CKI [134]). Autrement dit, le complexe systolique associé à un graphe ponté G n’est, en général, pas CAT(0). Il le devient lorsqueGest sansK4.
Remarque 14. De nouveau, les (3,6)-graphes planaires étudiés par Chepoi, Dragan et Vaxès[53] pour un schéma de distance contiennent les graphes pontés sansK4 planaires. Dans le chapitre8nous étudions des graphes pontés sans K4, ce sont des (3,6)-graphes non-planaires.
4.4 Courbure et théorème de Gauss-Bonnet
Nous rappelons ici un peu de vocabulaire et notations de géométrie (discrète), de sorte à pouvoir énoncer le théorème de Gauss-Bonnet qui nous sera utile dans le chapitre 8. Soit G = (V, E) un graphe planaire. Nous dénotons par ∂G le cycle délimitant sa face externe. Considérons les cycles minimaux (c.-à-d., dont l’intérieur ne contient aucun sommet), de longueur k, de Gcomme des k-gones réguliers que nous appelons des faces. Si nous voyons ces polygones comme des polygones réguliers du plan euclidien, alors la valeur de chaque angle doit être
k−2
k π. Pour toutv ∈G,α(v)dénote la somme des angles des coins des polygones de G contenant le sommet v. C’est-à-dire que, si l’on pose C(v) l’ensemble des cycles deGcontenantv, alors
α(v) := X
C∈C(v)
|V(C)| −2
|V(C)| π
Pour tout v ∈ ∂G,τ(v) :=π−α(v), et pour toutv ∈ G\∂G, κ(v) := 2π−α(v).
Ces valeurs deκ(v)ouτ(v)mesurent donc l’écart entre les angles des polygones autour de v (tels qu’ils sont) et 2π (qui est la valeur qu’ils devraient atteindre si ces polygones étaient “réellement” plongeables dans le plan euclidien). Un coin de Gest un sommet v ∈ ∂G tel que τ(v) > 0 et unsommet interne deG est un sommet dans G\∂G. Le grapheG sera respectivement dit de courbure positive, nulle ou négative si κ(v) < 0, κ(v) = 0 ou κ(v) > 0 pour tout sommet interne v deG. Une version discrète du théorème de Gauss-Bonnet (voir Combinatorial Group Theory[115]) établit la formule suivante (pour un graphe planaireG) : Théorème 16 (Gauss-Bonnet).
X
v∈∂G
τ(v) + X
v∈G\∂G
κ(v) = 2π.
2π5 2π
5
2π 5
2π 5
-
10π-
10π-
10π-
10π-
4π15-
4π15π3 π3
-
10π π15
2π5
-
10π2π5
Figure 4.6 – Théorème de Gauss-Bonnet et calcul des valeurs de τ et κ pour les sommets d’un graphe planaire G. Les valeur affichées sont celles de κpour les sommets internes (en rouge), et celles de τ pour les autres (les coins sont en vert, et les sommets restant en bleu).
4−10π+2−4π15+42π5 +2π3+2−10π+22π5 +15π = 2π.
Deuxième partie
Densité et arboricité
Dans cette partie, nous nous intéressons à majorer la densité des graphes de deux familles pouvant être vues commes des généralisations des sous-graphes d’hypercubes : les graphes de produits cartésiens de graphes ; et les sous-graphes de demi-cubes. Nous pouvons noter que la motivation initiale des tra-vaux de cette partie est donnée par le théorème 9 de NASH-WILLIAMS [121] et la proposition 6de KANNAN, NAOR et RUDICH [106] abordés dans le chapitre 3.
En effet, ces deux résultats établissent que borner la densité d’un graphe permet directement de déduire une borne supérieure sur la longueur des étiquettes lui étant attribuées par un schéma d’adjacence (basé sur une couverture par des forêts).
