Anàlisi de dades de la pregunta 18

A la figura 5.40 es mostra la pregunta 18 on es demana fer un dibuix per representar la fracció 12/5.

18.Fes un dibuix per representar 12/5.

Figura 5.40.Pregunta 18 del qüestionari de fraccions.

El nombre de respostes correctes, incorrectes i no contestades d’aquesta pregunta es mostren al gràfic de la figura 5.41. Gairebé la meitat dels estudiants (47,83%) ha realitzat un dibuix correcte per representar la fracció 12/5. La resta d’estudiants estan repartits entre els que han realitzat una representació incorrecte (23,91%) i els que no han contestat (28,26%).

Figura 5.41.Quantitat de respostes correctes, incorrectes i no contestades. En verd la quantitat de respostes correctes i en lila les incorrectes o no contestades.

Els estudiants que han contestat la pregunta han realitzat tres tipus de representacions:

rectangle, cercle o recta numèrica (vegeu figura 5.42). El rectangle és el dibuix que més s’ha repetit entre les representacions dels estudiants (vint estudiants). La següent representació més utilitzada ha estat el cercle (vuit estudiants) seguida de la recta numèrica (sis estudiants).

S’han analitzat també les interpretacions de fracció amb què els estudiants creiem que s’han basat per realitzar la representació (vegeu figura 5.43). La més utilitzada ha estat la comparació part-tot amb vint-i-tres estudiants. La interpretació de fracció com a mesura també s’ha utilitzat tot i que en menor quantitat,(només ho han fet sis estudiants).Tan sols hi ha un estudiant que ha utilitzat la interpretació de fracció com a operador. Hi ha tres

22

estudiants que és difícil de deduir la interpretació que han utilitzat, motiu pel qual s’han ubicat dins el grup “No queda clar”.

Figura 5.42.Quantitat d’estudiants que han utilitzat el rectangle, el cercle i la recta numèrica per representar la fracció .

Figura 5.43.Interpretacions de la fracció en representar la fracció 12/5.

Analitzant amb més detall les representacions, les respostes s’han classificat en sis categories. Primer es descriuran les categories que contenen les respostes correctes i a continuació les categories amb respostes incorrectes.

Anàlisi de les representacions correctes de la fracció 12/5

Les representacions correctes de la fracció 12/5 s’han classificat en dues categories (vegeu taula 5.22) segons el dibuix que els estudiants han realitzat.

20

Taula 5.22.Classificació en categories de les representacions correctes de la fracció 12/5.

Representació Categoria Quantitat d’estudiants

Unitats dividides en cinquens

(Representació 1) 14

Nombre decimal situat a la recta numèrica (Representació 2)

6

Unitats dividides en cinquens (Representació 1)

Aquesta categoria és la més nombrosa de totes i conté les respostes de catorze estudiants.

En els dibuixos d’aquests estudiants es representen unitats i aquestes unitats estan dividides en cinquens. Aquests catorze estudiants han representat 12/5 a partir del dibuix de 3 unitats dividides en cinquens i han marcat 12 cinquens. Els estudiants s’han basat en la interpretació de fracció com a comparació part-tot i han utilitzat regions diferents per representar la fracció 12/5 (vegeu figura 5.44).

Figura 5.44. Exemples de regions que els estudiants d’aquesta categoria han utilitzat per representar la fracció 12/5.

Dotze respostes contenen el dibuix com el de l’exemple 1 de la figura 5.44, una altra conté la representació de l’exemple 2 i dues respostes inclouen la representació de l’exemple 3. Hi ha un estudiant que ha realitzat dues representacions, la de l’exemple 1 i la de l’exemple 3.

