Aspectes unificadors

Tot i les diferents interpretacions dels nombres racionals, hi ha alguns aspectes unificadors que permeten fer connexions entre aquestes interpretacions. Aquests aspectes unificadors

3.3.4.1 El concepte d’unitat

Segons Carpenter et al. (1993), les distincions entre les diferents interpretacions depenen de com se seleccionen les unitats. A més, “el concepte d’unitat no només serveix com a factor unificador per als subconstructes dels nombres racionals; també és fonamental per comprendre altres temes matemàtics centrals, com ara la mesura i el valor de posició” (p.

3).

El concepte de fracció va estretament relacionat amb el concepte d’unitat. “En altres paraules, una fracció s’hauria d’interpretar en relació amb la unitat especificada o entesa”

(Petit et al., 2010; p.41). Però el concepte d’unitat comporta dificultats per als alumnes. Fins que no comencen a aprendre les fraccions, els alumes es refereixen a la unitat com a un sol objecte. En les fraccions, però, la unitat es pot referir a un objecte, a un grup d’objectes o un grup d’objectes empaquetats. En cada situació la unitat pot ser una cosa diferent: una unitat poden ser 3 cercles, però també 2 cercles. Quan la unitat són 3 cercles, la meitat és 1

½ cercles; en canvi, la meitat de 2 cercles és 1 cercle. És una idea que explica Lamon (2012) i il·lustra amb una imatge (vegeu figura 3.15).

Figura 3.15. Representació de diferents unitats i de la meitat d’aquestes unitats. Adaptat de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 21.Nova York, NY: Taylor & Francis.

Un altre aspecte que, segons Lamon (2012), comporta dificultats és que la mateixa quantitat pot tenir un nom diferent en funció de la unitat escollida, tal com es pot observar a la figura 3.16.

Figura 3.16. La mateixa quantitat pot tenir un nom diferent en funció de la unitat escollida. Extret de

“Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 22. Nova York, NY: Taylor & Francis.

= 1 unitat

És ¾ si la unitat és

És 3/8 si la unitat

Un tercer element que cal tenir en compte és que no hi ha un únic símbol per referir-se a la part d’una unitat: , i d’una mateixa unitat representen la mateixa quantitat (Lamon, 2012).

Lligat al concepte d’unitat, cal parlar dels diferents tipus d’unitats amb els quals es poden ensenyar fraccions. La dificultat d’un problema pot variar depenent del tipus d’unitat que hi apareix. Lamon (2012) esmenta els següents:

 Un element continu (com un pastís)

 Més d’un element continu (com tres pastissos)

 Un o més elements continus en què hi ha les marques d’una partició (com una xocolatina)

 Objectes discrets (com un grup de caramels)

 Objectes discrets que normalment estan col·locats d’una manera especial (com ous en una ouera)

 Unitats compostes (com un paquet de xiclets)

Schwartz (2008), en canvi, diferencia dos tipus d’unitats de les quals es poden fer parts fraccionàries: un tot numèric (quantitats) i un tot geomètric (formes). Schwartz diu que, depenent de la situació, es té el tot numèric o geomètric, encara que poden haver-hi situacions en què la unitat es pot interpretar de totes dues maneres. Per exemple, si es demana calcular part d’una hora, tant es pot pensar en la unitat com a 60 minuts (unitat numèrica) com en un cercle (unitat geomètrica).

