Disseny del qüestionari de fraccions

Per tal d’identificar els coneixements sobre les fraccions dels estudiants de primer curs del Grau de Mestre d’Educació Primària (objectiu 1) i estudiar la relació d’aquests coneixements amb els de l’ensenyament de les fraccions (objectiu 3), s’ha elaborat un qüestionari amb trenta preguntes relacionades amb el contingut de les fraccions (vegeu annex 1).

Per dissenyar aquest qüestionari, s’han decidit, en primer lloc, els continguts de fraccions que es volien estudiar. D’entrada, s’ha consultat el currículum d’educació primària per determinar quins continguts s’esmenten en relació amb les fraccions (vegeu taula 4.1).

Taula 4.1.Continguts de fraccions en el currículum d’educació primària organitzats per cicles (Generalitat de Catalunya, 2007).

Cicles Continguts

Cicle inicial Ús de les fraccions un mig i un quart en contextos significatius (p. 44) Cicle mitjà Reconeixement de la fracció com a part d’una unitat i d’una col·lecció (p. 45)

Ús de diferents models de representació de les fraccions. Situació dels nombres naturals i fraccionaris més comuns (1/2, 1/3, ¼) sobre la recta numèrica. Arrodoniment de nombres en context (p. 45)

Ús i relació dels decimals i fraccions com a nombres que aproximen més la mesura (p. 45) Realització de sumes i restes amb fraccions senzilles acompanyades de diferents formes de

Reconeixement i ús de les relacions entre fraccions, decimals i percentatges en casos senzills (0,5, ½, 50%; 0,25, ¼, 25%; 0,1, 1/10, 10%). Analogia entre el sistema de numeració decimal i el sistema internacional de mesura (p. 47)

Ús i contrast de diferents models per representar les relacions entre decimals, fraccions i percentatges (p. 47)

Reconeixement i cerca de fraccions equivalents seguint camins diversos (p. 47) Relació dels nombres fraccionaris amb el càlcul de probabilitats (p. 47) Ús de diferents models per comparar i ordenar fraccions i decimals (p. 47)

Situació dels nombres decimals, fraccionaris i percentatges sobre la recta numèrica (p. 47) Aproximació dels nombres decimals. Comprensió i ús dels nombres decimals i fraccionaris en l’aproximació de la mesura (p. 47)

Interpretació dels nombres naturals, decimals i fraccionaris en taules i gràfics. Elaboració de gràfics i taules a partir del comptatge i la mesura. Creació de codis numèrics (p. 47) Comprensió i ús de la suma i la resta de fraccions mitjançant representacions gràfiques i aritmètiques (p. 47)

Desenvolupament d’estratègies de càlcul mental amb nombres naturals, fraccionaris i decimals (p. 22)

Estimació raonable dels resultats de les operacions amb nombres naturals, decimals i fraccionaris. Descripció coherent del procés d’estimació (p. 22)

Ús dels nombres decimals i fraccionaris en l’aproximació de la mesura (p. 24) Relació dels nombres fraccionaris amb el càlcul de probabilitats (p. 26)

Dels continguts sobre fraccions que s’esmenten en el currículum d’educació primària, s’han escollit els que s’han considerat prioritaris en l’aprenentatge de les fraccions: significat de fracció, fraccions equivalents, comparació i ordenació de fraccions, operacions amb fraccions i densitat i infinitud dels nombres racionals.

El llibre Connecting Mathematics for Elementary Teachers (Feikes et al., 2009) ha estat una referència per justificar la importància de cada tema escollit, ja que assenyala quins són els conceptes centrals relacionats amb les fraccions que cal aprendre a l’etapa d’educació primària exposant estudis sobre com els nens d’aquesta etapa els aprenen, a la vegada que mostra els errors principals que cometen els alumnes quan aprenen aquests continguts.

S’ha elaborat la taula 4.2 per mostrar a quins continguts fa referència cada pregunta. Es pot comprovar que algunes preguntes s’orienten directament a un contingut però que també tenen a veure amb altres continguts de fraccions, si bé indirectament.

Taula 4.2.Continguts de fraccions als quals fa referència cada pregunta.

Concepte de

fracció Fraccions

equivalents Comparació i ordenació de fraccions

Operacions amb

fraccions Infinitud i

densitat dels nombres racionals 12

34 56 78 910 1112 1314 1516 1718 1920 2122 2324 2526 2728 2930

Nota: Les caselles amb un color més fort indiquen que la pregunta fa referència directament al contingut en qüestió i, les caselles amb un color més clar, que hi fa referència indirectament.