Dans le chapitre 5, nous commençons par généraliser les théorèmes 1 et 2 (bornant la densité des sous-graphes d’hypercubes et de graphes de Hamming) aux sous-graphes de produits cartésiens de graphes. Nous étendons ensuite la notion de VC-dimension pour les sous-graphes de produits cartésien d’arêtes (c.-à-d., les hypercubes) aux sous-graphes de produits cartésiens de graphes quel-conques. Nous utilisons cette nouvelle définition pour obtenir une généralisation du théorème8en adaptant la preuve par induction de HAUSSLER, LITTLESTONE
et WARMUTH [100] (présentée en section2.4.1). Plus précisément, nous démon-trons les deux théorèmes suivants :
Théorème (17). Soit G = (V, E) un sous-graphe d’un produit cartésien de m graphes connexes G1, . . . , Gm. Alors
|E|
|V| ≤ dmax{deg∗(G1), . . . ,deg∗(Gm)}e ·log|V|,
où deg∗(Gi) dénote le degré moyen maximum de Gi (introduit en section 1.1.3).
Théorème (18). Soient H un graphe quelconque et G = (V, E) un sous-graphe d’un produit cartésien de m graphes connexes G1, . . . , Gm n’admettant pas H pour mineur. Alors,
|E|
|V| ≤µ(H)·VC-dim∗(G)≤µ(H)·log|V|,
où µ(H)est une constante universelle majorant le degré moyen des graphes excluant le mineur H, et où VC-dim∗(G) est une notion de VC-dimension généralisée aux produits cartésiens de graphes (que nous introduisons dans le chapitre 5).
En fin de chapitre, nous précisons les bornes supérieures des deux théorèmes précédents pour certaines familles de graphes. Nous nous intéressons en par-ticulier aux sous-graphes de produits cartésien de graphes cordaux (englobant les graphes pontés que nous étudierons dans la partieIII), ainsi qu’aux produits cartésiens d’octaèdres.
Comme nous l’avons vu dans le chapitre1, le théorème7de GRAHAMet WINK
-LER[91] indique que tout graphe connexe et finiGadmet un unique plongement isométrique dans un produit cartésien de graphes premiers. Ainsi, nos résultats ont une nature plus générale et montrent qu’il suffit de borner la densité des gra-phes premiers. Pour la plupart des classes fréquemment étudiée en théorie mé-trique des graphes, les graphes premiers ont une structure particulière (voir, par exemple, le “survey” de BANDELT et CHEPOI[23]). Par exemple, les graphes pre-miers pour les sous-graphes isométriques d’hypercubes sont desK2. De ce fait, la densité des sous-graphes isométriques d’hypercubes (et, plus généralement, des sous-graphes d’hypercubes) est majorée par leur VC-dimension. Rappelons aussi que SHPECTOROV[141] a démontré que les graphes premiers des graphes admet-tant un plongement avec distorsion consadmet-tante dans l’hypercube sont exactement les sous-graphes d’octaèdres et les sous-graphes isométriques de demi-cubes (que nous traitons dans le second chapitre de cette partie (le chapitre 6).
Dans le chapitre6, nous prouvons un analogue du théorème8 pour les sous-graphes de demi-cubes. Nous adaptons la notion de VC-dimension à cette famille de graphes, et nous la nommons alors clique-VC-dimension. En nous inspirant de la preuve par décalage de HAUSSLER [99] (présentée en section2.4.2), nous montrons le théorème suivant :
Théorème (19). Soit G = (V, E) un sous-graphe de demi-cube induit par une famille d’ensemble S, et soit d la clique-VC-dimension de S. Alors
|E|
|V| ≤ d 2
!
.
