Projections et représentants

Nous décrivons ici la structure des projections des sommets sur les bordures de leurs fibres voisines. Nous justifions ensuite que les sommets dans les pan-neaux n’auront qu’un nombre constant de “représentants” sur leur bordure, bien que ces panneaux soient 1-voisins d’un nombre arbitraire de cônes. C’est l’objet du lemme51, similaire dans le principe au lemme32pour les graphes médians sans cube.

Lemme 49. Soient F(x) une fibre et u∈V \F(x). Alors la projection métrique Π :=Pr(u, F(x)) =Pr(u, ∂^∗F(x)) est un arbre induit de G.

8.5 Fibres des graphes pontés sansK₄

Démonstration. Puisque la projection métrique de u sur F(x) appartient à une frontière qui est elle-même un arbre étoilé (par le lemme 48, Π est une forêt étoilée (c.-à-d., un ensemble d’arbres étoilés). Nous allons donc montrer qu’elle est connexe dans T :=∂^∗F(x) (c.-à-d., Π est un arbre étoilé). Pour ce faire, nous devrons en fait montrer la propriété plus forte que deux sommets a et b dans des branches distinctes de Π ne peuvent pas être reliés par une arête de G. (c.-à-d., Π est un arbre induit de G). Soient v, w ∈ Π. Nous supposons par l’absurde que v et w ne soient pas connectés par un chemin dans T. Puisque T est un arbre étoilé (et enraciné en x), deux cas sont à considérer selon les positions respectives de v et w dans T.

Supposons, tout d’abord quew soit un ancêtre dev (ou vice-versa). Alors tous les sommets de la branche de v entre v etw sont sur un plus court (v, w)-chemin (car T est étoilé) et sont à distance au moins k+ 1 := d_G(u, v) + 1 = d_G(u, w) + 1 de u (puisqu’ils ne sont pas dans sa projection), cela contredit la convexité de la bouleB_k(u). Rappelons que chaque branche deT est induite dans G, nous vérifions donc bien, jusqu’ici que Π est un arbre induit dans G.

Considérons maintenant que v et w soient sur des branches distinctes de T, et appelons t leur plus proche ancêtre commun. Soit (v⁰, w⁰, t⁰) un quasi-médian de v, w et t. Du fait que T soit un arbre étoilé, que t⁰ ∈ I(v, t)∩I(w, t) et que t soit le plus proche ancêtre commun de v et w, nous déduisons que t = t⁰. Nous affirmons que tous les sommets de T entre v etv⁰, entre v⁰ et w⁰, et entre w⁰ etw appartiennent à Π. En effet, ils sont tous sur un plus court (v, w)-chemin. Or, la boule Bk(u) est convexe et v, w∈Bk(u). Comme tous ces sommets appartiennent aussi à T, nous en déduisons qu’ils sont tous à distance k de u. Nous voulons maintenant montrer que v⁰ = w⁰ = t, cela conduira à une contradiction avec le fait que v et w ne soient pas connectés dans T. Supposons, par l’absurde, que v⁰ 6= w⁰ en considérant une arête ab sur le chemin entre v⁰ et w⁰ dans (v⁰, w⁰, t).

Rappelons que, d’après le théorème 10, d_G(a, x) = d_G(b, x) =: l. Puisque a ∼b et dG(a, u) = dG(b, u) =k, il doit exister un sommet c∼a, b à distance k−1 de u, et ce sommet est dans une fibre F(y) voisine de F(x). Par le lemme 44, l’une des fibres doit être un cône et l’autre un panneau.

Obtenons d’abord une contradiction dans le cas F(x) panneau et F(y) cône.

Par la condition du triangle appliquée à a, b et x, il existe un sommetd ∼a, bà distance l−1 dex. Par le lemme 43, deux sous-cas sont à considérer : d_G(c, y) =l et dG(c, y) =l−1. Si dG(c, y) =l, alors dG(c, y) = dG(y, d) = l et dG(b, y) =l+ 1.

La convexité de B_l(y) implique donc c∼ d, et alors {a, b, c, d} induit un K₄. Si d_G(c, y) = l−1, considérons le sommet x⁰ ∼ y, x dans I(z, y). Alors d_G(c, x⁰) = dG(d, x⁰) = l, mais dG(b, x⁰) =l+ 1. De par la convexité de Bl(x⁰), nous déduisons que c∼d. Donc {a, b, c, d} induit un K₄.

Supposons maintenant queF(x) soit un cône et F(y) un panneau. De nouveau

par le lemme43, il nous faut considérer les sous-cas d_G(c, y) =let d_G(c, y) =l+1. Si d_G(c, y) =l, alors d_G(c, y) = d_G(d, y) =l et d_G(b, y) =l+1 impliquent quec∼dde par la convexité deB_l(y). Donc {a, b, c, d} induit un K₄. Enfin, si d_G(c, y) = l+ 1, considérons un sommet e ∼ c dans F(y) sur un plus court (c, y)-chemin, et considérons le sommety⁰ ∼x, y dans I(x, z). Alors d_G(b, y⁰) = d_G(e, y⁰) = l+ 1 et d_G(c, y⁰) = l+ 2. De la convexité de B_l+1(y⁰) suit que e ∼ b. De la même façon, nous montrons quea∼e. Par conséquent, {a, b, c, e} induit un K₄.

Nous obtenons donc, dans chaque cas (illustrés dans la figure8.6), que l’existence d’une arêteab entrev⁰ etw⁰ est contradictoire. Donc v⁰ =w⁰ =t ett∈Π.

Figure 8.6 – Aide à la lecture des quatre cas pour montrer t∈Π dans la preuve du lemme 49.