Algunes de les preguntes del qüestionari de fraccions s’han extret o modificat de preguntes del llibre de Feikes et al. (2009). D’altres són de creació pròpia per acabar de completar el qüestionari.

El qüestionari està constituït per preguntes obertes i d’opció múltiple (en algunes es demana explicar l’opció o opcions escollides). A les preguntes obertes, en algun cas, es demana una explicació o justificació i, en d’altres, resoldre una situació o fer una representació gràfica.

A continuació, es presenten les preguntes del qüestionari organitzades per contingut. De

Significat de fracció

El significat de fracció és un aspecte central en aquest estudi. Es vol conèixer què saben els estudiants de primer curs del Grau d’Educació Primària sobre els continguts relacionats amb el significat de fracció. Aquest coneixement és bàsic perquè el significat de fracció està relacionat amb tots els altres continguts sobre fraccions: fraccions equivalents, comparació i ordenació de fraccions, operacions amb fraccions i infinitud i densitat dels nombres racionals. A la taula 4.3 es mostren les preguntes que fan referència a diferents continguts relacionats amb el significat de fracció i la font de cada pregunta.

Taula 4.3.Preguntes del qüestionari sobre el significat de fracció i font de cada pregunta.

Preguntes del qüestionari sobre els significats del concepte de fracció Font

1.Què és una fracció? Creació pròpia

2.Marca l’opció o opcions que consideres correctes:

Una fracció és un nombre.

Una fracció són dos nombres.

Una fracció és una relació entre dos nombres.

Creació a partir de Feikes et al. (2009, p.

109)

4.Digues quines de les imatges següents representen ¾. Explica per què ho representen o per què no:

5.Repartim 3 pizzes entre 4 persones, cada persona tindrà: (Marca l’opció o opcions que consideres correctes)

7.Com explicaries a un nen que no es pot sumar ½ de pizza gran amb ½ de pizza petita? Creació a partir de Feikes et al. (2009, p.

8.Assenyala les 2/5 parts d’aquest conjunt. 120)

Creació pròpia 9.Col·loca la fracció 12/5 a la recta numèrica següent:

Creació pròpia

10.Col·loca 9/24 a la recta numèrica següent i digues quina fracció és la que hi ha a la

ratlla de la dreta de la fracció 9/24. Creació pròpia

11.Digues quines de les següents situacions es poden representar amb una fracció i, en aquest cas, quina fracció correspon a la situació:

a. La Maria i en Martí fan l’operació següent: 8 ÷ 3. Creació pròpia

0 12

0 1/4

b. Tinc 3 monedes i me n’han donat 2 més.

c. La Marta diu que es menjarà cinc sisens dels 36 caramels que té.

d. D’aquí tres quarts d’hora hem d’anar a dinar.

e. M’he comprat uns pantalons que els han rebaixat un 25%.

f. A la meva classe hi ha 13 nens i 12 nenes.

g. He tret un 6,7 de l’examen de matemàtiques.

15.Quina fracció representa una quantitat més gran? Explica-ho.

Creació pròpia

18.Fes un dibuix per representar 12/5.

Acivitat de Feikes et al. (2009, p. 114) 19.Digues quina fracció hi ha representada a la imatge següent. Digues què representa el

numerador i el denominador: Creació a partir de

Feikes et al. (2009, p.

107)

A continuació es caracteritza, es justifica i es valora cada una de les preguntes del qüestionari referents al significat de fracció.

 Pregunta 1

La pregunta 1, Què és una fracció?, està col·locada en primer lloc perquè els estudiants de mestre la contestin sense estar condicionats per les altres preguntes del qüestionari. Això explica també que sigui una pregunta oberta, perquè puguin expressar la idea que tenen de què és una fracció.

 Pregunta 2

La pregunta 2 té relació amb la pregunta 1; de fet, l’objectiu s’aproxima al de la pregunta 1, saber quina idea tenen de què és una fracció. El que canvia entre la pregunta 1 i la 2 és el format: la pregunta 2 és d’opció múltiple i, en conseqüència, els estudiants han d’escollir entre una de les tres opcions.