Nombre decimal situat a la recta numèrica (Representació 2)

En aquesta categoria s’han considerat les representacions de la fracció 12/5 a la recta numèrica a partir del nombre decimal 2,4. Tots els estudiants d’aquesta categoria han dibuixat una recta numèrica, han marcat els nombres 1, 2 i 3 i han col·locat correctament la fracció 12/5 = 2,4 a la recta numèrica. Cinc dels sis estudiants han situat directament el nombre 2,4 a la recta mentre que un dels estudiants ha dividit en 10 parts el segment entre 2 i 3, ha situat el nombre 2,5 i al costat esquerre ha situat el 2,4 (vegeu figura 5.45).

Ex1: Rectangles dividits en cinquens

Ex2: Rectangles dividits

en cinquens Ex3: Cercles dividits en

cinquens

Figura 5.45.Resposta de l’estudiant que ha dividit en 10 parts el segment entre 2 i 3 per col·locar el 2,4.

Anàlisi de les representacions incorrectes de la fracció 12/5

Les representacions incorrectes de la fracció 12/5 s’han classificat en quatre categories (vegeu taula 5.23) segons el dibuix que els estudiants han realitzat.

Taula 5.23.Categories de les representacions incorrectes de la fracció 12/5.

Representació Categoria Quantitat d’estudiants

Cinc unitats dividies en parts

(Representació 3) 8

Representació de 5/12

(Representació 4) 1

Nombre decimal i regió

(Representació 5) 2

Altres

(Representació 6) 2

Cinc unitats dividies en parts (Representació 3)

Considerant totes les categories de les respostes incorrectes, aquesta categoria és la que té més respostes doncs conté les de vuit estudiants. Aquests estudiants han dibuixat cinc regions (cercles o quadrats) i les han dividit en tres, quatre o cinc parts per després marcar dotze parts (vegeu taula 5.24)

Cinc estudiants han realitzat el dibuix de cinc cercles o quadrats i els han dividit en quarts.

Quan prenen 12 quarts estan dibuixant la representació de la quantitat 3. De fet, en el dibuix es veu com queden tres cercles o tres quadrats completament pintats (vegeu Dibuixos 1 i 2 de la taula 5.24).

Taula 5.24.Representacions de les respostes de la categoria Cinc unitats dividides en parts (Representació 3).

Representacions Explicació de la representació Quantitat d’estudiants

Dibuix 1 5 cercles o 5 quadrats dividits en quarts

i 12 quarts pintats.

4

Dibuix 2

1

Dibuix 3

5 cercles dividits en terços i 12 terços

pintats 1

Dibuix 4

5 rectangles dividits en cinquens i 12

cinquens pintats. 2

Els dos estudiants restants d’aquesta categoria han dibuixat cinc unitats i cada unitat l’han dividida en cinquens; després han marcat 12 cinquens. La representació podria ser correcta però sembla que no tenien molt clar com realitzar el dibuix ja que hi ha dues unitats que no calia dibuixar. Un dels estudiants a més, al costat del dibuix, escriu “No el sé fer” (vegeu Dibuix 4 de la taula 5.24).

El dibuix d’aquests vuit estudiants indica que han dibuixat cinc unitats perquè en el denominador de la fracció 12/5 hi ha un 5. Per tant, han cregut que el denominador indica les unitats en comptes d’indicar les parts en què es divideix una unitat. A més, hi ha sis estudiants que han dividit la unitat en quarts o terços com per “atzar” ja que a la fracció no apareix cap 3 ni cap 4. I el numerador els indica les parts que han d’agafar. Tal com han entès el numerador, coincideix amb com s’interpreta la fracció com a comparació part-tot.

Un altre aspecte a destacar és que aquests sis estudiants han realitzat aquest dibuix i l’han considerat correcte sense adonar-se que en realitat han dibuixat el 3 i el 4 en comptes de la fracció 12/5.

Els dos estudiants que han dibuixat cinc rectangles i han dividit cadascun d’ells en cinc parts, probablement també han interpretat que el denominador marca les unitats que cal dibuixar. En aquest cas però també han dividit la unitat en cinc parts. Cap dels dos ha tingut en compte que no calia dibuixar cinc unitats perquè amb tres unitats ja podien marcar els cinc dotzens.