En cada situació cal saber com referir-se a les fraccions que s’obtenen segons el tipus d’unitat que es té. Per exemple, es pot tenir una pizza o un grup de tres pizzes. En el primer cas, que la unitat és una pizza, quan ens referim a tres pizzes direm que tenim 3 (pizzes); en el segon cas, que la unitat és un grup de tres pizzes, direm que tenim 1 (paquet de tres pizzes) (Lamon, 2012). De fet, un mateix conjunt d’objectes o una unitat contínua es pot imaginar de maneres diferents; Lamon utilitza el terme unitizing per referir-se al

“procés mental de construcció de parts per pensar en una quantitat donada” (p. 104). Per exemple, si es tenen 24 llaunes, es poden pensar com a 2 paquets de 12 llaunes, 4 paquets de 6 llaunes o un sol paquet de 24 llaunes. Lamon utilitza la notació següent per fer referència a com un s’imagina un conjunt d’objectes: # de parts (mida de les parts), on # vol dir cardinal. Amb aquesta notació, l’exemple anterior de les llaunes s’escriu així: 24 llaunes = 2 (paquets de 12) = 4 (paquets de 6) = 1 (paquet de 24).

A l’hora de resoldre problemes de fraccions, però, és important que la unitat estigui definida, sigui de forma explícita o implícita. En alguns textos tradicionals, sembla que la unitat no sigui important o que sigui una qüestió de gust personal, la qual cosa pot confondre els alumnes (Lamon, 2012).

3.3.4.2 El procés de partició

“El procés de partició és l’acció de dividir” (Petit et al., 2010; p. 59) o, sent més precisos,

“en matemàtiques, el procés de partició és l’acció de dividir un conjunt o una unitat en parts que no se superposen i que no són buides” (Lamon, 2012; p. 49). En l’àmbit de les fraccions, segons Lamon, quan s’utilitza el terme partició, és necessari que les parts tinguin la mateixa àrea. És un concepte fonamental per entendre conceptes relacionats amb les fraccions, com ara comparar i ordenar fraccions, operar amb fraccions, trobar repartiments justos, fer entendre la densitat dels nombres racionals, localitzar fraccions a la recta numèrica o trobar fraccions equivalents (Lamon, 2012; Petit et al, 2010). No és estrany que nombrosos autors expliquin què s’entén pel procés de partició i quin paper té en l’aprenentatge de les fraccions (Carpenter et al., 1993; Feikes et al., 2009; Lamon, 2012;

Petit et al., 2010; Pothier i Sawada, 1983; Schwartz, 2008; Tipps, Johnson i Kennedy, 2011;

Van de Walle et al., 2010).

El procés de partició de la unitat és diferent segons la interpretació de nombre racional. En el cas de la interpretació com a mesura, els nombres racionals s’obtenen per particions de la unitat de mesura; en canvi, la fracció com a quocient es representa amb la partició de la quantitat que es vol repartir (numerador) en les parts en què s’ha de repartir (denominador) (Carpenter et al., 1993).

Lamon (2012), en la línia de guiar l’ensenyament de les particions, quan es fan repartiments segons la interpretació de fracció com a quocient, si bé esmenta que els nens poden trobar estratègies intuïtives adequades, comenta que cal recordar als alumnes les regles bàsiques següents:

 La unitat s’ha de dividir en parts iguals.

 Si una unitat està formada per més d’un element, els elements han de ser de la mateixa mida.

 Igualsignifica igual en quantitat, però les parts no sempre tenen el mateix nombre de trossos.

 Les parts iguals no han de tenir necessàriament la mateixa forma.

 Quan escollim una forma per utilitzar, per exemple, en la representació d’una coca, anticipem el nombre de trossos que necessitarem per triar la forma en conseqüència. A vegades és més fàcil utilitzar una coca rectangular en comptes d’una de circular. (p. 173)

Segons Pothier i Sawada (1983), el progrés en l’aprenentatge del concepte de partició per part dels alumnes, observat a partir d’un estudi amb quaranta-tres nens de parvulari a tercer de primària, segueix cinc nivells. Quatre d’aquests cinc nivells que proposen es detecten en les dades i el cinquè és hipotètic, el dedueixen com a conseqüència lògica dels altres nivells.