Amb aquesta pregunta es pretén determinar si els estudiants tenen les mateixes dificultats que habitualment mostren els nens quan aprenen el significat de fracció per entendre que, per exemple, l’1 i el 2 de la fracció 1/2 representen les parts que agafem de les parts iguals que es tenen i a la vegada representen un altre nombre, 1/2 (Bezuk, citat a Feikes et al., 2009). Així doncs, una fracció es pot entendre “com un nombre, o com una relació entre dos nombres, o de les dues maneres. Una idea clau és que una fracció és un nombre, no dos nombres, i aquest nombre pot ser sumat, restat, multiplicat, dividit, etc.” (Feikes et al., 2009; p. 109).

fracció. Smith (citat a Feikes et al., 2009; p. 103) argumenta que “per entendre el concepte de fracció, és bàsica la idea que les fraccions indiquen la relació entre les parts i el tot i no la mida de la totalitat o la mida de les peces”, la qual cosa corrobora la tercera resposta com a opció correcta.

 Pregunta 4

Amb aquesta pregunta es pretén identificar els coneixements dels estudiants sobre el significat de la fracció com a comparació part–tot i també sobre les particions de la unitat, és a dir, sobre què vol dir que una unitat estigui dividida en parts iguals. S’ha partit de la interpretació de la fracció com a comparació part–tot i s’ha representat gràficament la fracció 3/4 a partir del model d’àrea, amb rectangles. Els estudiants han d’escollir les opcions que considerin correctes i justificar aquesta tria. L’explicació ha de permetre tenir més informació del coneixement que tenen els estudiants de què és una fracció interpretada com a part–tot. Les opcions correctes són la (a), la (b) i la (d). A l’hora de decidir les imatges s’ha tingut en compte que hi hagués una representació de la fracció 3/4 on les quatre parts en què s’ha dividit la regió fossin de la mateixa àrea i la mateixa forma (opció b) i on les quatre parts fossin de la mateixa àrea però de diferent forma (opcionsa id). Aquestes tres opcions permetran veure si els alumnes tenen clar que, tot i que les parts en què s’ha dividit la regió tenen forma diferent, si les parts tenen la mateixa àrea s’obté la representació de la fracció ¾. Per acabar de refinar la identificació dels coneixements dels estudiants, s’ha inclòs l’opció (c), que mostra la divisió de la regió en quatre parts de la mateixa forma però d’àrees diferents. Així es podrà veure clarament qui té clar que l’essencial, a l’hora de representar una fracció, és que les parts en què es divideix una regió tinguin la mateixa àrea sigui quina sigui la forma.

Aquesta pregunta és semblant a una qüestió proposada a les proves NAEP del 2003, en què els alumnes de quart de primària havien d’escollir la regió que representava la fracció

¾. El 83 % dels alumnes va identificar la resposta correctament (Feikes et al., 2009; p. 118).

Malgrat que la pregunta és diferent de la que s’ha proposat al qüestionari, cal veure si el percentatge d’estudiants de mestre que encerten la pregunta és el mateix.

 Pregunta 5

La pregunta 5, d’opció múltiple, es basa en la interpretació de fracció com a quocient (repartiment) en el sentit que Lamon (2012) explica aquesta interpretació. Aquesta pregunta està formulada a partir de les respostes que solen donar els alumnes quan se’ls proposa que resolguin el problema de repartir tres pizzes entre quatre persones: 1/4 d’una pizza, 1/4 de cada pizza, 3/4 de tres pizzes i 1/4 de totes les pizzes. Les respostes incorrectes poden ser degudes a la dificultat dels nens per entendre la unitat a què fa referència la fracció (Feikes et al., 2009). A les respostes anteriors hi hem afegit l’opció de Cap de les anteriors. Les

respostes correctes són: 1/4 de cada pizza i 1/4 de totes les pizzes. Segons la resposta que els estudiants triïn, s’apreciarà si entenen a quina unitat es refereix cada fracció.

 Pregunta 7

La pregunta oberta número 7 també està relacionada amb la unitat que es pren com a referència per definir la fracció, alhora que té a veure amb la idea que no es poden sumar fraccions si aquestes no estan representades en unitats de la mateixa àrea. En aquesta pregunta la fracció s’interpreta com a comparació part–tot. L’explicació dels estudiants hauria de fer esment del fet que no es poden sumar aquestes dues fraccions perquè les regions no són de la mateixa mida: en un cas tenim una pizza gran i, en l’altre, una pizza petita.