Representació de 5/12 (Representació 4)

L’únic estudiant d’aquesta categoria ha representat la fracció 5/12 en comptes de la fracció 12/5. Això s’evidencia perquè ha dibuixat un rectangle, l’ha dividit en 12 parts iguals i n’ha pintat 5 (vegeu taula 5.23). Aquest estudiant ha considerat correcte aquest dibuix sense adonar-se que en realitat ha dibuixat una fracció més petita que la unitat mentre que la fracció 12/5 és més gran que la unitat.

Nombre decimal i regió (Representació 5)

Aquesta categoria només conté dues respostes i totes dues equivocades (vegeu taula 5.25)

Taula 5.25.Representacions de les respostes de la categoria 5.

Representacions Explicació de la representació Quantitat d’estudiants

Dibuix 1

“Representa el 2,4” en un rectangle

dividit en cinc parts 1

Dibuix 2

“Representa el 2,4” en un cercle dividit

en cinc parts 1

Els dos estudiants d’aquesta categoria han dibuixat un rectangle i un cercle i l’han dividit en 5 parts. Després han “representat el 2,4” en aquesta regió. Per representar el 2,4 han considerat que cada part és un nombre enter, és a dir, una unitat. Aleshores han marcat dues parts senceres que representaria el 2 i una mica menys de la meitat d’una altra part que representaria el 0,4. Aquesta representació mostra una confusió entre la representació de nombres decimals a la recta numèrica (interpretació de fracció com a mesura) i la representació de fraccions en regions (interpretació de fracció com a comparació part-tot).

S’ha de remarcar que l’estudiant que ha fet el dibuix 1 es podria haver basat en algun altre aspecte, però s’ha suposat que ha fet la mateixa interpretació que l’estudiant que ha fet el Dibuix 2 ja que ha marcat dues parts senceres i de la tercera part una mica menys de la meitat.

Com l’estudiant de la categoria anterior, aquests estudiants no s’han adonat que han dibuixat una fracció més petita que la unitat i que 12/5 és més gran.

Altres (Representació 6)

Com en la categoria Representació 5, aquesta categoria conté dues respostes equivocades.

S’han col·locat en aquesta categoria anomenada Altres perquè és difícil saber amb què s’han basat per fer el dibuix tot i que es poden fer suposicions (vegeu taula 5.26)

Taula 5.26.Representacions de les respostes de la categoria Altres (Representació 6).

Representacions Explicació de la

L’estudiant que ha fet el Dibuix 1 (vegeu taula 5.26) hauria interpretat la fracció 12/5 com a un operador que actua sobre 5. Primer escriu “12/5 de 5 = 1”. Però, pel fet que li dóna 1 podem suposar que només ha dividit el 5 entre 5. També escriu “12 paquets de 1”. El resultat de fer 12/5 de 5 = 12 ho trasllada en el dibuix d’un rectangle dividit en cinc parts i cada part subdividida en 5 parts i 12 subparts marcades. Si hagués representat correctament 12/5 de 5 hauria d’haver dibuixat cinc unitats, agafar una cinquena part d’aquestes cinc unitats, és a dir una, i aquesta una quan es multiplica per 12 es “transforma” en 12 unitats.

En comptes d’aquest procediment, sembla que quan fa 12/5 de 5 comença amb un rectangle dividit en cinc parts, d’aquestes cinc parts n’ha de fer 12/5 i això ho fa dividint cada part en 5 subparts i prenent 12 d’aquestes subparts com marca el numerador. Aquesta representació té un cert paral·lelisme amb les dues representacions de la categoria Representació 3 on parteixen de cinc unitats i les divideixen en cinc parts i en prenen 12.

En aquest cas però l’estudiant no ha dibuixat cinc unitats sinó que ha dibuixat un rectangle en cinc parts.

