Dans cette section, nous précisons (et améliorons dans certain cas) nos ré-sultats pour des produits cartésiens de graphes appartenant à des classes plus
5.6 Classes spéciales de graphes
spécifiques. Plus précisément, nous étudions les produits cartésiens de graphes de dégénérescence bornée, de degré moyen poly-logarithmique, démontables, cordaux, complets et d’octaèdres.
5.6.1 Graphes de dégénérescence bornée
Nous dénotons ici parGδ la classe des graphes de dégénérescence au plus δ.
Gδ contient donc en particulier les graphes dans lesquels chaque sommet a un degré d’au plusδ. Ainsi,G5inclue la classe des graphes planaires. Tout graphe de Gδ a densité au plus δ. En utilisant le théorème 17, nous obtenons directement le corollaire suivant :
Corollaire 3. SiGest un sous-graphe deG1· · ·Gm avecG1, . . . , Gm ∈Gδ, alors
|E(G)|
|V(G)| ≤2δ·log|V(G)|.
5.6.2 Graphes de degré moyen poly-logarithmique
Dénotons maintenant parG(log,k)la classe des graphes clos par sous-graphes et dedeg∗borné par une fonction poly-logarithmique (c.-à-d., pour toutH ∈G(log,k), 2ddens(H)e ≤ logk|V(H)|). Dans ce cas, le théorème 17 conduit au résultat suivant
Corollaire 4. Si G est un sous-graphe de Γ := G1· · ·Gm avec G1, . . . , Gm ∈ G(log,k), alorsG∈G(log,k+1). Ou encore, |E(G)||V(G)| ≤logk+1|V(G)|.
Démonstration. D’après le théorème 17,
|E(G)|
|V(G)| ≤max{ddeg∗(π1(G))e, . . . ,ddeg∗(πm(G))e} ·log|V(G)|.
Puisqueπi(G) est un sous-graphe deGi, toutes les projectionsπi(G),i∈ {1, . . . , m}, de Gsur les facteurs de Γ appartiennent à G(log,k). Nous en déduisons que
ddeg∗(πi(G))e ≤logk|V(πi(G))| ≤logk|V(G)|, et donc que
|E(G)|
|V(G)| ≤logk+1|V(G)|.
5.6.3 Produits de graphes démontables
Un sommetud’un graphe Gest dit dominédansGpar son voisinv si N[u]⊆ N[v] (c.-à-d., le voisinage fermé de u est inclus dans celui de v). Dans ce cas, l’arête uv est appeléearête dominante. Un graphe G est démontable si ses som-mets admettent un ordonnancementv1, . . . , vntel que, pour touti,visoit dominé dans le sous-grapheG[vi, . . . , vn]deGinduit par les sommetsvi, . . . , vn. La classe des graphes démontables inclut, en particulier, les classes des graphes cordaux, pontés (voir la section 4.3) et faiblement pontés (une définition de ces deux dernières classes ainsi que des résultats sur leur démontabilité sont disponibles dans « Bucolic complexes » [37]). Les graphes démontables sont aussi caracté-risés par NOWAKOWSKI et WINKLER [125] comme étant exactement les graphes policier-gagnants.
Un ordre minimal de démontage de G est un ordre de démontage dans le-quel, à chaque étape i, vi est un sommet dominé dans G[vi, . . . , vn] de degré minimal. Nous définissons la dégénérescence de démontage dd(G) de G comme le degré maximum d’un sommet vi de G[vi, . . . , vn] dans un ordre minimal de démontage deG. SoitΓ :=Qmi=1Giun produit cartésien de graphes démontables G1, . . . , Gm. Soit vi,1, . . . , vi,ni un ordonnancement des sommets de Gi selon un ordre minimal de démontage<i(i∈ {1, . . . , m}). Soit(Qmi=1Vi,)l’ordre partiel sur les sommets de Γ défini par le produit cartésien des ordres totaux (Vi, <i) (i ∈ {1, . . . , m}). Considérons une extension linéaire quelconque < de . Le degré maximal d’un sommet vi d’un sous-graphe de Γ induit par vi, . . . , vN, où N =n1× · · · ×nm, sera notédd∗(Γ). Nous pouvons alors facilement montrer que dd∗(Γ) = Pidd(Gi).
