El model Mathematical Knowledge for Teaching

Ball et al. (2008) fan un pas endavant a l’hora de definir què s’entén per coneixement del contingut (content knowledge) i coneixement didàctic del contingut (pedagogical content knowledge) en el cas de l’ensenyament de les matemàtiques. A aquest efecte, porten a terme dos projectes: “Mathematics Teaching and Learning to Teach” i “Learning Mathematics for

camí per investigar la naturalesa, el rol i la importància dels diferents tipus de coneixement matemàtic per a l’ensenyament” (Ball et al., 2008; p. 390).

Ambdós projectes volen estudiar quin és el coneixement matemàtic necessari per a l’ensenyament, tal com diu el nom del seu model, entenent aquest coneixement com el coneixement matemàtic per portar a terme la tasca d’ensenyar matemàtiques. Això significa que no focalitzen les investigacions només en els temes del currículum escolar que volem que els nens aprenguin, sinó que les dirigeixen a estudiar quin és el coneixement que necessiten els mestres per ensenyar de manera efectiva:

Com que sembla obvi que els professors han de conèixer els temes i procediments que ensenyen – primers, fraccions equivalents, funcions, translacions i rotacions, factorització, etc.–, hem decidit centrar-nos en la manera com els professors han de conèixer aquest contingut. A més a més, volem determinar què més han de saber sobre matemàtiques i com i on podrien utilitzar aquest coneixement matemàtic a la pràctica. (Ball et al., 2008; p. 395)

Des d’aquesta perspectiva, el subjecte d’aquests estudis no és el mestre, sinó la “tasca d’ensenyament” (work of teaching), un concepte utilitzat per Ball, Hill i Bass (2005) i Ball et al.

(2008) en el sentit que apareix en els estudis de Ball i Lampert (citats a Ball et al., 2005), els quals analitzen què fan els mestres quan ensenyen matemàtiques.

Per ensenyament, Ball et al. (2005) entenen “totes les coses que fan els mestres per donar suport a la instrucció dels alumnes” (p. 17) o, dit d’altra manera, “totes les coses que els mestres han de fer per donar suport a l’aprenentatge dels alumnes” (Ball et al., 2008; p.

395). Es refereixen tant a la feina d’ensenyar lliçons a l’aula com a altres tasques presents durant el curs: planificar classes, avaluar la feina dels alumnes, parlar amb els pares, preparar els deures, atendre la diversitat, etc. Segons Kilpatrick, Swafford i Findell (citat a Ball et al., 2005; p. 17), “cadascuna d’aquestes tasques implica un coneixement de les idees matemàtiques, habilitats de raonament i comunicació matemàtica, agilitat amb exemples i termes i consideració sobre la naturalesa del domini matemàtic”.

Un altre concepte que guia les investigacions de Ball i els seus col·legues a l’hora de definir el coneixement matemàtic necessari per a l’ensenyament i també les de Shulman per definir el concepte de coneixement didàctic del contingut és el de “psicologització” de la disciplina (“psychologizing” the subject matter)de Dewey (Ball et al., 2005; Ball et al., 2008). Aquest mateix autor precisa: “«psicologització» del contingut veient les estructures de la disciplina mentre s’aprèn i no només en la seva forma lògica acabada” (Ball et al., 2005; p. 21). És en aquest sentit que els mestres haurien de ser capaços d’ajudar els alumnes a entendre una idea i no només saber contestar les preguntes amb contingut matemàtic, i aquí pren importància el discurs dels mestres per provocar comprensió en els alumnes i per no potenciar les idees errònies (Ball et al., 2005).

Basant-se en diferents estudis qualitatius de l’ensenyament i dels resultats de “Study of Instructional Improvement”, Ball et al. (2008) desenvolupen i validen com mesurar el coneixement matemàtic per a l’ensenyament i arriben a la conclusió que el coneixement matemàtic necessari per a l’ensenyament és multidimensional. Hill et al. (citat a Ball et al., 2008) ho defineixen així: “L’habilitat matemàtica general no és suficient per al coneixement i les habilitats que s’impliquen en l’ensenyament de les matemàtiques” (p.396). En el marc presentat, Ball et al. (2008) defineixen l’estructura del coneixement matemàtic per a l’ensenyament (Mathematical Knowledge for Teaching) a partir de sis categories:

-El coneixement comú del contingut (common content knowledge, CCK) fa referència al coneixement matemàtic i les tècniques que s’utilitzen en àmbits diferents de l’ensenyament.

“Els mestres necessiten saber allò que ensenyen; saber reconèixer quan els alumnes donen respostes incorrectes o quan els llibres de text donen definicions inexactes. [...] En resum, han de ser capaços de fer la feina que assignen als alumnes” (p. 399). El terme comúno vol dir que tothom l’utilitzi; vol dir que es fa servir en altres àmbits i que, per tant, no és específic de l’ensenyament.

-El coneixement especialitzat del contingut (specialized content knowledge, SCK) “és el coneixement i l’habilitat matemàtica únics per a l’ensenyament” (p. 400). Els mestres han de ser capaços de descomprimir el coneixement matemàtic de manera que els alumnes el comprenguin i puguin després utilitzar idees i procediments matemàtics més complexos.

Alguns exemples de maneres com els mestres descomprimeixen el coneixement matemàtic els trobem quan fan servir el llenguatge matemàtic correctament, escullen i utilitzen les representacions efectivament i expliquen i justifiquen idees matemàtiques.

