Dans un schéma d’étiquetage d’adjacence (ou ALS pour “adjacency labeling scheme”) pour une famille de graphes G, la fonction de décodage DG : {0,1}∗ ×
3.2 Schémas d’adjacence
{0,1}∗ → {0,1}a accès aux étiquettes binaires de deux sommets deGet retour-nera1si et seulement si les sommets qu’elles encodent sont adjacents.
Les premiers schémas d’étiquetage étudiés s’intéressaient aux requêtes d’ad-jacence. BREUER [38], notamment, a prouvé que les sommets de tout graphe G peuvent être étiquetés de sorte que leur adjacence (et leur distance) puisse être déduite de la distance de Hamming entre leurs étiquettes. Une telle repré-sentation peut cependant utiliser des étiquettes particulièrement longues. Par la suite, ce problème est étudié à nouveau sous le nom deschéma d’étiquetage d’ad-jacence ou de représentation implicite de graphe par MULLER [120] et KANNAN, NAOR et RUDICH [106]. Leur but est alors de rendre ces représentations “effica-ces”. En effet, pour que le fait de distribuer la représentation d’un graphe sur ses sommets présente un réel intérêt, les auteurs demandent que les informations locales stockées soient courtes et décodables en temps raisonnable. En fait, KAN
-NAN, NAOR et RUDICH [106] ajoutent à la définition d’un schéma d’étiquetage que les étiquettes doivent être de longueur poly-logarithmiques en le nombre de sommets du graphe, et que leur décodage doit s’effectuer en temps polynomial en cette longueur (c.-à-d., en temps poly-logarithmique en la taille du graphe).
Cette définition d’efficacité semble raisonnable, car tous les graphes n’admettent pas d’étiquetage sous ces conditions.
Proposition 5 (Kannan, Naor et Rudich[106]). Une famille de graphes sur n sommets dont le cardinal est supérieur à2Ω(nlogn)n’admet pas de schéma d’adjacence efficace.
Précisons que, dans leur définition, KANNAN, NAOR et RUDICH, supposent aussi que les étiquettes attribuées sont uniques. Notons aussi qu’en conséquence de la proposition 5, les graphes biparties et les graphes cordaux, en particulier, n’admettent pas de schéma efficace.
3.2.1 Arboricité et densité
Nous continuons avec la notion d’arboricité et son lien avec la densité des graphes (au sens où nous l’avons définie dans la section 1.1.3). Comme nous le verrons, cette notion est assez centrale dans la plupart des résultats sur les schémas d’adjacence et des graphes universels (induits) que nous aborderons ensuite.
L’arboricité a(G) d’un graphe G correspond au nombre minimum de forêts nécessaires pour couvrir toutes les arêtes deG. Le théorème classique de NASH -WILLIAMS[121] établit que les graphes de faible arboricité sont “creux” (“sparse”).
C’est-à-dire qu’ils ne possèdent pas de sous-graphes “denses”. Autrement dit, l’ar-boricité d’un graphe est étroitement liée à sa densité.
Théorème 9 (Nash-Williams[121]). Les arêtes d’un graphe G= (V, E)peuvent être partitionnées en k forêts si et seulement si |E(H)| ≤k(|V(H)| −1) pour tout sous-graphe H de G. C’est-à-dire,
a(G) = max
H⊆G
&
|E(H)|
|V(H)| −1
'
Remarque 8. Bien que le nombre de sous-graphes d’un graphe quelconque Gsoit exponentiel, le calcul de l’arboricité deG peut se faire en temps polynomial par un résultat de Gabowet Westermann[77].
KANNAN, NAORet RUDICH[106] ont démontré la proposition suivante : Proposition 6. La famille de graphes avec n sommets d’arboricité k admet un schéma d’étiquetage d’adjacence utilisant (k+ 1)dlogne bits.
Démonstration. En effet, la fonction d’encodage d’un schéma d’adjacence sur G attribuera à chaque sommet d’un graphe G∈G un identifiant unique (deO(logn) bits) et y concatènera celui de son père dans chacune des k forêts nécessaires à la couverture des arêtes de G. Étant données deux étiquettes, la fonction d’enco-dage retournera 1 si et seulement si l’identifiant d’un des sommets apparaît dans l’ensemble des pères de l’autre (voir la figure3.1).
Assez récemment, ALSTRUP, DAHLGAARD et KNUDSEN [9] ont proposé un schéma d’adjacence pour la famille des forêts ànsommets utilisant des étiquettes dedlogne+O(1)bits, et autorisant un décodage en temps constant. Ce résultat est donc optimal (à constante additive près) et il clôture, en quelque sorte, une série de papiers (CHUNG [62] et ALSTRUP et RAUHE [15], entre autres) attei-gnant des longueurs d’étiquettes delogn+O(log logn)bits, puislogn+O(log∗n) bits.
000100 010110
100010 111110
Figure 3.1 – Étiquetage d’adjacence d’un graphe dont les arêtes sont couvertes par deux forêts. La partie noire d’une étiquette correspond à l’iden-tifiant unique du sommet, les parties rouge et bleue correspondent respectivement à l’identifiant de son père dans les forêts rouge (de racines 01 et 11) et bleue (de racines 00 et 10).
