3 Marc teòric
3.3 Ensenyament i aprenentatge de les fraccions
3.3.3 Diferents interpretacions de les fraccions
Es produeixen moltes situacions diferents que donen significat a les fraccions, però no totes s’utilitzen per ensenyar-les: “Entendre els nombres racionals implica coordinar moltes idees i interpretacions diferents però interconnectades. Malauradament, l’ensenyament de les fraccions s’ha centrat tradicionalment en una sola interpretació dels nombres racionals, la de comparacions part–tot” (Lamon, 2012; p. 32).
Lamon (2007, 2012) proposa cinc interpretacions diferents dels nombres racionals i les formes que es poden abordar quan s’ensenyen fraccions (taula 3.1).
Taula 3.1. Diferents interpretacions dels nombres racionals.
Interpretacions de Significat Activitats de classe
seleccionades Comparació part–tot amb
divisions de la unitat
“3 parts de cada 4 parts iguals”
significa tres parts de cada quatre parts iguals de la unitat.
Respecte a les fraccions equivalents, considerar les parts en termes de trossos més grans o més petits.
pastissos = ( de pastís) = (parell de pastissos)*
Dividir quantitats en parts per produir fraccions equivalents i comparar fraccions.
Successives particions de la recta numèrica; lectura de metres i descomptes, models d’àrea per a la multiplicació i la divisió.
Quocient
“3 dividit per 4” és la quantitat que cada persona rep quan 4 persones es multiplicador més que additiu, amb 4 B.
Activitats amb fitxes bicolor
Nota. Extret de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 257. Nova York, NY: Taylor & Francis.
*Notació explicada al subapartat 3.3.4.1.
Altres autors (Clarke, Roche i Mitchell, 2008, 2011; Feikes et al., 2009; Van de Walle et al., 2010) proposen els mateixos significats de fracció que Lamon (2007, 2012): part–tot, mesura, operador, divisió i raó. Ball (1993), fent referència a diferents estudis sobre els nombres racionals, exposa que hi ha un cert consens en el fet que les fraccions es poden interpretar com a part–tot, com un nombre en la recta numèrica, com un operador, com un quocient de dos enters, com una raó o com una taxa.
Tanmateix, hi ha autors que fan altres distincions o matisacions a les interpretacions de fracció de Lamon (2012). Nesher (citat a Ball, 1993), per exemple, afegeix a les interpretacions de Lamon la fracció com a representació de probabilitats. En canvi, Haylock (2010) assenyala que les fraccions es podrien utilitzar com a mínim de quatre maneres diferents: com una part d’un tot o d’una unitat, com una part d’un conjunt, com a model d’un problema de divisió i com una raó. No inclou, per tant, la interpretació de fracció com a operador ni com a mesura.
Schwartz (2008) també proposa quatre manifestacions de les fraccions: parts fraccionàries d’un tot numèric, parts fraccionàries d’un tot geomètric, les accions de dividir i els problemes de raons i taxes. La interpretació de les parts fraccionàries d’un tot numèric coincideix amb la interpretació de fracció com a operador que proposa Lamon (2012), mentre que les parts fraccionàries d’un tot geomètric coincideix amb la interpretació de part–tot.
A l’estudi de Behr, Wachsmuth, Post i Lesh (1984) es fa referència als subconceptes de nombre racional següents: part–tot, mesura, quocient, decimal i raó. Porten a terme un projecte per desenvolupar materials d’ensenyament i avaluació referents a l’aprenentatge d’aquests subconceptes. Respecte a les interpretacions de Lamon (2012), Behr et al. no tenen en compte la fracció com a operador, però, en canvi, hi afegeixen els nombres decimals.
3.3.3.1 Fracció com a comparació part–tot
Segons Lamon (2012), una comparació part–tot fa referència a un nombre de parts iguals del total de parts iguals en què s’ha dividit la unitat: “Aquí, igual significa el mateix en quantitat, o el mateix en longitud, o el mateix en àrea, etc., depenent de la naturalesa de la unitat sencera, és a dir, si es tracta d’un recompte, d’una longitud o d’una àrea” (p. 145).