 Pregunta 8

La pregunta 8 ha de servir per identificar la comprensió dels alumnes del significat de fracció d’una col·lecció d’objectes. Aquest contingut no és més difícil que el de la fracció d’una regió, però els alumnes tenen poques experiències amb fraccions de grups (Feikes et al., 2009). Les respostes dels estudiants de mestre permetran detectar si tenen més dificultats amb el concepte de fracció d’un grup o amb el de fracció d’una regió. La resposta correcta és assenyalar 6 cercles. Aquesta pregunta només admet una resposta correcta. Els estudiants poden interpretar la fracció com a comparació part–tot, com a operador i també com a raó.

 Pregunta 9

Un altre aspecte rellevant de la comprensió de fraccions és la capacitat per situar una fracció a la recta numèrica. A la pregunta 9 els estudiants han de col·locar la fracció 12/5 a la recta numèrica, en què la longitud de cada segment representa una unitat. Hi ha la dificultat afegida que 12/5 és una fracció més gran que 1. Els estudiants disposen de diferents opcions per saber com col·locar la fracció 12/5 a la recta: poden fer la divisió de 12 entre 5 i col·locar el nombre 2,4 a la recta utilitzant el que saben de nombres decimals, o bé escriure 12/5 com a nombre mixt, 2 i 2/5. L’opció correcta és situar el 12/5 a la recta numèrica tal com es mostra a la figura 4.2.

0 12

12/5

és equivalent a la fracció 6/24 o bé que 9/24 és equivalent a la fracció 3/8 i ¼ és equivalent a la fracció 2/8. Per poder resoldre correctament l’activitat, cal que entenguin que la longitud de cada segment representa tres vint-i-quatrens. Per identificar millor si ho entenen, es demana que diguin quina fracció hi ha a la ratlla de la dreta de la fracció 9/24.

Per resoldre correctament la pregunta, han de situar el 9/24 a la ratlla de la dreta de la fracció 1/4 i dir que, a la ratlla de la dreta de 9/24, hi hauria la fracció 12/24 o qualsevol fracció equivalent a aquesta (vegeu figura 4.3).

Figura 4.3.Exemple de com situar la fracció 9/24 a la recta numèrica.

 Pregunta 11

La pregunta 11 és important per aprofundir en la comprensió dels estudiants sobre el significat de fracció. Han d’identificar quines situacions es poden representar amb una fracció i, si escau, escriure la fracció. A continuació hi ha el comentari de cada opció:

a. La Maria i en Martí fan l’operació següent: 8 ÷ 3.

La divisió 8÷3 es pot representar amb la fracció 8/3.

b. Tinc 3 monedes i me n’han donat 2 més.

Aquesta opció no es representa amb una fracció directament, ja que la situació es pot representar com a 3 + 2.

c. La Marta diu que es menjarà cinc sisens dels 36 caramels que té.

La situació es pot representar com a 5/6 de 36, que dóna 30. En el resultat final no cal escriure una fracció, però sí quan es calcula les 5/6 parts de 36.

d. D’aquí tres quarts d’hora hem d’anar a dinar.

Aquesta situació sí que es pot representar amb una fracció: ¾.

e. M’he comprat uns pantalons que els han rebaixat un 25%.

En aquest cas, també el 25% es pot representar com a 25/100.

f. A la meva classe hi ha 13 nens i 12 nenes.

0 1/4

9/24 12/24 = 1/2

Es pot entendre la fracció com a raó i dir les fraccions 13/25 i 12/25 com a relació entre nens i nenes i el total de nens de la classe respectivament, o bé la fracció 13/12 o 12/13 com a fracció que representa la relació entre nens i nenes.

g. He tret un 6,7 de l’examen de matemàtiques.

La nota 6,7 pot expressar la fracció 67/100.

 Pregunta 15

La pregunta 15 és una pregunta oberta amb la qual es vol identificar si els estudiants saben que no es poden comparar dues fraccions si la unitat de referència no és la mateixa. Si només es tinguessin les fraccions 1/4 i 1/3 numèricament, sense tenir les representacions gràfiques de cada fracció, sí que es podria dir que 1/3 és més gran que 1/4, però no en aquesta pregunta tal com està formulada. Tot i que apareix el contingut de comparació de fraccions, el contingut prioritari és el de significat de fracció i, en concret, el significat de la unitat.

 Pregunta 18

L’objectiu de la pregunta 18 és identificar els coneixements sobre la representació gràfica del concepte de fracció més gran que un 1 i, per tant, també sobre el significat de la unitat.

