Multiplicació i divisió de fraccions

Segons Petit et al. (2010), la multiplicació i la divisió de fraccions és un dels conceptes més complicats d’entendre per als alumnes d’educació primària. Aquests mateixos autors argumenten que algunes propietats de les operacions amb nombres enters es mantenen per a les operacions amb fraccions:

 “Propietat d’identitat de la multiplicació”: quan es multiplica per 1, s’obté el mateix nombre. Per exemple, x 1 = .

 “Propietat d’identitat de la divisió”: quan es divideix un nombre entre 1, s’obté el mateix nombre. Per exemple, ÷1 = .

 “Propietat zero de la multiplicació”: quan es multiplica per 0, el resultat és 0. Per exemple, x 0 = 0.

 La multiplicació i la divisió són operacions inverses. Per exemple, 2÷ = 4 i 4 x = 2 En canvi, altres propietats de les operacions amb nombres enters no es mantenen en les operacions amb fraccions. És el cas de la propietat que “quan es multipliquen nombres enters, el producte és més gran que els factors, llevat que un dels factors sigui 0 o 1”, que és certa per als nombres enters però no sempre es compleix quan es multipliquen fraccions.

Per tal que aquesta propietat sigui certa per a la multiplicació de fraccions, cal modificar-la de la manera següent: “Quan es multipliquen dos nombres, el producte és més gran que els factors, llevat que un dels factors sigui 0 o 1 o que una fracció sigui més petita que 1”

(Burns, 2003; p. xi).

Quan es pensa en el procés per calcular la multiplicació de fraccions, normalment es pensa en l’algoritme de multiplicar el numerador pel numerador i el denominador pel denominador. Musser et al. (2011) defineixen la multiplicació de fraccions amb aquest algoritme: “Siguin i qualssevol fraccions. Aleshores, · = ” (p. 245). Els mateixos autors, per deduir i entendre l’algoritme presentat, proposen estudiar tres casos diferents segons els nombres que intervenen en la multiplicació:

 Una fracció per un nombre enter. En aquest cas, per exemple, si es multiplica x 6, no es pot interpretar que es fa una suma repetida del 6. Per tant, una possibilitat és que, per la propietat commutativa, x 6 = 6 x i es pot aplicar el que s’ha dit en el cas 1.

Una altra interpretació, però, podria ser entendre que es vol agafar la meitat de 6 i, per tant, el resultat és 3.

 Una fracció d’una fracció. En aquest cas, per exemple, x representa de . Es pot interpretar com el fet d’agafar una part de tres parts iguals de la fracció .

La interpretació d’aquest últim cas de Musser et al. (2011), en què es multiplica una fracció per una altra fracció, coincideix amb la interpretació que fan Siebert i Gaskin (2006) per explicar la multiplicació de fraccions a partir de la partició i iteració. Per explicar la multiplicació x , proposen primer utilitzar la interpretació de com 3 un quart. Per tant, primer cal calcular de . Per això cal fer quatre parts de , ja que es vol una quarta part de . S’obté que de és . Ara només cal agafar 3 vegades . Per tant, el resultat de x és

.

Lamon (2012) també proposa aquest enfocament quan les fraccions s’interpreten com a comparació part–tot, però, a mé,s explica que la multiplicació es pot interpretar com una composició d’operadors: “Per exemple, significa «prendre de d’una unitat» i és equivalent a prendre « o de la unitat»” (p. 198).

Per explicar la divisió de fraccions, cal fer referència als dos significats de la divisió:

partitiva i quotativa (quotative). En els problemes de divisió partitiva es té una quantitat que es vol repartir entre un nombre de grups i cal trobar quants elements hi ha en cada grup (Lamon, 2012; Van de Walle et al., 2010). Un exemple amb nombres enters podria ser: “Es reparteixen 30 caramels entre 5 nens. Quants caramels tocaran a cada nen?”. Es pot connectar aquesta interpretació amb les fraccions demanant quina part dels caramels tocarà a cada nen. La resposta és o . “La divisió partitiva és la divisió que es basa en la partició o el repartiment just” (Lamon, 2010; p. 156). En els problemes de divisió quotativa es té una quantitat d’objectes i se’n dóna una quantitat a cada persona, i cal trobar a quanta gent se li pot haver donat objectes (Lamon, 2012; Van de Walle et al., 2010). Un exemple pot ser: “Es reparteixen 30 caramels a uns nens i a cada nen se li donen 5 caramels. A quants nens se li podran donar caramels?”. Quan el divisor és un nombre enter, el problema es pot connectar amb les taxes. En el problema de l’exemple, toquen 5 caramels per persona.