Feikes et al. (2009) consideren que la fracció com a part d’un tot té dues formes: una fracció d’un tot (continu) o una fracció d’un conjunt (discret).
A continuació s’expliquen algunes característiques de les fraccions interpretades com a part–tot segons Lamon (2012):
El símbol significa a parts de b parts iguals. Però una part no significa el mateix que una porció. [...] Per exemple, la unitat pot ser un conjunt de 18 cromos de beisbol. Aleshores, significa una part de sis parts iguals, on una part està formada per 3 cromos.
La quantitat d’una part depèn de les parts iguals que es tinguin. Si s’augmenta el nombre de
En cada problema de fraccions és important identificar la unitat i interpretar cada fracció en termes d’aquesta unitat. No es poden comparar fraccions basades en unitats diferents. Quan es fan càlculs abstractes [...] no cal preocupar-se de les unitats.(p. 145)
Per explicar la interpretació part–tot, no tots els autors es basen en la idea presentada per Lamon (2012) “d’agafar un nombre de parts iguals del total de parts en què s’ha dividit la unitat”. Siebert i Gaskin (2006) proposen explicar el concepte part–tot utilitzant la iteració i la partició. Les fraccions unitàries es podrien obtenir tant per mitjà de la iteració com de la partició. Per exemple, la fracció es pot obtenir tal com es mostra a continuació:
“-Partició: és la quantitat que obtenim mitjançant una unitat, dividint-la en 8 parts iguals i prenent-ne 1.
-Iteració: és la quantitat tal que 8 còpies d’aquesta quantitat, posades juntes, fan una unitat” (Siebert i Gaskin, 2006; p. 395).
Els mateixos autors expliquen com obtenir totes les fraccions, no només les unitàries, a partir de la partició o de la iteració. Per exemple, la fracció es pot obtenir de les maneres següents:
“-Partició: és 5 vuitens, on és la quantitat que obtenim mitjançant una unitat, dividint-la en 8 parts iguals i prenent-ne una.
-Iteració: és 5 un vuitens, on és la quantitat tal que 8 còpies d’aquesta quantitat, posades juntes, fan una unitat” (Siebert i Gaskin, 2006; p. 397).
Aquesta interpretació de Siebert i Gaskin (2006) de la fracció part–tot explicada mitjançant la partició i la iteració (s’entén que és cinc un vuitens) va més enllà de considerar la fracció com “tantes parts de les parts totals” (de 8 parts se n’agafen 5), on el numerador i el denominador no són més que nombres enters.
3.3.3.2 Representacions de la fracció part–tot
Petit et al. (2010) presenten les característiques de dos models per a l’ensenyament de fraccions com a comparació part–tot: models d’àrea (regions) i models de grup (conjunts d’objectes). Concretament, expliquen com es defineix la unitat, com es defineixen les “parts iguals” i què indica la fracció (vegeu taula 3.2).
Taula 3.2. Característiques dels models d’àrea i de grup.
Àrea igual La part coberta de tota l’àrea de la unitat
Nota. Adaptat de “A Focus on Fractions. Bringing Research to the Classroom”, de M. M. Petit et al., 2010, p.
9. Nova York, NY: Taylor & Francis.
Model d’àrea
En aquest model, el tot o unitat es defineix com una àrea o regió. Cada part té la mateixa àrea, encara que no ha de tenir la mateixa forma. La fracció fa referència a la part que es considera de la unitat. S’utilitzen tant representacions gràfiques (cercles, rectangles, pentàgons, dibuixos en paper quadriculat,...) com materials manipulatius (regions rectangulars, geoplans, blocs de patrons, papiroflèxia). Els models de peces de fracció circular són els que es fan servir més habitualment. “Un avantatge de les regions circulars és que emfasitzen el concepte part–tot de fracció i el significat de la mida relativa d’una part al tot” (Cramer, Wyberg i Leavitt, citat a Van de Walle, 2010; p. 288).
Són diversos els autors que esmenten o expliquen les característiques d’aquests materials com a model d’àrea en l’ensenyament de la interpretació de la fracció com a part–tot (Feikes et al., 2009; Lamon, 2012; Petit et al., 2010; Van de Walle et al., 2010).
