Les representacions en l’ensenyament de les fraccions

Segons Goldin i Shteingold (2001), “una representació és, típicament, un signe o una configuració de signes, caràcters o objectes” (p. 3). L’NCTM (2000) argumenta que la representació es refereix tant al procés (el fet d’entendre un concepte matemàtic) com al resultat (a la forma en si mateixa). Les representacions poden ser externes o internes. Les representacions externes poden incloure tant els símbols convencionals matemàtics com els materials manipulatius, mentre que les internes fan referència als processos en les ments dels alumnes (Goldin i Shteingold, 2001; NCTM, 2000).

Les representacions tenen un paper fonamental en l’aprenentatge de les matemàtiques, ja que el fet d’entendre les idees matemàtiques depèn de com es representen (NCTM, 2000).

En el mateix currículum de matemàtiques de l’etapa d’educació primària es proposa desenvolupar la capacitat següent fent referència a la representació: “Crear i utilitzar representacions per organitzar, registrar i comunicar les idees i els processos matemàtics, així com interpretar i usar el llenguatge matemàtic, com ara xifres, signes, dibuixos geomètrics, taules i gràfics per a descriure fenòmens habituals” (Generalitat de Catalunya, 2007; p. 43).

En l’ensenyament de les fraccions generalment s’utilitzen representacions, però no sempre són prou variades per comprendre bé els conceptes que s’hi relacionen. Per exemple, en el cas de la interpretació de la fracció com a part–tot, molts nens tenen experiències amb exemples que representen una unitat contínua, però no en tenen tantes amb grups d’objectes (Feikes, Schwingendorf i Gregg, 2009). Els mateixos autors esmenten que “els nens desenvoluparan una comprensió conceptual més profunda de les fraccions utilitzant múltiples maneres de representació: pictòrica, manipulativa, verbal, context real i simbòlica.

L’èmfasi també s’ha de basar en l’ús de múltiples models físics i la connexió entre ells”

(Feikes et al., 2009; p. 105). En la mateixa línia, Goldin i Shteingold (2001) fan èmfasi en els sistemes de representació per aprendre matemàtiques, uns sistemes que presenten una estructura que propicia que les representacions dins el sistema estiguin relacionades: “Una representació matemàtica no es pot entendre de manera aïllada [...] té sentit només com a part d’unsistemamés ampli dins el qual s’han establert significats i convencions” (p. 1).

En aquest sentit, el model de traducció de Lesh (The Lesh Translation Model) proposa cinc maneres diferents de representar les idees matemàtiques elementals: manipulativa, pictòrica, contextos reals, símbols verbals i símbols escrits (vegeu figura 3.8) (Lesh, citat a Cramer, 2003).

Figura 3.8. Model de traducció de Lesh (The Lesh Translation Model). Adaptat de “Using a Translation Model for Curriculum Development and Classroom Instruction”, de K. Cramer, 2003, dins R. Lesh i H. M. Doerr (ed.),Beyond Constructivism. Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching, (p.

449). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Aquest model de traducció de Lesh emfasitza que representar les idees matemàtiques de diferents maneres i connectar i traduir aquestes representacions potencia que les idees siguin significatives per als alumnes (Cramer, 2003).

En el cas de l’ensenyament de les fraccions, alguns autors proposen utilitzar diferents representacions dels conceptes relacionats amb les fraccions (Flores i Torralbo, 2011; Petit Laird i Marsden, 2010; Post, Cramer, Behr, Lesh i Harel, 1993; Van de Walle, Karp i Bay-Williams, 2010), tot i que no tots plantegen les mateixes. Flores i Torralbo (2011) fan referència a quatre representacions dels nombres racionals: fracció, nombre decimal, llenguatge verbal i llenguatge pictòric. Les representacions com a fracció i com a decimal coincideixen amb la representació amb símbols escrits del model de Lesh. Flores i Torralbo no tenen en compte, però, la representació amb materials manipulatius ni amb contextos reals. Les representacions que esmenten Post et al., (1993) segueixen el model de Lesh. Les representacions que Petit et al. (2010) s’assemblen a les que es presenten en el model de Lesh, malgrat que no les anomenen de la mateixa manera; parlen de representacions escrites i orals, representacions simbòliques, representacions a partir d’una imatge i mitjançant objectes reals. A la figura 3.9 es mostra un exemple de diferents representacions per a la fracció cinc sisens segons Petit et al. (2010).

