6.5 Preuve du théorème 19
6.5.1 d-décalages de familles paires plantées
[
(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,k}
{X\ {ei, eij}}
.
Soit Y :={eij :i ∈ {1, . . . , m−1}et j ∈ {1, . . . , k}}. Nous affirmons que (e1, Y) est c-pulvérisé par S4X. Pour montrer cela, posons S30 := πQ(e1,Y)(S34X), Sij :=X\ {ei, eij} et Sij0 :=πQ(e1,Y)(Sij). Soit f :S30 →P(e1, Y) une application telle que, pour tout i∈ {2, . . . , m} et j ∈ {1, . . . , k}, f(Sij0 ) = {e1, e(i−1)j}. Alors chaque{e1, e(i−1)j}possède clairement une extension Sij0 avec une fibre non vide (Sij ∈ F(Sij0 )). Nous avons qui plus est que, pour tout Srl 6= Sij, Srl0 6= Sij0 . Par conséquent, f est surjective et nous pouvons conclure que (e1, Y) est c-pulvérisée.
Puisque |Y|= (m−1)k, nous avons cVC-dim(S34X)≥(m−1)k+ 1.
6.5 Preuve du théorème 19
Maintenant posées les remarques et définitions des sections précédentes, nous pouvons avancer sur la preuve du résultat principal. Nous commençons la preuve par la définition du double décalage (d-décalage) qui sera notre adaptation du décalage classique, introduit dans la preuve de HAUSSLER [99] (voir chapitre2), aux familles paires plantées. Nous montrons que l’opération de d-décalages satis-fait les mêmes propriétés essentielles (1), (2) et (3) que le décalage classique et que le résultat d’une séquence complète de d-décalages est toujours un bouquet de demi-cubes (famille plantée paire particulière que nous définirons plus loin).
Nous montrons que la dégénérescence du graphe de 1,2-inclusion de tels bou-quetsB est bornée par d2, où d := cVC-dim(B). Nous concluons la preuve du théorème en considérant des familles pairesS quelconques et en appliquant les arguments précédents aux familles paires plantées S4A, avec A un ensemble deS tel quecVC-dim(S4A) = cVC-dim∗(S).
6.5.1 d-décalages de familles paires plantées
Un double décalage (ou d-décalage) d’une famille paire plantée S ⊆ 2X res-pectivement à un 2-ensemble {ei, ej} ∈ 2X est une application ϕij : S → 2X remplaçant chaque ensembleS deS incluant{ei, ej}et tel queS\ {ei, ej}∈/ S
6.5 Preuve du théorème 19
par l’ensembleS\ {ei, ej}: ϕij :S →2X
S 7→
S\ {ei, ej}, if{ei, ej} ⊆S etS\ {ei, ej}∈/S
S, sinon. .
Lemme 20. Soit S ⊆ 2X une famille paire plantée, soit {ei, ej} ⊆ X un 2-ensemble, et soitG1,2(S) =G= (V, E)etG1,2(ϕij(S)) =G0 = (V0, E0)les graphes de 1,2,-inclusion respectifs de S et de ϕij(S). Alors |V|=|V0| et |E| ≤ |E0|.
Démonstration. Le fait qu’un d-décalage ϕij préserve le nombre de sommets d’un sous-graphe induit de demi-cube est évident d’après sa définition. Il nous suffit donc de démontrer que ϕij ne peut pas diminuer le nombre d’arêtes. Pour cela, nous allons étendre ϕij à une application injective ψij : E → E0. Nous dirons qu’une arête SS0 de G est stable siϕij(S) =S et ϕij(S0) =S0. Dans le cas contraire, nous dirons que l’arête est décalable. Chaque arête stableSS0 est sa propre image par ψij (c.-à-d., ψij(SS0) :=SS0).
Considérons à présent une arête décalable SS0 de E. Remarquons que dans ce cas, {ei, ej} ⊆S ou{ei, ej} ⊆S0. Afin de définirψij(SS0), nous devons distinguer deux cas selon que {ei, ej} ne soit un sous-ensemble que d’une extrémité (S ou bien S0) de l’arête ou bien des deux.
Cas 10. {ei, ej} ⊆ S et {ei, ej} 6⊆ S0 (le cas {ei, ej} ⊆ S0 et {ei, ej} 6⊆ S est équivalent à un renommage près de S et S0).
Étant donné que {ei, ej} 6⊆S0, nous avons forcément ϕij(S0) =S0. Puisque SS0 est décalable, ϕij(S)6=S (c.-à-d., ϕij(S) =S\ {ei, ej}=:Z). Nous devons à nouveau considérer deux cas, selon qu’un unique élément (ei ou bien ej) appartienne àS0 ou bien les deux.
Sous-cas 10.1. ei ∈ S0 et ej 6∈ S0 (le cas ej ∈ S0 et ei 6∈ S0 est similaire). Dans ce cas, il existe un élément ek ∈ X tel que S4S0 = {ej, ek}. Remarquons que S 6⊆S0 car ej 6∈S0 etej ∈S. Par conséquent, ou bien S0 ⊆S, ou bien il existe un A ⊂ X tel que S0 = A∪ {ek} et S = A∪ {ej}. Dans le premier cas, nous avons S =S0∪ {ej, ek},Z =S0∪ {ek} \ {ei}etZ4S0 ={ei, ek}. Dans le second cas, nous avonsZ =A\ {ei} etZ4S0 ={ei, ek}. Quoi qu’il en soit,|Z4S0|= 2 etZS0 ∈E0. Nous posons alors ψij(SS0) :=ZS0.
