arête uv de Gi, toutes les arêtes de Γ reliant deux sommets de formes respec-tives (x1, . . . , xi−1, u, xi+1, . . . , xm) et (x1, . . . , xi−1, v, xi+1, . . . , xm) sont appelées arêtes de typeuv (voir la figure1.5). De même, les extrémités de ces arêtes sont respectivement appelées dessommets de typeuou de typev.
G
1Le résultat suivant est un simple exercice de dénombrement, mais il sera utile par la suite. fixer chaque coordonnée sauf lai-ième, et |Ei| arêtes dans Gi. D’où le résultat.
1.2 Produits cartésiens de graphes
1.2.1 Hypercube comme produit cartésien
L’hypercube Qm de dimensionm (ou m-cube), illustré en figure 1.4, peut être défini de nombreuses façons. Nous le définissons ici comme le produit cartésien dem copies du graphe complet K2 (c.-à-d.,Qm =K2· · ·K2). Ladimension m deQm pourra aussi être dénotéedim(Qm). Nous donnerons quelques définitions équivalentes dans des sections suivantes. Le résultat ci-dessous est bien connu (voir, par exemple, [95, Lemme 3.2] ou [90]) :
Théorème 1. Soit G= (V, E) un sous-graphe induit d’hypercube. Alors
|E|
|V| ≤log2|V|.†
Démonstration. Soit m la dimension de l’hypercube Qdont Gest un sous-graphe.
Montrons l’inégalité par induction sur le nombre de sommets deG, le cas de|V|= 1 est trivial. Supposons donc |V| ≥2 et choisissons n’importe quel facteur K2 deQ et nommons u et v ses sommets. Nous pouvons constater que les arêtes de type uv induisent une coupe de G(c.-à-d., leur suppression déconnecte G). Posons A le côté de la coupe formé par les sommets de type u,B celui formé par ceux de type v, et E(A, B) l’ensemble des arêtes de la coupe. Alors |V| = |V(A)|+|V(B)| et l’un de A ou deB doit contenir au plus la moitié des sommets de G. Supposons
|V(A)| ≤ |V|/2. Nous considérons les hypothèses d’inductions suivantes :|E(A)| ≤
|V(A)|log|V(A)|et |E(B)| ≤ |V(B)|log|V(B)|. Nous avons
|E| = |E(A)| + |E(B)| + |E(A, B)|
≤ |V(A)|log|V(A)| + |V(B)|log|V(B)| + |V(A)|
≤ |V(A)|log(|V|/2) + |V(B)|log|V| + |V(A)|
= |V|log|V|
Notons que cette borne est atteinte siG est un hypercube, mais qu’elle peut être arbitrairement éloignée de la vérité.
1.2.2 Graphes de Hamming
Un graphe de Hamming est un produit cartésien de cliques de tailles quel-conques. Un graphe de Hamming produit dedcliques de taillekest notéH(d, k).
L’hypercube de dimension d est donc le cas particulier du graphe de Hamming H(d, k).
†. Dans tout ce manuscrit, les logarithmes de base non spécifiée seront supposés en base 2.
Théorème 2. Soit G = (V, E) un sous-graphe induit du graphe de Hamming Γ :=Kk1· · ·Kkm et soit ω := max{ki : 1≤i≤m}. Alors
|E|
|V| ≤ωlogω|V|.
Démonstration. La preuve est tout à fait similaire à celle du théorème 1. Nous choisissons ici n’importe quel facteur Kkj de Γ ainsi qu’un sommet u de ce facteur.
Nous posons alors A l’ensemble des sommets de type u de G, B l’ensemble des sommets restant, et E(A, B) l’ensemble des arêtes entre A et B. Nous pouvons remarquer queA ne peut pas contenir plus de |V|/ω sommets (car il correspond au sous-graphe de Gdans une desω copies deKk1· · ·Kkj−1Kkj+1· · ·Kkm). De plus, chaque sommet de A peut être voisin d’au plusω sommets de B. Les mêmes calculs que précédemment conduisent au résultat annoncé.
Remarque 3. Dans le chapitre 5(section 5.4), nous montrerons une généralisation des théorèmes1et2aux sous-graphes de produits cartésiens de graphes quelconques.