Pour un sous-graphe G de Γ avec des sommets v1, . . . , vn ordonnés selon l’ordre total<surV(Γ), nous définissons dd∗(G)comme le degré maximal d’un sommetvidans le sous-graphe deGinduit parvi, . . . , vn. Remarquons quedd∗(G)
≤dd∗(Γ), et que contracter une arête dominante uivi d’un facteur Gi donne un mineur deGi qui est aussi un sous-graphe induit de Gi. Ainsi, siG est un sous-graphe d’un produit cartésien de sous-graphes démontables, et si à chaque étape de la preuve du théorème 18 nous prenons soin de ne contracter que des arêtes dominées dans leur facteur, nous obtenons le résultat suivant :
Proposition 8. Si G est un sous-graphe d’un produit cartésien Γ de m graphes démontables G1, . . . , Gm, alors |E(G)||V(G)| ≤dd∗(G)·VC-dim(G).
Démonstration. Puisque Guv est un sous-graphe de G, par le lemme 15, nous déduisons que |V|V(G(Guvuv)|
c )| ≤ dd∗(Guv)≤dd∗(G). PuisqueGuv est un sous-graphe de G, nous obtenons directement que VC-dim(Guv)≤VC-dim(G). Ainsi, en utilisant le lemme 13 pour VC-dim(G), nous avons VC-dim(Guvc ) ≤ VC-dim(G)−1. Le résultat suit alors de cette inégalité et des deux remarques qui la précèdent.
5.6 Classes spéciales de graphes
5.6.4 Produits de graphes cordaux
Pour un graphe cordal G (définit en section 4.3) nous utilisons le fait que tout ordonnancement simplicial des sommets de Gest un ordre de démontage, et que pour toute arête uv d’un graphe cordal, Guv est cordal etω(Guv) ≤ ω(G) (où ω(G) est la taille d’une plus grosse clique de G). Comme dans le cas des graphes démontables, en contractant à chaque étape une arête entre un sommet simplicial(c.-à-d., dont le voisinages induit une clique) et un de ses voisins, et en appliquant cette propriété de démontabilité, nous obtenons le corollaire suivant de la proposition8et du théorème18:
Corollaire 5. Si G est un sous-graphe d’un produit cartésien Γ de m graphes cordaux G1, . . . , Gm, alors |E(G)||V(G)| ≤ω(G)·VC-dim(G).
Un sous-ensemble “classique” de la classe des produits cartésiens de graphes cordaux est la classe des graphes de Hamming. De ce fait, le corollaire 5 s’ap-plique aussi pour la classe des sous-graphes de graphes de Hamming.
5.6.5 Produits d’octaèdres
L’octaèdre d-dimensionnel K2,...,2 (équivalent au “cocktail party graph” intro-duit par DEZA et LAURENT [66]) est un graphe biparti complet sur 2d sommets moins un couplage parfait. De façon équivalente, K2,...,2 est un graphe d-parti complet dans lequel chaque partie est constituée de2sommets que nous dirons opposés. En géométrie, K2,...,2 correspond aussi aussi au 1-squelette d’un hyper-octaèdre d-dimensionnel. Nous utiliserons la notatione2 = ¯e1 pour indiquer que e1 ete2sont deux sommets opposés. Un sous-graphe d’octaèdre sera appelé sous-octaèdre. L’octaèdre d-dimensionnel K2,...,2 peut aussi être vu comme le graphe d’un alphabet fini Σ = {e1,e¯1, . . . , ed,e¯d}muni d’une involution ϕ(ei) = ¯ei pour tout i ∈ {1, . . . , d} (rappelons qu’une involution sur un ensemble fini X est une applicationϕ:X →X telle que ϕ2(x) =xpour toutx∈X). Par conséquent, le produit cartésien democtaèdresd-dimensionnels peut être vu comme le graphe des mots de taillemsur (Σ, ϕ).