Sous-cas 10.2. ei 6∈S0 et ej 6∈S0. AlorsS4S0 ={ei, ej}et doncS\ {ei, ej}= Z = S0. Mais nous obtenons alors une contradiction avec le fait que SS0 soit décalable (c.-à-d.,Z =ϕij(S) ne peut pas appartenir à S).
Cas 20. {ei, ej} ⊆S et {ei, ej} ⊆S0.
Posons Z := S \ {ei, ej} et Z0 := S0 \ {ei, ej}. Alors Z et Z0 appartiennent tous deux àϕij(S) etZZ0 définit une arête de G0. PuisqueSS0 est décalable, au moins l’un des ensembles Z ouZ0 n’appartient pas à S.
Sous-cas 20.1. Z, Z0 ∈/S. Alors ϕij(S) =Z etϕij(S0) =Z0 et ZZ0 est une arête deG0. Dans ce cas, nous posons ψij(SS0) :=ZZ0.
Sous-cas 20.2. Z ∈S et Z0 ∈/ S (le cas Z /∈ S et Z0 ∈ S est similaire). Alors ϕij(S) =S, ϕij(S0) =Z0 etZZ0 est une arête de G0 mais pas de G. Dans ce cas, nous posons ψij(SS0) :=ZZ0.
Il nous reste maintenant à démontrer que l’applicationψij :E →E0 est injective.
Supposons, par l’absurde, queG0 contienne une arête ZZ0 qui soit l’image de deux arêtes distinctesSS0 et CC0 de G(c.-à-d., ψij(SS0) =ψij(CC0) =ZZ0). Puisqu’au moins l’une des arêtes SS0 et CC0 est distincte de ZZ0, nous pouvons conclure d’après la définition d’un d-décalage que ZZ0 n’est pas une arête de G. Disons Z0 ∈/ S. Cela implique aussi que SS0 et CC0 sont toutes deux décalables.
Cas 100.Z /∈S.
De par la définition de l’application ψij, et puisque Z, Z0 ∈/ S, les deux arêtes SS0 et CC0 se trouvent dans le sous-cas 20.1. Cela montre que Z = S \ {ei, ej}, Z0 =S0\ {ei, ej} et Z = C\ {ei, ej}, Z0 = C0 \ {ei, ej}. Cela conduit au fait que S =C etS0 =C0. C’est une contradiction avec l’hypothèse SS6=CC0.
Cas 200.Z ∈S.
À un renommage approprié près des ensembles S, S0, C et C0, nous pouvons supposer queϕij(S) =ϕij(C) =Z et que ϕij(S0) =ϕij(C0) =Z0. Puisque Z0 ∈/S, nous déduisons directement de la définition deψij queS0 = Z0∪{ei, ej}= C0. Aussi, puisqueZ ∈S, nous avons soitS =C =Z, ce qui contredit le choix deSS0 6= CC0, soit S\ {ei, ej} =C =Z (ou la possibilité symétrique C\ {ei, ej} =S =Z), ce qui contredit le fait que SS0 (ou CC0) soit décalable.
Cela montre que l’application ψij : E → E0 est injective, et nous permet de conclure que |E| ≤ |E0|.
Lemme 21. Si ϕij dénote une application de d-décalage d’une famille paire plantée S ⊂2X, alorscVC-dim(ϕij(S))≤cVC-dim(S).
Démonstration. Soit (e, Y) une paire c-pulvérisée par Sij := ϕij(S) (rappelons que Y ⊂ X et que e /∈ Y). Soient S0 := πQ(e,Y)(S) et Sij0 := πQ(e,Y)(ϕij(S)).
De par la définition de la c-pulvérisation, il existe une application surjective f associant chaque élément de Sij0 à un 2-ensemble {e, e0} ∈ P(e, Y). Nous allons
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définir une fonctiong de S0 versSij0 et l’utiliser pour construire une opération de c-pulvérisation f0 :=f◦g deS0 vers P(e, Y). Soit Se0 ∈Sij0 un ensemble tel que f(Se0) ={e, e0}. Si Se0 appartient à S0, alors le 2-ensemble {e, e0} possède aussi une extension dans S0 et nous pouvons poserg(Se0) :=Se0. SiSe0 n’appartient pas à S0, cela signifie qu’il existe un ensemble S ∈ S tel que S 6=ϕij(S), et ϕij(S) est dans la fibre F(Se0) de Se0 respectivement à πQ(e,Y) dans Sij. L’ensemble S est dans la fibre F(S0) d’un certain ensemble S0 ∈ S0 respectivement à πQ(e,Y). Puisque ϕij(S)⊆S, nous avons que Se0 ⊆S0 et que S0 ∈S0 est une extension du 2-ensemble {e, e0}. Nous pouvons donc poser g(S0) :=Se0. De plus, pour chaque ensemble S0 ∈S0\Sij0, il existe un ensemble S∈F(S0) tel que ϕij(S)6=S. Dans ce cas, il existe un ensemble Se0 ∈ Sij0 tel que ϕij(S)∈ F(Se0). Nous définissons alors g(S0) :=Se0. Comme ϕij(S)⊂S, nous avons Se0 ⊆S0.
La fonction g est surjective par définition et elle envoie chaque ensemble de S0 soit sur lui-même, soit sur un sous-ensemble de lui-même. Puisque f est une opération de c-pulvérisation,f0 :=f◦gen est aussi une et (e, Y) est c-pulvérisée par S. En conclusion, cVC-dim(ϕij(S))≤cVC-dim(S) car chaque (e, Y) c-pulvérisée par Sij est aussi c-pulvérisé parS.
f
f0=f◦g g
Q(e, Y) F(Se0)
F(S0)
∅ Se0 Y ∪ {e}
ϕij(S)
{e} {e, e0}
S0 S
Figure 6.4 – Pour la preuve du lemme21.