1.2.3 Classes de parallélisme et plongement dans l’hypercube
La relation de parallélisme Θ, a été introduite par DJOKOVI ´C [69] pour le cas des graphes bipartis, puis elle a été étendue aux graphes quelconques par WINK
-LER [152]. Cette relation joue un rôle important dans la caractérisation struc-turelle des sous-graphes isométriques ou convexes d’hypercubes, ainsi que dans les plongements de graphes dans des produits cartésiens (comme nous le ver-rons dans la section suivante). Commençons par voir la notion introduite par DJOKOVI ´Cpour démontrer le théorème suivant :
Théorème 3 (Djoković [69]). Un graphe G= (V, E) est un sous-graphe isomé-trique d’hypercube si et seulement si G est biparti, connexe et WG(u, v) :={x∈V :
dG(x, u)<dG(x, v)} est convexe pour tout choix de uv ∈E.
Considérons un graphe biparti G = (V, E). Deux arêtes uv et xy sont en re-lation Θ si et seulement si xy a une extrémité dans WG(u, v) et l’autre dans WG(v, u).
Remarque 4. Lorsque G est un sous-graphe isométrique d’hypercube, Θ est la clôture transitive de la relation Θ0 telle que uvΘ0xy si uvxyest un C4 (carré) de G.
Lorsque G est un sous-graphe d’hypercube Q, les classes d’équivalence par Θ définissent des coupes. En fait, chacune de ces coupes détermine un facteur dans l’hypercube canonique. Si, de plus, G est isométrique dans Q, alors pour toute arêteuv, la coupe induite par la classe d’équivalenceΘ(uv) contenant uv
1.2 Produits cartésiens de graphes
sépareGen deux ensembles convexes{WG(u, v), WG(v, u)}. Ces deux ensembles complémentaires WG(u, v) et WG(v, u) sont alors appelés des demi-espaces. Ré-ciproquement, pour chaque séparation de G en deux ensembles convexes, il existe une arête uv telle que {WG(u, v), WG(v, u)} corresponde à cette sépara-tion. Nous dénotons par {Θi : i ∈ I = {1, . . . ,dim(Q)}} l’ensemble des classes d’équivalences de la relationΘ, appeléesclasses de parallélismepar BARTHÉLEMY
et CONSTANTIN [26] (voir la figure 1.6, droite). Pour une classe d’équivalence Θi, nous dénotons par{Ai, Bi}la séparation convexe associée. Lorsqueu∈Ai et v ∈Bi, nous disons queΘisépareles sommetsuetv. Le plongement isométrique ϕdeGdans un hypercube est alors obtenu en choisissant un sommet de basex de Gqui sera envoyé sur∅ parϕ(ϕ(x) := ∅) puis, pour chaque autre sommet y,ϕ(y)consiste en l’ensemble des classes de parallélisme deΘ qui séparentyde x. C’est-à-dire :
ϕ : V → 2I
y 7→ {i: Θi séparexdey}
Nous pouvons remarquer que ce plongement dans l’hypercube peut en fait être effectué pour tout graphe biparti dans lequel, pour chaque arête uv, WG(u, v) etWG(v, u) sont convexes. Et c’est exactement ainsi que DJOKOVI ´C [69] caracté-rise les graphes admettant un plongement isométrique dans l’hypercube dans le théorème3(voir figure 1.6, droite).
Par la suite, la relation Θ a été étendue par WINKLER [152] des graphes bi-partis aux graphes quelconques de la façon suivante : uvΘxy si et seulement si dG(u, x) + dG(v, y) 6= dG(u, y) + dG(v, x) (où xy et uv sont au sein d’une même composante connexe). Θ∗ correspond alors à la clôture transitive de Θ. Dans le cas des sous-graphes d’hypercubes, les relations Θ de WINKLER et de DJO
-KOVI ´C coïncident et, de plus, Θ = Θ∗. Cependant, la relation de WINKLER est plus générale. En effet,uvΘ∗xysi et seulement sixypossède une extrémité dans WG=(u, v) := {x ∈ V : dG(x, u) = dG(x, v)} et l’autre dans WG(u, v) ou dans WG(v, u)(voir l’illustration1.6, gauche).
Remarque 5. Lorsque Gest un sous-graphe isométrique de graphe de Hamming, Θ correspond alors à la fermeture transitive de Θ00 qui met en relation les arêtes uv et xy étant soit opposées dans un carré, soit dans un même triangle.
WINKLER [152] donne alors un analogue pour les produits cartésiens deK3 au théorème 3pour les produits cartésiens deK2 :
Théorème 4 (Winkler [152]). Un graphe G= (V, E) est un sous-graphe isomé-trique de H(d,3) (pour un certain d∈N∗) si et seulement si Θ = Θ∗.
