Representació de la multiplicació i la divisió de fraccions

A l’hora de resoldre multiplicacions i divisions de fraccions, es poden utilitzar representacions diferents que poden ajudar a comprendre aquestes operacions i també a deduir els algoritmes presentats al subapartat anterior.

Representació de la multiplicació de fraccions

En aquest subapartat es veurà que, depenent de la interpretació de fracció que es tingui en compte, es poden fer servir representacions diferents per ensenyar a multiplicar fraccions.

Model d’àrea

Hi ha diversos autors (Lamon, 2012; Musser et al., 2011; Petit et al., 2010; Flores i Torralbo, 2011; Siebert i Gaskin, 2006; Van de Walle et al., 2010) que proposen el model d’àrea com un dels models per representar la multiplicació de fraccions.

Van de Walle et al. (2010) argumenten que aquest model és adequat perquè és menys avorrit que fer particions d’una longitud, permet observar visualment que el resultat de multiplicar dues fraccions pot ser més petit que les dues fraccions i és un bon model per representar l’algoritme estàndard de la multiplicació de fraccions. Lamon (2012) diu fins i tot que “els models d’àrea, tal com una àrea rectangular, són els millors per introduir la multiplicació de fraccions” (p. 155).

No tots els autors aposten per aquest model per ensenyar la multiplicació de fraccions.

Segons Wu (2009), quan els alumnes operen amb nombres enters, tenen com a referència l’ús dels dits; amb les fraccions, en canvi, es fa servir com a model la pizza o el pastís. Però, per aquest autor, per a les fraccions més grans que 1 o per a les operacions amb fraccions, aquest model és poc adequat.

A la figura 3.31 es presenta un exemple d’aquesta representació per calcular la multiplicació x . Primer, es representa la fracció en un rectangle i, després, de les nou desenes parts se’n marquen les dues terceres parts.

Figura 3.31.Multiplicació de les fraccions i mitjançant el model d’àrea. Adaptat de “Elementary and Middle School Mathematics. Teaching Developmentally”, de J. A. Van de Walle et al., 2012, p. 319. Boston, MA: Pearson Education.

A vegades cal utilitzar els processos de partició i iteració per poder resoldre la multiplicació de fraccions (Siebert i Gaskin, 2006), ja que directament no es poden agafar les parts de la primera fracció. Un exemple d’aquest cas es mostra a la figura 3.32. Primer es representa la fracció en un rectangle. Cal agafar parts de , però, segons la interpretació de Siebert i Gaskin, és 3 vegades . Per tant, cal prendre una quarta part de . Per això, cal dividir les dues cinquenes parts en quatre parts iguals. D’aquestes quatre parts, se n’agafen tres i s’obté el resultat de la multiplicació: .

Figura 3.32.Multiplicació de les fraccions i mitjançant el model d’àrea i utilitzant el procés de partició.

Adaptat de “Creating, Naming, and Justifying Fractions”, de D. Siebert i N. Gaskin, 2006,Teaching Children Mathematics, April, p. 399.

En la interpretació de la multiplicació de fraccions com una composició d’operadors també es pot utilitzar el model d’àrea presentat en els exemples anteriors (Lamon, 2012).

Model de grup

9 10

2

3 x _{10 =}⁹ ₁₀⁶

però amb un conjunt discret d’objectes. Per exemple, si es vol representar la multiplicació x , primer es representa la fracció en un model de grup i després cal prendre les tres cinquenes parts d’aquestes dues terceres parts dels objectes (vegeu figura 3.33).

Figura 3.33. Multiplicació de les fraccions i mitjançant el model de grup. Adaptat de “Elementary and Middle School Mathematics. Teaching Developmentally”, de J. A. Van de Walle et al., 2012, p. 319. Boston, MA: Pearson Education.

Representació de la divisió de fraccions

En aquest subapartat es veurà que, depenent de la interpretació de fracció que es tingui en compte, es poden utilitzar diferents representacions per ensenyar a dividir fraccions.