Ainsi, en utilisant la proposition 6 de KANNAN, NAOR et RUDICH [106], bor-ner la densité (et donc l’arboricité) d’un graphe fourni un bon moyen obtenir
3.2 Schémas d’adjacence
des bornes supérieures sur la longueur des étiquettes attribuées par un schéma d’adjacence. C’est ce qui a initialement motivé les travaux que nous présentons dans la partie II. Dans certain cas, cette borne supérieure peut être largement sous-optimale. Par exemple, les graphes complets sont d’arboricité maximale, pourtant un schéma d’adjacence est trivial à établir pour eux. Pour autant, des schémas basés sur une couverture par les arbres peuvent donner des résultats optimaux (à constante multiplicative près) ou, à défaut, les meilleurs que l’on soit parvenu à obtenir. C’est notamment le cas pour les graphes planaires (dont l’arboricité est inférieure ou égale à 3, en conséquence assez directe de la for-mule d’Euler1), des graphes avec mineur exclu, ou des sous-graphes d’hyper-cubes (dont l’arboricité est logarithmique, comme nous l’avons vu dans le cha-pitre1). Plus exactement, le meilleur schéma d’adjacence actuel pour les graphes de mineur exclu fixé (dont les graphes planaires sont un exemple) est dû à GA
-VOILLE et LABOUREL [81]. Il est basé, non pas sur une décomposition en forêt, mais sur une décomposition en graphes de largeur arborescente bornée, dont les auteurs montrent qu’ils admettent un schéma d’adjacence utilisant des étiquettes de(1 +o(1)) lognbits. Les graphes planaires, en particulier, sont décomposables en deux tels graphes.
3.2.2 Graphes universels
La notion de graphe universel, introduite par RADO [135] en 1964, est la sui-vante. Un grapheU estuniverselpour une famille de graphesG (ouG-universel) si tout grapheG∈G est isomorphe à un sous-graphe deU. Nous pouvons remar-quer qu’une clique avec n sommets est un graphe universel pour la famille des graphes avec n sommets. Cependant, le problème intéressant consiste à trouver, pour une famille de graphes G, un graphe G-universel U avec un nombre mi-nimal d’arêtes. L’une des motivations originelles justifiant l’intérêt des graphes universels réside dans la conception de circuits intégrés (voir, par exemple, les travaux de VALIANT[147] ou BHATT et LEISERSON[29]).
Un grapheU estG-universel induit s’il contient tous les graphes deG en tant que sous-graphes induits (voir la figure3.2). Dans le cas des graphes universels induits, le but est alors de minimiser le nombre de sommets.
Dans « Universal graphs and induced-universal graphs » [62], CHUNG établit des liens entre graphe universel “simple” et son pendant induit. Elle donne, en particulier, des bornes sur le nombre d’arêtes et de sommets d’un graphe G-universel induit, par rapport à ceux d’un graphe G-universel (où G est une famille de graphes quelconques). De ces résultats, elle déduit des bornes infé-rieures et supéinfé-rieures sur le nombre de sommets d’un graphe universel induit
1. #sommets−#arêtes+#faces= 2 pour tout graphe planaire
Figure 3.2 – Exemple d’un graphe universel induit (en bleu) pour la famille des graphes planaires avec au plus 4 sommets (graphes noirs).
pour des familles de graphes d’arboricité bornée, dont les arbres et les graphes planaires sont d’importants représentants.
Dans « Implicit representation of graphs » [106], KANNAN, NAOR et RUDICH
remarquent que les notions de schéma d’adjacence et de graphe universel in-duit sont étroitement liées. En effet, une famille de graphesG admet un schéma d’adjacence utilisant des étiquettes de k bits si et seulement s’il existe un gra-pheG-universel induit possédant2k sommets. Sachant cela, SLEATOR et TARJAN
[142] déduisent de leur schéma d’adjacence optimal pour les forêts une borne supérieure deO(n)nœuds pour le graphe universel induit des forêts dennœuds.
Cette borne supérieure améliore leur précédent résultat (présenté dans « Small induced-universal graphs and compact implicit graph representations » [15]) de n2O(log∗n), et elle atteint la borne inférieure (fournie dans ce même papier pré-cédent) de Ω(n). Il en découle que la famille des graphes à n sommets, dont les arêtes peuvent être couvertes park forêts, admet un graphe universel induit avec Θ(nk) sommets. Une partie des résultats optimaux actuels concernant les graphes universels induits pour les familles des graphes généraux, bipartis ou planaires, entre autres, sont rappelés dans « Adjacency Labeling Schemes and Induced-Universal Graphs » [14]. Ce papier est toutefois consacré à la présen-tation d’un étiquetage d’adjacence des graphes (non-orientés) généraux avec n sommets utilisant des étiquettes den/2 +O(1)bits. Les auteurs en déduisent que la famille des graphes généraux den sommets admet un graphe universel induit avecO(2n/2)sommets, ce qui est asymptotiquement optimal. En effet, une borne inférieure de 2n−12 pour cette famille de graphes est facile à obtenir puisque le nombre de graphes (différents) avecnsommets est d’au moins2(n2)/n!(ce genre d’argument de comptage est souvent utilisé pour obtenir des bornes inférieures).