche de T (c.-à-d., ∀u, v ∈ P, soit IT(u, r) ⊆ IT(v, r), soit I_T(v, r)⊆I_T(u, r)). Un sous-ensembleSde sommets d’un graphe quelconque G est ditétoilé (par rapport às ∈S)si, pour touts⁰ ∈S,I(s, s⁰)⊆S. Cet ensemble S est appelé un arbre étoilé (enraciné en s ∈ S) si, pour tout s⁰ ∈ S, I(s, s⁰) est un chemin.

Lemme 41. Soit T un arbre étoilé (enraciné en m) dans un graphe ponté G = (V, E)sansK4, et soit u∈V\T. AlorsI(u, m)∩T est inclus dans les deux chemins montant de m jusqu’aux premiers coins convexes non dégénérés (ces deux coins sont dits extrémaux par rapport à m).