Dans cette sous-section, nous montrons que, siGest un sous-graphe d’un pro-duit cartésienΓdemoctaèdresG1, . . . , Gmde dimensions respectivesd1, . . . , dm, alors un analogue du corollaire 5 est vérifié. Pour le problème arête-isopérimé-trique sur des produits d’octaèdres, nous pourrons nous référer au livre de HAR
-PER[98]. La principale différence avec les graphes cordaux dans notre cas réside dans le fait que contracter une arête dans un octaèdre peut augmenter la taille de sa plus grande clique. De plus, le résultat de cette contraction n’est plus un sous-octaèdre. De ce fait, nous devons redéfinir les graphes Guv et Guv. Si, au
début, tous les facteurs sont des octaèdres, il est évident qu’après un certain nombre d’étapes, ils deviendront des sous-octaèdres. Lorsqu’un facteur n’est pas une clique, il contient deux sommets opposéseete¯que nous pouvons identifier, transformant ainsi le facteur en un sous-octaèdre avec moins de paires d’opposés.
Si tous les facteurs sont des cliques, ce qui doit finir par arriver, alors leur produit est un graphe de Hamming (qui doit alors être vu comme notre base d’induction) et nous pouvons utiliser le corollaire5de la sous-section précédente.
Soit Gi un facteur du produit cartésien courant Γ. Supposons que Gi soit un sous-octaèdre contenant au moins deux sommets opposés e et ¯e. Soit F un sous-graphe de Γ. Nous dénoterons parvi un sommet deΓ dont toutes les com-posantes sont fixées à l’exception de la i-ième (c.-à-d., vi fixe la position d’une copie de Gi, mais pas le sommet considéré dans cette copie). Nous dénoterons ce sommet parvi[e],vi[¯e], ouvi[e0]si nous voulons respectivement affecter à cette i-ième coordonnéee,e¯ou un certain voisin e0 ∈ V(Gi)commun àeete. Posons¯ Gcile graphe induit parV(Gi)\ {¯e}et posonsGele sous-graphe deΓb dans lequel nous avons identifié (fusionné) les sommets deGayant eeni-ième coordonnée avec ceux ayante. Posons maintenant¯ Gfi l’étoile de centre ¯e et dont les feuilles sont les voisins de¯edansGi.Gecorrespond alors au sous-graphe deΓesatisfaisant les deux propriétés suivantes :
(1) vi[¯e]∈V(Ge)si et seulement sivi[e], vi[¯e]∈V(G); (2) vi[e0]∈V(Ge)si et seulement si vi[e0], vi[¯e], vi[e]∈V(G).
À nouveau, l’idée est d’inclure dansGeles arêtes deGperdues par l’opération de fusion.
Démonstration. Le comptage des sommets de G dans ce cas est identique à celui effectué dans la preuve du lemme 14. Les changements concernent le comptage des arêtes. Le lien entre l’ensemble E(G) et les ensembles E(Ge), E(Ge) et Vl(Ge) sont illustrés dans la figure 5.7. Pour être plus précis, sivi[e], vi[¯e]∈V(G), alors les arêtes entre ces sommets et leurs voisins dans les copies indexées par vi sont comptées une fois dansE(Ge) et une fois dans Vl(Ge), et les arêtes de ces sommets vers les autres copies sont comptées une fois dans E(Gec) et une fois dans E(Ge).
De façon analogue au cas du lemme 14, une nouvelle arête pourrait être créée si pour un certain couple v1i et v2i, v1i[e], v2i[¯e]∈V(G) maisv1i[¯e], v2i[e]∈/V(G).
En reprenant les arguments de la section5.5.1, nous pouvons montrer que (1) VC-dim(Ge)≤VC-dim(G)et que (2)VC-dim(Gec)≤VC-dim(G)−1. Remarquons aussi que|V(Gec)|= 0si et seulement siGeest vide. Autrement, si une feuillevi[e0] existe dansGe, le nœud centralvi[¯e]doit aussi exister (par la seconde condition de la définition). Ces feuilles sont les voisins (dans les copies deGfi indexées par