Renouvellement de la population

Principe de s´election

Le rˆole de la s´election est d’assurer la prolif´eration des meilleurs individus au d´etriment des plus mauvais. Au cours de cette ´etape, la probabilit´e de survie de chaque individu doit donc correspondre `a son adaptation : une nouvelle population deNpopindividus est construite, contenant en plus grand nombre ceux qui sont les mieux adapt´es. Trois techniques de s´election, d´ecrites dans [Goldberg 89], sont tr`es r´epandues :

– S´election par tournoi : la nouvelle population est obtenue parNpopcombats entre des groupes d’individus choisis au hasard dans la population courante (selon une loi de probabilit´e uni- forme). Lors de chaque combat, l’individu le mieux adapt´e l’emporte avec une probabilit´e

P _∈]1₂; 1], o`u P est un param`etre de la m´ethode permettant le r´eglage de la pression s´elective.

Ce type de s´election a l’avantage d’ˆetre applicable quelles que soient les valeurs de la fonction d’adaptation (elles peuvent ˆetre n´egatives), mais la pratique montre qu’elle induit souvent une pression s´elective trop faible (mˆeme avecP = 1).

– Roulette wheel selection : cette technique reproduit le principe du tirage al´eatoire utilis´e dans les roulettes de casino avec une structure lin´eaire. Chaque individui est associ´e bijectivement

`a un segment inclu dans l’intervalle[0; 1], dont la longueur liest proportionnelle `a l’adaptation de l’individu :

SiP f d´esigne la somme des adaptations de la population,

Si Xf = 0, li = 1

Npop ; sinonli =

fi

P f

La fonction d’adaptation est donc suppos´ee `a valeurs dans R+. La nouvelle population est obtenue parNpoptirages al´eatoires (avec distribution uniforme de probabilit´e) de r´eels entre 0 et 1, chaque r´eel tir´e d´esignant un individu s´electionn´e. Avec cette m´ethode, les individus les mieux ´evalu´es sont statistiquement s´electionn´es plus souvent. Cependant, lorsque la taille de la population est r´eduite, le nombre de tirages est faible et l’esp´erance math´ematique de s´election peut ne pas ˆetre obtenue : il peut en r´esulter un biais de s´election plus ou moins fort suivant la taille de la population.

– Stochastic remainder without replacement : cette technique a pour but de minimiser le biais de s´election pouvant exister avec la technique pr´ec´edente. Un nombre minimal de repr´esentants de chaque individu dans la future population est d´etermin´e par avance en fonction de l’adapta- tion de l’individu, puis la population est compl´et´ee par tirages al´eatoires :

– Le nombre minimal de repr´esentants d’un individu i est donn´e par E(τi), o`u E d´esigne la partie enti`ere et τi l’adaptation de i rapport´e `a la moyenne des adaptations de tous les individus.

8.2. PRINCIPES G ´EN ´ERAUX 103

Gènes modifiés

Génotype parent

Génotype enfant

FIG. 8.2 – Op´erateur de mutation

– La population est compl´et´ee par la m´ethode de Roulette wheel selection, o`u l’´evaluation de chaque individu serait donn´ee par le reste stochastiqueri = τi− E(τi).

Ces trois processus de s´election induisent une pression s´elective particuli`ere et sont tr`es sensibles aux ´ecarts entre les ´evaluations des individus. Lorsque la population n’est pas adapt´ee `a la pression s´elective, le comportement de l’algorithme g´en´etique est biais´e :

– Soit il ne converge pas : les individus se r´epandent dans l’espace de recherche sans jamais pro- gresser (pression s´elective trop faible). La solution consiste g´en´eralement `a affiner les op´erateurs de croisement et de mutation, pour les rendre plus d´eterministes par exemple.

– Soit il converge trop rapidement vers un optimum local de la fonction objectif : un individu est largement mieux ´evalu´e que le reste de la population et induit une pression s´elective trop forte. La population a rapidement tendance `a devenir homog`ene et l’algorithme n’a que tr`es peu de chance d’explorer convenablement l’espace de recherche. Ce cas est le plus fr´equent et de nombreuses techniques comme le scaling et le sharing, d´ecrites plus loin dans ce chapitre, permettent de faire varier artificiellement la pression s´elective pour rem´edier au probl`eme.

Op´erateurs de variation

Le rˆole des op´erateurs de variation est d’enrichir la population avec de nouveaux individus (ap- pel´es les enfants) et de garantir ainsi que tout point de l’espace de recherche a une chance d’ˆetre explor´e, quelque soit la population initiale (propri´et´e d’ergodicit´e).

Deux formes d’op´erateurs sont utilis´ees conjointement. Elles se distinguent par le nombre de parents impliqu´es :

La mutation consiste `a cr´eer un enfant en modifiant localement et al´eatoirement le g´enotype d’un seul individu (figure 8.2). C’est donc l’op´erateur le plus simple et il est suffisant pour ga- rantir la propri´et´e d’ergodicit´e sur le plan th´eorique : il est essentiel pour le fonctionnement de l’algorithme g´en´etique et certaines impl´ementations n’utilisent que cette forme d’op´erateur [Fogel 66b].

Le croisement (figure 8.3) cr´ee plusieurs enfants `a partir de plusieurs parents (g´en´eralement, deux enfants sont cr´e´es `a partir de deux parents). Son rˆole premier est d’ˆetre compl´ementaire `a l’op´erateur de mutation, en ne fournissant par exemple que des nouvelles combinaisons de g`enes d´ej`a existants. Lorsque l’op´erateur de mutation est suffisamment al´eatoire, les croise- ments utilis´es peuvent ˆetre `a l’inverse plus d´eterministes.

De nombreux exemples de mutations et de croisements types peuvent ˆetre trouv´es dans la litt´erature [Bridges 91], en fonction de la nature du codage des donn´ees (binaire, enti`ere, r´eelle ou autre), la seule v´eritable contrainte ´etant qu’ils ne nuisent pas `a l’ergodicit´e de l’algorithme.

104 CHAPITRE 8. R ´ESOLUTION PAR ALGORITHMES G ´EN ´ETIQUES

Génotypes parents

Génotypes enfants

{

{

FIG. 8.3 – Op´erateur de croisement

La principale difficult´e relative `a la d´efinition des op´erateurs est de doser l’amplitude des alt´erations de g´enotype : si elle est trop faible, la population risque de se cloisonner aux premiers optima locaux rencontr´es. Si elle est trop forte, l’algorithme est incapable d’affiner correctement la recherche en fin de convergence. Deux classes particuli`eres d’op´erateurs permettent de r´eduire ce probl`eme :

– Les op´erateurs adaptatifs [Eiben 99, Yang 02] : l’amplitude des modifications est ´evolutive, fonction de diff´erents indicateurs tels que le nombre de g´en´erations effectu´ees, l’adaptation moyenne de la population, ou encore la distance moyenne entre les individus (lorsque l’espace de recherche en poss`ede une).

– Les op´erateurs auto-adaptatifs [Schwefel 81] : l’amplitude maximale des modifications des op´erateurs est cod´ee dans une partie du g´enotype de chaque individu. Cette amplitude ´evolue donc au cours des croisements ou des mutations et subit le processus de s´election.