Model d’àrea

Hi ha diversos autors (Lamon, 2012; Musser et al., 2011; Petit et al., 2010; Van de Walle et al., 2010) que proposen el model d’àrea com un dels models per representar la divisió de fraccions.

A la figura 3.34 es mostra un exemple de la representació de la divisió 1 ÷3 mitjançant el model d’àrea i la interpretació partitiva de la divisió. Aquesta divisió es pot proposar a partir del problema següent: un alumne disposa de 1 hora i per realitzar tres treballs. Vol dedicar el mateix temps a fer cada treball. De quant temps disposarà per fer cada un dels treballs?

Figura 3.34. Representació de la divisió 1 ÷ 3 mitjançant el model d’àrea. Adaptat de “Elementary and Middle School Mathematics. Teaching Developmentally”, de J. A. Van de Walle et al., 2012, p. 322. Boston, MA: Pearson Education.

parts de les fitxes són vermelles

Prenem les parts de les fitxes vermelles, s’obtenen les parts del total de fitxes

Es pot dividir cada quart en tres parts i s’obté així 15 dotzenes parts.

Les 15 dotzenes parts s’han de repartir en 3 grups. Podrà dedicar parts d’una hora a fer cada treball.

A la figura 3.35 es mostra un exemple de la representació de la divisió 2 ÷ mitjançant el model d’àrea i la interpretació quotativa de la divisió.

Figura 3.35.Representació de la divisió 2 ÷ mitjançant el model d’àrea. Extret i adaptat de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 158. Nova York, NY: Taylor & Francis.

En la interpretació de la divisió de fraccions com una composició d’operadors també es pot utilitzar el model d’àrea presentat en els exemples anteriors (Lamon, 2012).

Model de grup

El model de grup també es pot utilitzar per representar la divisió de fraccions (Van de Walle et al., 2010). Es pot seguir el mateix procés que quan s’utilitza el model d’àrea però amb un conjunt discret d’objectes.

A la figura 3.36 es mostra un exemple de la representació de la divisió 1 ÷3 mitjançant el model de grup i la interpretació partitiva de la divisió. El problema proposat és el mateix que s’ha presentat en l’exemple del model d’àrea: un alumne disposa de 1 hores per realitzar tres treballs. Vol dedicar el mateix temps a fer cada treball. De quant temps disposarà per fer cada un dels treballs?.

Es comença representant 2 .

Se subdivideix cada unitat per obtenir sisens i poder veure quants hi ha en 2 .

Es pot veure que en 2 hi ha 3 vegades i que queda . Però cal expressar respecte al divisor , és a dir, és una cinquena part de . El resultat de la divisió és 3 .

Es representa la fracció 1 . En 1 hi ha 15 fitxes, es poden posar 5 fitxes a cada un dels tres grups. Cada fitxa és d’1 hora o 5 minuts.

Per tant, la divisió 1 ÷ 3= d’ 1 hora.

Model de longitud

La recta numèrica també es pot utilitzar per representar la interpretació partitiva de la divisió. El mateix exemple de la divisió 1 ÷3 representat amb els models d’àrea i de grup es pot observar a la figura 3.37 mitjançant la recta numèrica.

Figura 3.37.Representació de la divisió 1 ÷ 3mitjançant el model de longitud. Adaptat de “Elementary and Middle School Mathematics. Teaching Developmentally”, de J. A. Van de Walle et al., 2012, p. 322. Boston, MA: Pearson Education.

La recta numèrica també és una representació per la interpretació quotativa de la divisió. Es pot veure l’exemple de com representar la divisió ÷ a la figura 3.38. cap 6 vegades en

.

Figura 3.38.Representació de la divisió ÷ .

D’ara endavant, quan en aquest treball es parli de model, s’entendrà que es fa referència a una representació amb objectes, imatges o contextos reals simulats.