De fet, un dels resultats més importants de Ball et al. (2008) és que l’ensenyament de les matemàtiques requereix aquesta forma especialitzada de coneixement “pur” del contingut:

Potser el més interessant per nosaltres ha estat l’evidència que l’ensenyament requereix una forma especialitzada del coneixement pur de la disciplina: «pura» perquè no està barrejada amb el coneixement dels alumnes o de pedagogia i és, per tant, diferent del coneixement didàctic del contingut identificat per Shulman i els seus col·legues, i «especialitzada» perquè no s’utilitza en àmbits diferents de l’ensenyament de les matemàtiques. Aquesta singularitat és el que fa especial aquest coneixement del contingut. (p. 396)

-El coneixement del contingut i dels alumnes (knowledge of content and students, KCS) “és un coneixement que combina coneixement sobre els alumnes i coneixement sobre les matemàtiques. Els mestres haurien d’anticipar què és probable que pensin els alumnes i què els confondrà” (p. 401). Els mestres cal que sàpiguen anticipar quins exemples interessaran

-El coneixement del contingut i de l’ensenyament (knowledge of content and teaching, KCT)

“combina coneixement sobre l’ensenyament i coneixement sobre les matemàtiques. [...] És una amalgama que mescla una idea o un procediment matemàtic específic i la familiaritat amb els principis pedagògics per a l’ensenyament d’aquest contingut concret” (p. 402). El coneixement del contingut i de l’ensenyament, per exemple, requereix saber quins exemples escollir perquè els alumnes aprofundeixin en la comprensió d’un contingut, avaluar quina representació és més adequada per ensenyar una idea concreta o quina tasca triar en funció del que es vol ensenyar.

-El coneixement del contingut i del currículum (knowledge of content and curriculum) fa referència a la categoria de currículum de Shulman (1986), explicada en l’apartat anterior.

-El coneixement de l’horitzó del contingut matemàtic (horizon content knowledge o horizon knowledge) és el que fa referència a les relacions entre els temes matemàtics. Per exemple, un mestre ha de saber les relacions que hi ha entre els continguts que estan aprenent els seus alumnes en un curs i els que aprendran en els cursos següents.

Ball et al. (2008) consideren les categories de coneixement comú del contingut (CCK), coneixement especialitzat del contingut (SCK) i coneixement de l’horitzó del contingut matemàtic (horizon content knowledge) dins del coneixement de la disciplina (subject matter knowledge), mentre que les categories de coneixement del contingut i dels alumnes (KCS), coneixement del contingut i de l’ensenyament (KCT) i coneixement del contingut i del currículum, les engloben en el coneixement didàctic del contingut definit per Shulman (1986, 1987).

Tal com proposa Grossman (1990), la categoria de coneixement del contingut i del currículum s’ha considerat, si bé provisionalment, dins del coneixement didàctic del contingut, però no és clar si es tracta d’una categoria a part, si forma part de la categoria de coneixement del contingut i de l’ensenyament o bé si podria coincidir amb altres categories (Ball et al., 2008).

Passa el mateix amb la categoria de coneixement de l’horitzó del contingut. Ball et al.

(2008) no estan segurs que formi part del coneixement de la disciplina, ja que podria ser una categoria que coincidís amb d’altres. Fernández, Figueiras, Deulofeu i Martínez (2011) refinen el concepte d’horitzó del contingut matemàtic avançant en la línia de definir el paper d’aquest coneixement en l’esquema del coneixement matemàtic per a l’ensenyament (MKT).

A la figura 3.2 es mostra l’estructura del coneixement matemàtic per a l’ensenyament proposat per Ball et al., (2008) que classifica les sis categories explicades més amunt en coneixement de la disciplina i coneixement didàctic del contingut.

Domains of Mathematical Knowledge for Teaching (MKT)

(Subject Matter Knowledge) (Pedagogical Content Knowledge)

Figura 3.2. Esquema dels dominis del coneixement matemàtic per a l’ensenyament (MKT). Extret de

“Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special?”, de D. L. Ball et al., 2008, Journal of Teacher Education,59(5), p. 403.

Ball et al. (2008) concreten molt més el model de Shulman (1987) en el cas de l’ensenyament de les matemàtiques. Aquesta concreció pot ajudar a l’hora d’implementar tant programes de desenvolupament professional dels mestres en exercici com programes de formació inicial.

Tot i la concreció d’aquest model respecte als dominis del coneixement matemàtic per a l’ensenyament, es fan necessàries més revisions, ja que els mateixos autors hi detecten problemes. El primer rau en el fet que el model s’emmarca en la pràctica dels mestres. En situacions d’ensenyament en què els mestres han de fer ús de les matemàtiques, pot passar que aquestes situacions es puguin gestionar utilitzant tipus de coneixement diferents: un mestre pot fer servir el coneixement especialitzat i un altre, el coneixement del contingut i dels alumnes (Ball et al., 2008).

Un problema derivat de l’anterior resulta de com mesurar el coneixement en el context en què s’utilitza per poder estudiar amb més detall el paper d’aquestes categories de coneixement en els cursos d’ensenyament (Ball et al., 2008).

També és un problema relacionat amb l’anterior el fet de delimitar les categories: “No sempre és fàcil discernir on se separa una de les nostres categories de la següent, i això afecta la precisió (o la manca de precisió) de les nostres definicions” (Ball et al, 2008; p.

403). Hi ha temes matemàtics en què no és fàcil diferenciar quin coneixement és coneixement comú del contingut o bé coneixement especialitzat del contingut.

Common

3.2.2 Altres models del coneixement del professorat en l’ensenyament de les