Per a cada nivell, expliquen el concepte clau, l’algoritme o procés seguit per dur a terme la partició i el domini de les habilitats de partició. El resum dels nivells de la recerca de Pothier i Sawada (1983) és el següent:

(a) Partició (nivell I): en aquest nivell apareixen les idees clau de trencament, repartiment i divisió per la meitat. El procés que se segueix és l’assignació de trossos i el domini són entorns socials i comptar nombres. En situacions de la vida quotidiana els nens aprenen a dividir objectes en meitats. Aprenen a traçar una línia en una regió i obtenir dues parts iguals, tot i que encara els falta sentit numèric. De fet, poden dir que han dividit un objecte per la meitat i obtenir-ne quatre trossos. En aquest nivell els nens donen més importància al nombre de trossos que obtenen, a l’assignació de trossos, que no pas a la mida de cada tros.

(b) Algoritme per fer meitats (nivell II): la idea clau d’aquesta fase és la partició sistemàtica en dos sense la noció d’igualtat. El procés que segueixen els nens és repetir dicotomies.

El domini són un mig i altres fraccions unitàries en què el denominador és una potència de dos. En aquest nivell aprenen a dividir un rectangle o un cercle en un nombre de parts igual a una potència de dos: dues, quatre, vuit o setze parts. Aquest procés de dividir en meitats per obtenir el nombre de parts a vegades no l’utilitzen correctament, la unitat els pot quedar dividida en tres o cinc parts. Encara no es fixen en la igualtat de les parts.

(c) Restricció als parells (nivell III): en aquest nivell les idees clau són igualtat, congruència i el fet que les dicotomies repetides prenen significat. L’algoritme present en aquest nivell és l’algoritme per fer meitats i les transformacions geomètriques. El domini són fraccions unitàries amb denominadors parells. En aquest nivell els nens tenen en compte si la repartició és justa o no, és a dir, si les parts que han obtingut tenen la mateixa mida. Encara no són capaços d’obtenir terços ni cinquens.

(d) Senars (nivell IV): Les idees clau d’aquest nivell tenen a veure amb els nombres parells i senars, amb buscar un primer moviment i amb transformacions geomètriques. Els procediments o algoritmes que utilitzen els nens que han assolit aquest nivell són les mesures exploratòries, l’assaig i error i comptar per repartir un per un els trossos. El domini són totes les fraccions unitàries. És en aquest nivell que els nens s’adonen que l’algoritme de fer meitats no sempre funciona, com ara quan volen repartir un cercle en un nombre senar de parts. De fet, els sembla que no és possible repartir una regió en un nombre de parts senar.

aconseguir quinze trossos, podrien primer dividir la regió en cinc parts i, després, cada una en tres parts. Aquest nivell, però, és teòric, ja que no s’ha observat de les dades.

En la recerca de Pothier i Sawada (1983) es mostra com l’aprenentatge del procés de partició segueix successivament cinc subconjunts de les fraccions unitàries: “La fracció , fraccions amb denominadors que són potències de 2, fraccions amb denominadors parells, fraccions amb denominadors senars i fraccions amb denominadors compostos” (p. 316).

Aquest resultat pot guiar l’ensenyament dels conceptes relacionats amb el procés de partició de la unitat.

3.3.4.3 La noció de quantitat

La noció de quantitat té relació amb el concepte explicat en el subapartat anterior, el concepte de partició de la unitat. Quan es porta a terme una partició, s’obtenen parts que es poden comptar, cosa que fa que els alumnes tractin aquestes parts com a quantitats discretes. Per tant, “per entendre el concepte de nombre racional, cal entendre que la partició deriva en una quantitat que és representada per un nou tipus de nombre. La pregunta passa de ser «quants?» a «quant?»” (Carpenter et al., 1993; p. 3-4).

Lamon (2012), en aquest sentit, diu que quan es resolen problemes de fraccions no es poden acceptar nombres. Per exemple, si es proposa un problema en què intervé una pizza, no es podria considerar acceptable la resposta “2 trossos”. Com a resposta que contesti a la pregunta “quanta pizza?” o “quina part de la pizza?”, es vol una fracció.