WG(u, v) WG(v, u) WG=(u, v)
u v
x y
Θ1
Θ2 Θ3
∅
{1}
{3}
{2,3}
{1,2,3}
{1,2}
Figure 1.6 – À gauche, deux arêtes (uv et xy) en relation Θ. Ici WG(u, v) = WG=(x, y), WG(v, u) =WG(y, x) et WG=(u, v) =WG(x, y). À droite, un plongement isométrique d’un C6 dans un Q3.
CHEPOI[46] a ensuite caractérisé entièrement les sous-graphes isométriques de graphes de Hamming.
Théorème 5(Chepoi[46]). Un grapheG= (V, E)est un sous-graphe isométrique de graphe de Hamming si et seulement si, pour toute arête uv ∈E, les ensembles
WG(u, v), WG(v, u) et WG=(u, v) ainsi que leurs complémentaires sont convexes.
1.2.4 Facteurs premiers et irréductibles, plongement canonique
Un graphe Gest dit premier s’il est non-trivial et qu’il ne peut pas être repré-senté comme un produit cartésien de deux graphes non-triviaux. Autrement dit, pour toute représentation deGcommeG1G2,G1 ouG2 doit être unK1.
Proposition 4. Tout graphe non-trivial G admet une décomposition en un produit cartésien d’au plus log2|V(G)| graphes premiers.
Démonstration. Un graphe non-trivial contient au moins deux sommets donc, si nous posonsk le nombre de facteurs non-triviaux dans la décomposition deG, nous obtenons 2k≤ |V(G)|.
Si G est un graphe quelconque, sa décomposition en produit cartésien de graphes premiers n’est pas toujours unique (voir [95, chapter 6] et figure 1.7).
Elle l’est lorsqueGest connexe selon le résultat suivant montré indépendamment par SABIDUSSI [138] et VIZING [149].
Théorème 6 (Sabidussi-Vizing[138,149]). Tout graphe connexe et fini Gadmet une unique représentation en produit cartésien de facteurs premiers (à isomorphisme et ordre des facteurs près).
1.2 Produits cartésiens de graphes
Figure 1.7 – Factorisation (non unique) en produit de facteurs premiers. Exemple de deux graphes (non connexes) isomorphes (composés de Qi décon-nectés pour i= 0, . . . ,5), admettant deux factorisations distinctes en produit de facteurs premiers : (Q0 ∪ Q1 ∪ Q2)(Q0 ∪ Q3) et (Q0∪Q2∪Q4)(Q0∪Q1).
Un plongement isométrique ϕ : G → G1· · ·Gk est irredondant si, pour tout i ∈ {1, . . . , k}, Gi n’est pas trivial et si, pour tout v ∈ V(Gi), G contient un sommet de type v dans sont plongement. Autrement dit, les facteurs sont non-triviaux et chacun de leur sommet est nécessaire (sur au moins une copie) pour représenter G. Un graphe G est irréductible si, pour tout plongement irre-dondant de G dans un produit cartésien G1· · ·Gk, l’un des Gi est isomorphe à G et tous les autres sont triviaux. Remarquons qu’un graphe irréductible est nécessairement premier, mais que la réciproque n’est pas vraie.
Théorème 7 (Graham et Winkler [91], plongement isométrique canonique).
Pour tout graphe fini G, il existe un ensemble G1, . . . Gk de facteurs irréductibles et un plongement isométrique de G dans G1· · ·Gk, et ces facteurs sont uniques.
La preuve du théorème7 (détaillée dans les livres de DEZAet LAURENT [66]
ou HAMMACK, IMRICH et KLAVŽAR [95]) donne aussi un algorithme efficace pour calculer le plongement canonique. En effet, notonsΘ∗1,. . . ,Θ∗k lesΘ∗-classes d’arêtes d’un graphe fini G = (V, E). Pour chaque Θ∗-classe Θ∗i, nous posons Gi := (V, E \Θi). Pour une partition P des sommets de G, le graphe quotient G/P est le graphe ayantP comme ensemble de sommets et dans lequel deux sommets P et P0 sont reliés si et seulement s’il existe une arête de G entre P et P0. Pour chaque Gi, nous posons Pi := {P1i, . . . , Ptii} sa partition en compo-santes connexes maximales et nous définissons l’application ϕi : V → Pi par ϕi(v) :=Pji, avecv ∈Pji. Alors l’application
ϕ : V → P1× · · · ×Pk
v 7→ (ϕ1(v), . . . , ϕk(v))
Définit un plongement isométrique canonique deGdans le produit cartésien de graphes irréductiblesG/P1· · ·G/Pk (voir la figure1.8).