Figura 3.9. Diferents representacions de la fracció cinc sisens. Extret de “A Focus on Fractions: Bringing Research to the Classroom”, de M. M. Petit et al., 2010, p. 23. New York, NY: Taylor & Francis.

En l’ensenyament de les matemàtiques, a banda del terme representació, també és freqüent utilitzar el terme model. Hi ha confusions en l’ús d’aquest terme per part dels educadors (Cramer, 2003). Cramer explica que la paraula model en el context del model de traducció de Lesh es pot entendre de tres maneres diferents:

 Primer, el diagrama [vegeu figura 3.8] com un tot es coneix com un model. [En aquest cas, el terme model serveix per als investigadors, i no per als alumnes.]

 Segon, dins la figura 3.8, els diagrames específics, els materials concrets, les descripcions simbòliques (equacions que descriuen les experiències quotidianes) també es poden anomenar models. Però, en aquest cas, es donen amb més freqüència dues possibilitats: (a) models que els professors (o dissenyadors curriculars, o investigadors) poden utilitzar per comunicar-se amb els alumnes sobre constructes matemàtics específics, o (b) models que els alumnes poden fer servir per interpretar (descriure, explicar) les experiències d’aprenentatge o de resolució de problemes.

(p. 450)

Petit et al. (2010) assenyalen que els alumnes haurien de tenir oportunitats per resoldre problemes utilitzant models i generant els seus propis, així com per utilitzar models per desenvolupar la comprensió de conceptes. Els mestres, en canvi, haurien d’ajudar els alumnes a generalitzar idees matemàtiques fent preguntes basant-se en els models que els alumnes han generat. Es pot concloure que “els models s’haurien d’utilitzar com una forma d’entendre i generalitzar idees matemàtiques” (Petit et al., 2010; p.3).

Hi ha la idea generalitzada que els materials són la solució i que asseguren que els alumnes comprenguin els conceptes matemàtics, però per desenvolupar coneixement matemàtic no n’hi ha prou amb l’ús de materials, cal que el mestre sàpiga quan fer servir cada material i com relacionar materials diferents per a un mateix concepte (Ball, 1992). “Les idees matemàtiques no són en els materials manipulatius. Els materials manipulatius són eines destinades a ajudar els nens a construir les idees matemàtiques” (Feikes et al., 2009; p. 105).

En la mateixa línia, Lamon (2012) argumenta que l’ensenyament tradicional de les fraccions ha fracassat per culpa d’una utilització incorrecta dels models:

 Molts models de fraccions són utilitzats més enllà de les seves possibilitats.

 No es pregunten idees i qüestions importants.

 S’atribueix un poder “màgic” a aquests materials. [...] Que siguin de colors i divertits i que ocupin les mans no vol dir que ocupin les ments.

 Cada model s’adapta a un nombre limitat de denominadors fraccionaris. (p. 149)

Aquestes afirmacions indiquen que els mestres haurien de tenir un coneixement profund dels diferents models per ensenyar fraccions a fi que els alumnes puguin generalitzar conceptes relacionats amb les fraccions.

El mestre té un paper important a l’hora de triar i fer servir els models per tal d’ajudar els alumnes a desenvolupar comprensió matemàtica (Ball, 1993). S’esculli el model que s’esculli, cal tenir en compte que les idees matemàtiques són més àmplies que el model triat.

Per exemple, el model d’àrea, com ara un model circular de 1/2, representa només una interpretació de les moltes que poden tenir les fraccions (Ohlsson, citat a Ball, 1993). Amb això, volem destacar que no hi ha un model que serveixi per a totes les interpretacions de fracció.

En fer referència als models, no només pren èmfasi el que el mestre proposa als alumnes, sinó que cal que els alumnes aprenguin a construir-ne. Hi ha idees matemàtiques sobre les fraccions, com ara el concepte d’unitat, que queden “difuminades” quan s’utilitzen models físics i, en canvi, s’expliciten i s’entenen millor si els mateixos alumnes creen el model (Ball, 1993).

Als següents subapartats es pararà atenció a diverses representacions de diferents conceptes relacionats amb les fraccions.