Quan el divisor és una fracció, cal veure quantes vegades es pot restar el divisor del dividend. La divisió quotativa també s’anomena divisió de mesura o divisió substractiva,

perquè es dóna una mesura que es va traient del dividend (Lamon, 2012; Van de Walle et al., 2010). Per exemple, la divisió 2÷ es pot interpretar en termes de divisió quotativa i, per tant, trobar quantes vegades es pot treure de 2. El resultat és 6.

Una altra interpretació que proposa Lamon (2012) és la divisió entesa com una composició d’operadors. Cal remarcar, tal com diu la mateixa autora, que la divisió és una operació en què el resultat no es diu en funció de la unitat escollida per representar les fraccions, sinó en termes del divisor.

En relació amb els algoritmes per resoldre la divisió de fraccions, Musser et al. (2011) proposen tres maneres equivalents d’entendre aquesta divisió i deduir els algoritmes:

 L’enfocament del denominador comú. Quan les fraccions tenen els denominadors iguals, la divisió de fraccions es pot interpretar com una extensió de la divisió de nombres enters. Per exemple, ÷ es pot resoldre pensant quants grups de mida hi ha en . Aquest enfocament porta a la definició següent: “Siguin i qualssevol fraccions amb c≠0, aleshores, ÷ = ” (p. 249). Aquest enfocament es pot generalitzar a fraccions que no tinguin els denominadors iguals; per utilitzar-lo, només caldrà buscar fraccions equivalents a les que es divideixen amb els denominadors iguals.

 L’enfocament de dividir els numeradors i els denominadors. Quan es divideixen dues fraccions en què el numerador i el denominador del dividend són múltiples del numerador i el denominador del divisor respectivament, es pot resoldre la divisió dividint els numeradors i els denominadors. Per exemple, ÷ = ^÷_÷ = .

 L’enfocament d’invertir el divisor i multiplicar. Els dos enfocaments anteriors es poden generalitzar a qualsevol fracció, i s’obté així que es pot calcular la divisió de dues fraccions multiplicant el dividend per l’invers del divisor. Si es generalitza l’enfocament del denominador comú per a qualsevol parell de fraccions, es té l’enfocament d’invertir el divisor i multiplicar: ÷ = ÷ = . Generalitzant l’enfocament de dividir numeradors i denominadors, s’obté també aquest enfocament de multiplicar per l’invers del divisor per resoldre la divisió; per exemple, ÷ = ÷ =

( )÷

( )÷ = . Aquest mateix enfocament d’invertir i multiplicar es pot deduir des d’una altra perspectiva: la divisió 3 ÷ es pot pensar com la solució de quants grups de mida hi ha en el 3. Cada unitat té dues meitats; com que es tenen 3 unitats,

Van de Walle et al. (2010) expliquen només dos d’aquests algoritmes per dividir fraccions, l’algoritme del denominador comú i l’algoritme d’invertir i multiplicar; a més, proposen deduir-los de manera semblant a com ho plantegen Musser et al. (2011). Tant Van de Walle et al. com Musser et al. proposen utilitzar la interpretació de la divisió quotativa per deduir l’algoritme d’invertir i multiplicar.

Dels algoritmes presentats, el d’invertir i multiplicar per dividir fraccions és un dels que més s’utilitza a l’escola, si bé no tots els mestres entenen per què es fa d’aquesta manera (Van de Walle et al., 2010). Però entendre que dividir per és el mateix que multiplicar per 2 i que multiplicar per és el mateix que dividir per 2 és un aspecte important de la multiplicació i la divisió de fraccions (Petit et al., 2010).