“Per a molts, la paraula fracció significa menys que 1” (Feikes et al., 2009; p. 106), i, en conseqüència, el significat de fracció més gran que una unitat pot ser un concepte confús i que pot suposar certes dificultats. La resposta correcta és qualsevol representació gràfica en què es vegi representada la fracció 12/5. Si s’interpreta la fracció 12/5 com a mesura, els estudiants poden representar aquesta fracció a la recta numèrica. En el cas de la interpretació de fracció com a comparació part–tot, es poden dibuixar dues regions ombrejades i una altra amb les 2/5 parts ombrejades. Per exemple:

Figura 4.4.Exemple de com representar gràficament la fracció 12/5.

 Pregunta 19

La pregunta 19 incideix, com la 18, en el significat de fracció més gran que 1 i en el significat de la unitat, aquesta vegada, però, de manera inversa: es demana quina fracció hi ha representada a la imatge. La resposta correcta d’aquesta pregunta pot ser 5/2 (2 i 1/2) o

Equivalència de fraccions

El significat d’equivalència de fraccions és un contingut important per poder comprendre bé les fraccions; també resulta bàsic per entendre la comparació de fraccions. A la taula 4.4 es mostren les preguntes que fan referència al contingut d’equivalència de fraccions i la font de cada pregunta.

Taula 4.4.Preguntes del qüestionari sobre l’equivalència de fraccions i font de cada pregunta.

A continuació es caracteritza, es justifica i es valora cada una de les preguntes del qüestionari referents a l’equivalència de fraccions.

 Pregunta 6

L’objectiu de la pregunta 6 és detectar la comprensió de l’equivalència de fraccions dels estudiants observant si identifiquen que les dues imatges representen la mateixa fracció, encara que les parts de la segona imatge estiguin “separades”. És una pregunta amb dues opcions de resposta en què cal que els estudiants justifiquin la resposta. Tals justificacions ajudaran a entendre quina comprensió tenen de l’equivalència de fraccions.

 Pregunta 16

A la pregunta 16 es demana directament què vol dir que dues fraccions són equivalents;

d’aquesta manera, mitjançant una pregunta oberta, es podrà veure quina idea tenen els estudiants de què vol dir l’equivalència de fraccions. L’exemple que es demana complementa l’explicació, i pot ser tant un exemple numèric com gràfic.

 Pregunta 17

La idea que “una manera d’examinar si els nens comprenen l’equivalència de fraccions és demanar-los que facin un diagrama” (Smith, citat a Feikes et al., 2009; p. 106) pot ser traslladada als estudiants del Grau de Mestre d’Educació Primària. Per això, a la pregunta

Preguntes del qüestionari sobre equivalència de fraccions Font 6.Les imatges següents representen la mateixa fracció? Sí No

Explica per què sí o per què no. Modificació d’una

activitat de Feikes et al. (2009, p. 116)

16.Què vol dir que dues fraccions són equivalents? Posa’n un exemple. Creació pròpia

17.Com pots explicar amb un dibuix que 4/8 i 6/12 són equivalents? Creació a partir de Feikes et al. (2009, p.

106)

17 se’ls demana que expliquin amb un dibuix que dues fraccions són equivalents. Aquesta pregunta complementa les dues anteriors a l’hora d’identificar els coneixements dels estudiants del grau de mestre sobre l’equivalència de fraccions, ja que es podran analitzar les representacions gràfiques que utilitzen per explicar que les fraccions 4/8 i 6/12 són equivalents.

Comparació i ordenació de fraccions

El contingut de comparació i ordenació de fraccions és un contingut del qual també s’han volgut identificar els coneixements dels estudiants del grau de mestre, ja que és un concepte prou important dins l’àmbit de les fraccions i, en general, de les matemàtiques.

A la taula 4.5 es mostren les preguntes que fan referència al concepte de comparació i ordenació de fraccions i la font de cada pregunta.

Taula 4.5.Preguntes del qüestionari sobre la comparació i ordenació de fraccions i font de cada pregunta.

Preguntes del qüestionari sobre la comparació i ordenació de fraccions Font

12.Digues quina opció és correcta:

13.Sense utilitzar el mcm (mínim comú múltiple), explica com saber quina fracció és més gran: 5/7 o 7/9?

Activitat de Feikes et al. (2009, p. 114)

14.Els estudiants de la classe de la srta. Johnson havien d’explicar per què 4/5 és més gran que 2/3. Quina et sembla que és la millor raó?

Kelly va dir: “ Perquè 4 és més gran que 2”.

Kelly va dir: “ Perquè 4 és més gran que 2”.

Dans le document Els coneixements dels estudiants de mestre sobre les fraccions i el seu ensenyament (Page 116-131)