Model de grup
En el model de grup, la unitat està determinada per un conjunt d’objectes, i cada part en què es divideix la unitat té la mateixa quantitat d’objectes independentment d’altres característiques (forma, mida, color,...). Com a models de grup, es poden utilitzar representacions gràfiques (dibuixos d’objectes) o materials manipulatius (monedes, fitxes de colors, pedres,...).
3.3.3.3 Fracció com a operador
segments, incrementar o disminuir el nombre d’elements d’un conjunt d’objectes o empetitir o fer més gran una figura geomètrica mantenint-ne la forma (Lamon, 2012).
“Un operador és un conjunt d’instruccions per dur a terme un procés. Per exemple, deés un operador que t’indica que cal multiplicar per 2 i dividir el resultat per 3” (Lamon, 2012;
p. 191). Però l’operador es pot interpretar com una operació d’una quantitat Q, com la multiplicació per 2 del resultat de la divisió Q : 3 o com la divisió per 3 del resultat de la multiplicació 2 x Q.
La interpretació dels nombres racionals com a operador és molt diferent de la interpretació com a part–tot. L’operador defineix la relació entre la quantitat que resulta de l’operació i la quantitat inicial: . Per exemple, 12 i 18 llaminadures estan relacionades com a dos-tres: l’operador dequan actua sobre 18 llaminadures en produeix 12 (Lamon, 2012).
3.3.3.4 Representacions de la fracció com a operador Model de grup
Utilitzar objectes discrets permet representar com actua la fracció com a operador en aquest conjunt d’objectes. Lamon (2012) presenta els dos exemples següents:
Per calcular 9/2 de 4, es pot representar amb dues operacions sobre 4 objectes. La primera operació transforma 4 objectes en 2 dividint per 2, i la segona operació és la multiplicació per 9 dels 2 objectes que s’han obtingut després de la primera operació (vegeu figura 3.10).
Figura 3.10. Representació de 9/2 de 4 estrelles. Adaptat de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 192.Nova York, NY: Taylor & Francis.
Per calcular 3/8 de 24, es pot representar agafant un grup de 24 objectes, fent-ne 8 parts iguals i, a continuació, agafar 3 parts d’aquestes 8 parts (vegeu figura 3.11).
Dividir per 2 Multiplicar per 9
Figura 3.11.Representació de 3/8 de 24 cors. Adaptat de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding.
Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 193.Nova York, NY: Taylor & Francis.
Model d’àrea o longitud
Un operador també pot actuar sobre una longitud o una àrea. La relació entre la figura inicial i la final es pot representar mitjançant imatges (vegeu figura 3.12).
Figura 3.12. Representació de com els operadors i actuen sobre una àrea A. Adaptat de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 193.Nova York, NY: Taylor & Francis
Model de canvi
L’operador es pot relacionar amb les funcions; es pot utilitzar la representació d’una taula amb els valors d’entrada i sortida i l’operador relaciona aquests valors (Lamon, 2012). Per exemple, l’operador relaciona els valors de la taula 3.3.
Taula 3.3. Representació d’una taula de valors on l’operador és : sortida = entrada.
Entrada 6 9 60 150 Sortida 4 6 40 100
Nota. Adaptat de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 194. Nova York, NY: Taylor & Francis.
Àrea A A
A
xocolatines, quants paquets de xiclets li haurà de donar l’altre nen. L’operador, en aquest cas, és , i les 42 xocolatines les bescanviarien per 42 = 56 paquets de xiclets (Lamon, 2012).
Figura 3.13. Màquina d’intercanvi, entra la fracció i surt la fracció . L’operador és . Adaptat de
“Teaching Fractions and Ratios for Understanding. Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 195.Nova York, NY: Taylor & Francis.