Sous-graphes de produits cartésiens
Sommaire
5.1 Résultats principaux . . . 73 5.2 Préliminaires . . . 74 5.2.1 Sous-produits, extensions et fibres . . . 74 5.2.2 Mineurs et sous-produits mineurs . . . 76 5.3 VC-dimension et VC-densité . . . 76 5.4 Preuve du théorème 17 . . . 79 5.5 Preuve du théorème 18 . . . 80 5.5.1 Propriétés de la VC-dimension et de la VC-densité . . . 81 5.5.2 Preuve du théorème 18 . . . 87 5.6 Classes spéciales de graphes . . . 88 5.6.1 Graphes de dégénérescence bornée. . . 89 5.6.2 Graphes de degré moyen poly-logarithmique . . . 89 5.6.3 Produits de graphes démontables . . . 90 5.6.4 Produits de graphes cordaux . . . 91 5.6.5 Produits d’octaèdres . . . 91 5.7 Application aux schémas d’adjacence . . . 93 Dans ce chapitre, nous étendons les deux résultats classiques, théorèmes1et 8, sur la densité des sous-graphes d’hypercubes aux sous-graphesG de produits cartésiensG1· · ·Gmde graphes connexes quelconques. Plus précisément, nous montrons que |E(G)||V(G)| ≤ dmax{deg∗(G1), . . . ,deg∗(Gm)}elog|V(G)|. Nous intro-duisons des notions de VC-dimension VC-dim(G) et de VC-densité VC-dens(G) pour les produits cartésiens qui généralisent la notion classique de dimension de Vapnik-Chervonenkis pour les sous-graphes d’hypercubes. Nous prouvons que, si G1, . . ., Gm appartiennent à la classe G(H) des graphes connexes finis n’ad-mettant pas le graphe H comme mineur alors, pour tout sous-graphe G de G1· · ·Gm, l’inégalité plus fine |E(G)||V(G)| ≤ µ(H) VC-dim(G) est vérifiée, où µ(H) est une constante majorant la densité des graphes de G(H). Nous raffinons en-suite ces résultats pour des classes de graphes plus spécifiques. Enfin, nous
dédui-5.1 Résultats principaux
sons de nos résultats des bornes (certaines poly-logarithmiques) sur la taille d’éti-quettes de schémas d’adjacence pour les sous-graphes de produits cartésiens.
5.1 Résultats principaux
L’objectif principal de ce chapitre est de généraliser les deux théorèmes clas-siques1et8sur la densité des sous-graphes d’hypercubes aux sous-graphesGde produits cartésiens G1· · ·Gm de graphes connexes quelconques. Nous allons montrer les deux résultats suivants :
Théorème 17. SoitGun sous-graphe d’un produit cartésien demgraphes connexes G1, . . . , Gm. Posons
β := dmax{deg∗(G1), . . . ,deg∗(Gm)}e
et β0 := dmax{deg∗(π1(G)), . . . ,deg∗(πm(G))}e. Alors
|E(G)|
|V(G)| ≤β0log|V(G)| ≤βlog|V(G)|.
Étant donné un grapheH, nous dénotons par G(H) l’ensemble des graphes finis n’admettant pas de sous-graphe mineur isomorphe àH. Si les facteurs d’un produit cartésien Γ appartiennent tous à G(H), la généralisation suivante du théorème8est vérifiée :
Théorème 18. Soient H un graphe quelconque et G un sous-graphe d’un produit cartésien Γ de m graphes connexes G1, . . . , Gm appartenant à G(H). Alors,
|E(G)|
|V(G)| ≤µ(H)·VC-dim∗(G)≤µ(H)·log|V(G)|,
où µ(H) est une constante majorant le degré moyen des graphes de G(H).
Nous faisons en fait la conjecture plus forte qui suit. Elle sera en partie mo-tivée par le lemme 10de la section 5.5.1 qui précise queVC-dens∗(G) ≤ µ(H)2 · VC-dim∗(G).
Conjecture 1. Si G est un sous-graphe d’un produit cartésien G1· · ·Gm, alors
|E(G)|
|V(G)| ≤VC-dens∗(G).
Dans la section 5.2, nous définissons les sous-produits qui peuvent être vus comme une généralisation des restrictions de coordonnées dans les hypercubes.
Comme dans le cas des graphes de 1-inclusion de la section2.2, nous définissons
ensuite ce que nous appelons des fibres et des extensions (relativement à ces sous-produits). Dans la section5.3, nous définissons la notions de VC-dimension que nous considérerons. Une preuve du théorème17est donnée dans la section 5.4. La preuve du théorème 18 fait l’objet de la section 5.5 dans laquelle nous donnons aussi quelques propriétés basiques des notions de VC-dimension et de VC-densité pour les sous-graphes de produits cartésiens. En section 5.6, nous raffinons les résultats des théorèmes 17 et 18 dans le cas de quelques familles particulières de graphes. Enfin, en section 5.7, nous présentons une application de nos résultats à l’élaboration de borne supérieures sur les étiquettes attribuées par des schémas d’adjacence pour les sous-graphes de produits cartésiens de graphes, ce qui constituait l’une des motivations initiales de ce travail.