Lemme 50. Soient F(x) une fibre et u∈V \F(x). Il existe un unique sommet u⁰ dans Π :=Pr(u, F(x)) à distance minimum de x. De plus, dΠ(u⁰, v)≤dG(u, u⁰) = d_G(u, v) pour tout v ∈Π (où d_Π(u⁰, v) est un abus de notation pour d_G(Π)(u⁰, v)).

Démonstration. L’unicité de u⁰ est due au fait que Π soit un sous-arbre enraciné de l’arbre étoilé (par rapport àx) T :=∂^∗F(x). En effet, toute paire de sommets (a, b) de Π possède un plus proche ancêtre commun dans Π qui coïncide avec le plus proche ancêtre commun dans T, or ce dernier doit être plus proche dex que a etb (ou à égale distance sia =x oub =x).

Considérons un sommet v ∈Π. L’égalité k := dG(u, u⁰) = dG(u, v) est vérifiée par définition de Π en tant que projection métrique u sur F(x). Supposons, par l’absurde, que d_G(u⁰, v) ≥ k+ 1. Alors I(v, u⁰) =: P est un chemin montant de longueur au moinsk+1 dans un arbre étoilé. Par la condition des triangles appliquée àu et à chaque paire de sommets voisins de P, nous dérivons au moins k sommets.

Par des arguments similaires à ceux fournis dans la preuve du lemme 38, nous pouvons montrer que chacun de ces (au moinsk) sommets est distinct des autres (sinon, nous aurions un raccourci dans P). Toujours comme dans la preuve du lemme 38, nous pouvons montrer que ces sommets forment un chemin et, par induction sur ce nouveau chemin plus court, nous pouvons montrer qu’alors (u, v, t) forme un triangle métrique non-équilatéral, ce qui n’est pas possible.

8.5 Fibres des graphes pontés sansK₄

Autrement formulé, le lemme50établit que chaque branche de l’arbre Π est de longueur inférieure ou égale àd_G(u, u⁰).

Lemme 51. Soit u un sommet d’un graphe ponté G= (V, E), sans K₄, et soit T un arbre étoilé enraciné en r∈V. Soient u₁ et u₂ les deux sommets extrémaux par rapport à r des deux chemins montants de I(u, r)∩T (il y en a au plus deux par le lemme 41). Alors, pour tout v ∈T,

min{d_G(u, u₁) + d_T(u₁, v),d_G(u, u₂) + d_T(u₂, v)} ≤2·d_G(u, v)

Démonstration. Supposons que mini∈{1,2}{d_G(u, u_i) + d_T(u_i, v)} soit atteint pour i= 1. Soitx∈T le plus proche ancêtre commun deu1 etv. Notons que, par le lemme 41, nous savons que v /∈I(u, r), à moins que v =x. Mais nous pouvons supposer quev 6=x, car autrement nous aurions directement d_G(u, v) = d_G(u, u₁) + d_T(u₁, v).

Considérons un quasi-médian (u⁰, v⁰, r⁰) du triplet (u, v, r) (voir figure8.7). Nous pouvons faire les deux remarques suivantes :

(1) T étant étoilé, I(r, v) est l’une de ses branches, et v⁰ appartient donc à cette branche. Si v⁰ ∈ I(r, x), alors v⁰ ∈ I(u1, r)∩I(v, r) implique que v⁰ = x et que d_G(u, u₁) + d_T(u₁, v⁰) + d_T(v⁰, v) = d_G(u, v). En effet, si v⁰ = x, alors v⁰ ∈I(u, r) (carx∈I(u, r)). Donc d_G(u, u₁) + d_G(u₁, v⁰) = d_G(u, v⁰). Aussi, comme T est étoilé, dG(u1, v⁰) = dT(u1, v⁰) et dT(v⁰, v) = dG(v⁰, v). Enfin, comme v⁰ est dans le quasi-médian entre u et v, il est sur un plus court (u, v)-chemin. Donc d_G(u, u₁) + d_T(u₁, v⁰) + d_T(v⁰, v) = d_G(u, v⁰) + d_G(v⁰, v) = d_G(u, v). Considérons donc que v⁰ ∈I(x, v).

(2) T étoilé et r⁰ ∈ I(v, r) impliquent que r⁰ est sur la branche I(v, r) de T. Mais comme r⁰ ∈ I(u, r), et comme I(x, v)∩I(u, r) = {x}, nous en déduisons que r⁰ est entre r et x. Comme r⁰ ∈ I(u⁰, r)∩I(u₁, r), et u₁, u⁰ ∈ I(u, r), nous montrons que d_G(u, u⁰) + d_G(u⁰, r⁰) = d_G(u, u₁) + d_T(u₁, r⁰). En effet, u⁰ ∈I(u, r⁰) car il est dans le quasi-médian de (u, v, r) ; u₁ ∈ I(u, r⁰) par définition, donc les distances entre u et r⁰ en passant par u1 et en passant par u⁰ sont égales : d_G(u, u⁰) + d_G(u⁰, r) = d_G(u, u₁) + d_G(u₁, r⁰). Enfin, comme T est étoilé (et r⁰ appartient à T), d_G(u₁, r⁰) = d_T(u₁, r⁰).

Du fait que le quasi-médian (u⁰, v⁰, r⁰) soit équilatéral, nous avons aussi 2·dG(u, v)≥dG(u, u⁰) + dG(u⁰, r⁰) + dT(r⁰, v)

= d_G(u, u₁) + d_G(u₁, r⁰) + d_T(r⁰, v)

= d_G(u, u₁) + d_T(u₁, v)

En termes plus informels, siu appartient à une fibreF(x) etT := ∂^∗F(x), et si u stocke seulement des informations relatives à u₁ etu₂, alors les plus courts