3.3.3.5 Fracció com a mesura
Lamon (2012) es refereix a la fracció com a mesura en el sentit que els nombres racionals positius mesuren la distància de 0 a alguns punts segons una unitat de mesura. Els nombres racionals s’associen a aquests punts, però, de fet, són mesures de distància. “Sota la interpretació de mesura, una fracció és, en general, la mesura assignada a un interval o regió, depenent de si estem utilitzant un model unidimensional o bidimensional” (Lamon, 2012; p. 210). Considerant un espai unidimensional, la fracció mesura la distància de 0 a un punt de la recta numèrica. Si es té un interval de longitud l i el dividim enb subintervals, la fracció com a mesura voldrà dir a intervals de longitud . En un espai bidimensional, la fracció mesura l’àrea.
El procés de partició és present en totes les interpretacions de fracció; en aquest cas, però, és dinàmic. En la fracció com a mesura, es van realitzant successives particions de la unitat, a diferència, per exemple, de la fracció com a part–tot, en què es comparen les parts iguals que s’agafen amb les parts fixades en què s’ha dividit la unitat (Lamon, 2012).
3.3.3.6 Representacions de la fracció com a mesura Model de longitud
El model de longitud s’utilitza en l’ensenyament de les fraccions com a mesura. Van de Walle et al. (2010) proposen com a model de longitud tant rectes numèriques com materials físics que es comparen tenint-ne en compte la longitud (tires de fraccions, tires de paper o els reglets de Cuisenaire). Altres autors, en la interpretació de la fracció com a mesura, suggereixen bàsicament com a model la recta numèrica (Lamon, 2012; Petit et al., 2010).
7 10
1 2
“La recta numèrica és significativament un model de mesura més sofisticat” (Bright, Behr, Post i Wachsmuth, citat a Van de Walle et al., 2010; p. 290).
Petit et al. (2010) expliquen les característiques del model de recta numèrica: com es defineix la unitat, com es defineixen les “parts iguals” i què indica la fracció (vegeu taula 3.4).
Taula 3.4. Característiques de la recta numèrica.
La unitat “Les parts iguals” són definides per
El que indica la fracció
Recta numèrica Unitat de distància o longitud (continu)
Distància igual La localització d’un punt en relació amb la distància de zero respecte a la unitat definida
Nota. Adaptat de “A Focus on Fractions. Bringing Research to the Classroom”, de M. M. Petit et al., 2010, p.
9. Nova York, NY: Taylor & Francis.
“Utilitzar la recta numèrica implica pensar en la distància recorreguda en una línia o la localització d’un punt en les rectes numèriques, regles o altres eines de mesura” (Petit et al., 2010; p. 7). Les unitats es defineixen amb nombres, són contínues i estan connectades, a diferència de les unitats del model d’àrea, que estan físicament separades. Es tenen iteracions contínues de la unitat i cada unitat es divideix amb contínues subdivisions (Petit et al., 2010). El model de la recta numèrica pot ajudar a entendre que la fracció és un nombre i la seva grandària respecte a altres nombres, a la vegada que pot reforçar la idea que, entre dues fraccions, sempre es pot trobar una altra fracció (Van de Walle et al., 2010).
Són molts els autors que creuen que aquest model és essencial en l’ensenyament de les fraccions i que s’hauria de potenciar més (Clarke et al., 2008; Flores, Samson i Yanik, 2006;
Middleton, Van den Heuvel-Panhuizen i Shew, 1998; Usiskin, 2007; Watanabe, 2006, citats a Van de Walle et al., 2010).
3.3.3.7 Fracció com a quocient
Un nombre racional es pot veure com un quocient, com el resultat d’una divisió. Dit de manera molt simple, es pot interpretar com la quantitat de pastís que tocarà a cada persona si repartim uns pastissos entre un grup de persones; de manera més complexa, el nombre racional com a quocient es pot interpretar com un camp quocient. Per comprendre la fracció com a quocient, és essencial la partició com a procés de dividir un objecte o diversos en un nombre de parts disjuntes i exhaustives (Lamon, 2012). A l’apartat 3.3.4.2
3.3.3.8 Representacions de la fracció com a quocient Model d’àrea
El model d’àrea és adequat en les representacions de la fracció com a quocient. Els contextos que permeten fer una partició per fer un repartiment solen ser aquells en què es demana subdividir una àrea (pastissos, pizzes, xocolatines, etc.) (Van de Walle et al., 2010).