El Dibuix 2 (vegeu taula 5.26) mostra un rectangle dividit en 14 parts però amb els números de l’1 al 15. L’estudiant pinta els rectangles fins el número 12 però només queden pintats 11 rectangles. Sembla que l’estudiant volia fer grups de cinc rectangles i pintar-ne 12. En aquest sentit la representació seria semblant a la de l’estudiant que ha fet el Dibuix 1. Aquest estudiant realitza l’error de col·locar els nombres incorrectament per comptar els

rectangles a més de no quedar clar quina unitat considera. És difícil saber en què s’ha basat per fer aquest dibuix.

Errors comesos en representar gràficament la fracció 12/5

Poc més d’una quarta part dels estudiants (28,26%) han representat de forma incorrecte la fracció 12/5 . Els errors que s’han detectat són:

 Interpretació errònia del denominador en una fracció més gran que la unitat (Representació 3): vuit estudiants han interpretat el 5 de la fracció 12/5 com a cinc unitats en comptes d’entendre que es refereix a cinquens i que per tant, és la unitat escollida que s’ha de dividir en cinquens.

 Partició de la unitat en un nombre de parts sense un criteri clar (Representació 3): sis estudiants de la categoria Representació 3 que han realitzat l’error anterior han realitzat també aquest error, han dividit la unitat en 3 parts o bé en 4 parts quant aquests dos nombres no sembla que tinguin cap relació amb la fracció 12/5. No sabem com és que han realitzat aquesta partició.

 Representació de la fracció 5/12 en comptes de la fracció 12/5 (Representació 4): Un únic estudiant ha representat una altra fracció de la demanada, canviant l’ordre del numerador i el denominador ha obtingut una fracció més petita que la unitat i que ha sabut dibuixar.

 Error en representar un nombre decimal en un model d’àrea (Representació 5): Dos estudiants han representat el nombre decimal 2,4 en un model d’àrea de forma errònia doncs han interpretat cada part de la unitat com una unitat sencera. Aquesta representació mostra una confusió entre la representació de nombres decimals a la recta numèrica (interpretació de fracció com a mesura) i la representació de fraccions en models d’àrea (interpretació de fracció com a comparació part-tot).

 Comprensió i representació de la fracció com a operador de forma incorrecta (Representació 6): Un estudiant per representar la fracció 12/5 ha partit de la interpretació de la fracció 12/5 com a operador, concretament ha volgut representar 12/5 de 5. En comptes de representar cinc unitats ha representat una unitat dividida en cinc parts, això fa pensar que potser no té prou comprensió del que vol dir 12/5 de 5.

 Errors en les expressions matemàtiques (Representació 6): L’estudiant que ha interpretat la fracció com a operador ha escrit “12/5 de 5 = 1”, després ja ha agafat 12

 Parts de la unitat de diferent àrea (Representacions 1, 3 i 5) Els estudiants que han utilitzat models d’àrea, concretament cercles, no han dibuixat les parts de la mateixa mida quan s’han dividit els cercles en 3 o 5 parts.

 En les representacions de la fracció 12/5 a partir de rectangles dins dels models d’àrea, s’han dividit les unitats en parts que són més iguals entre elles que en les representacions a partir de cercles. I quan els cercles s’han dividit en quarts s’ha fet d’una forma més adequada que quan s’ha dividit en cinquens o terços.

 Tots els estudiants que han dibuixat de forma errònia la fracció 12/5 evidencien una manca de sentit numèric i de la noció de la magnitud. Cinc estudiants han representat la fracció 12/5 com a 3 unitats pintades i un estudiant com a 4 unitats senceres però no han fet cap comentari pel fet que aquest resultat no és possible. Dos estudiants han dibuixat més unitats de les que eren necessàries per representar la fracció 12/5. Els altres cinc estudiants de les categories amb respostes errònies han representat la fracció 12/5 com una part més petita que una unitat. Aquest dibuix no és possible perquè la fracció 12/5 és més gran que la unitat.