Per poder representar les particions, es poden utilitzar tant imatges com objectes físics. És adequat fer servir unitats on hi hagi marques, com ara línies, que indiquin com fer les possibles particions (per exemple, segells o xocolatines) (Lamon, 2012). Segons la mateixa autora, és important que els alumnes intentin, primer, resoldre els problemes visualment i s’imaginin com fer la partició. Per facilitar aquesta visualització del repartiment, es poden mostrar imatges, com ara el dibuix de tres cercles que representin tres pizzes i sis
“ninotets” que representin sis persones, i preguntar com es poden repartir tres pizzes entre sis persones.
3.3.3.9 Fracció com a raó
Segons Lamon (2012), la raó és una comparació entre dues quantitats i permet transmetre idees que no es poden explicar amb un sol nombre. Les raons poden comparar mesures tant de la mateixa magnitud com de tipologies diferents.
Els dos tipus de raó que comparen mesures del mateix tipus són: comparacions part–tot i comparacions part–part. “Les comparacions part–tot són raons que comparen la mesura de la part d’un conjunt amb la mesura del conjunt sencer. Les comparacions part–part comparen la mesura d’una part del conjunt amb la mesura d’una altra part del conjunt”
(Lamon, 2012; p. 225).
Si la raó compara mesures de tipus diferents i es pot aplicar a moltes situacions, esdevé una taxa. Les taxes es poden considerar extensions de les raons i, en concret, descriuen com les quantitats varien en el temps. Se sol utilitzar la paraula “per” quan es diu una taxa i es poden reduir obtenint la relació entre una quantitat i una unitat d’una altra quantitat.
Aquesta unitat s’anomena unitat de la taxa. Alguns exemples de taxa són “el cotxe anava a 30 quilòmetres per hora” o “el cor bategava a 70 pulsacions per minut” (Lamon, 2012).
Les raons tenen algunes característiques específiques i diferents de les altres interpretacions de nombre racional (Lamon, 2012):
Una raó de a coses a b coses es pot escriure de moltes maneres: o a/b, ab, a:b. En canvi, les fraccions part–tot, operador, mesura i quocient s’escriuen generalment amb la forma .
Les raons no sempre són nombres racionals, a diferència de les fraccions part–tot, operador, mesura i quocient, que sempre ho són. Es pot veure amb l’exemple de la raó entre la longitud de la circumferència i el seu diàmetre, que és el nombre , i no és un nombre racional.
El segon component de les raons pot ser 0; en canvi, el denominador de les fraccions no pot ser 0. Per exemple, la raó d’homes i dones en una trobada on hi ha 10 homes i cap dona, es pot escriure 10:0.
Una fracció és un parell ordenat en què, si canvies l’ordre d’a ib, obtens una fracció diferent. Amb les raons també passa, que és diferent (4 nois : 3 noies i 3 noies : 4 nois), però totes dues donen la mateixa informació de la situació.
L’aritmètica de les raons pot ser diferent de l’aritmètica de les fraccions. Per exemple, ahir la Maria va encertar 3 llançaments amb el bat de 5 intents, i avui n’ha encertat 2 dels 6 que ha fet. La raó d’encerts dels dos dies és 3:5 * 2:6 = (3+2):(5+6)=5:11, és a dir, 5 encerts d’11 llançaments. Aquesta operació, que es podria interpretar com una suma de raons, és clarament diferent a la suma de fraccions + .
3.3.3.10 Representacions de la fracció com a raó Model d’àrea i model de grup
A l’etapa d’educació primària, la raó es pot iniciar amb representacions gràfiques de regions contínues i de grups d’objectes (Lamon, 2012). Per exemple, es pot representar la raó 2:3 tal com es mostra a la figura 3.14.
Figura 3.14. Representació de la raó 2:3. Extret de “Teaching Fractions and Ratios for Understanding.
Essential Content Knowledge and Instructional Strategies for Teachers”, de S. J. Lamon, 2012, p. 228.Nova York, NY: Taylor & Francis.