Evaluation des individus ´

Crit`ere d’optimisation

Comme pr´ec´edemment, un individu de la population ne repr´esente pas forc´ement une solution admissible : le classement et les chemins affect´es peuvent aboutir `a une situation sans solution pour un avion. Le crit`ere doit donc prendre en compte les violations de contraintes, qui ne seront plus repr´esent´ees directement par des conflits entre avions, mais par des cas d’´echec de la r´esolution d’un avion. Dans ce cadre, l’´evaluation n´ecessite :

1. Le classement des avions, en fonction de leurs niveaux de priorit´es(πi)1≤i≤N;

2. Une application de la m´ethode1 contre n sur ce classement et restreinte `a un seul chemin par

avion (ces chemins sont donn´es par les variables(νi)1≤i≤N). Cette application s’effectue par it´erations de l’algorithme de Branch & Bound BB chemin (algorithme III.6). Lorsqu’aucune

solution ne peut ˆetre trouv´ee pour un avion d’indicei, le dernier avion conflictuel rencontr´e lors

de l’exploration des possibilit´es est identifi´e comme responsable de l’´echec : si j d´esigne son

indice, on noteracij = cji= 1.

Le crit`ereF `a minimiser s’exprime alors comme suit :

– Si tous les avions ont pu ˆetre r´esolus, le crit`ere correspond `a la p´enalit´e cumul´ee des avions :

F (ν, π) =D(ν, π) + αL(ν)

– Sinon,

F (ν, π) = KX

i<j

cij

O`u K caract´erise les instanciations non admissibles des variables (K À NHp) et les autres notations sont celles d´efinies au chapitre 5 :

9.4. ALGORITHME G ´EN ´ETIQUE POUR LA R ´ESOLUTION1 CONTRE N 131 – _{D(ν, π) =}PN

i=1d(νi, πi) est l’attente cumul´ee des avions. – _{L(ν) =} PN

i=1li(νi) est le cumul des temps de roulage suppl´ementaires dus aux choix des chemins.

Complexit´e de l’´evaluation

L’´evaluation de chaque individu est obtenue par l’application de la m´ethode1 contre n restreinte

`a un seul chemin par avion. Le graphe des possibilit´es pour chaque avion poss`ede donc O(δvHp3) nœuds (cf. partie 7.2.3). L’op´eration la plus p´enalisante `a chaque nœud explor´e est la d´etection de conflits avec les autres avions d´ej`a r´esolus, soientO(NδvHp) op´erations (cf. partie 4.3.4) :

L’´evaluation d’un individu n´ecessite_O(δv2N2H_p4) op´erations.

La phase d’´evaluation de l’algorithme g´en´etique sera donc beaucoup plus coˆuteuse qu’au chapitre pr´ec´edent.

Fonction d’adaptation

La fonction d’adaptationf est d´efinie `a valeurs dans [0, 1] de mani`ere inversement proportionnelle

au crit`ere, avec un palier fixe `a 1₂ distinguant les individus admissibles des autres : – SiF (ν, π) < K, l’individu repr´esente une solution admissible :

f (ν, π) = 1 2 + K 2K + F (ν, π) ≥ 1 2 – Sinon, f (ν, π) = K K + F (ν, π) < 1 2

9.4.4 Caract`ere partiellement s´eparable du probl`eme

Fonctions d’adaptation partielles

Le crit`ere `a minimiser reste partiellement s´eparable. Les N fonctions d’adaptation partielles (Gi)1≤i≤N correspondent `a la participation des variables(νi, πi) du ieme` avion au crit`ereF :

∀i ∈ {1, ..., N} :

– Si(ν, π) repr´esente une solution admissible (_{∀j 6= i, c}ij = 0) :

Gi(ν, π) = d(νi, πi) + αl(νi) – Sinon, Gi(ν, π) = K 2 X j6=i cij

Les individus non admissibles sont caract´eris´es par l’existence de fonctions d’adaptations par- tiellesGi(ν, π) > K₂. Dans ce cas :

– soit l’avioni n’a pu ˆetre r´esolu,

132 CHAPITRE 9. R ´ESOLUTION PAR DES M ´ETHODES HYBRIDES Op´erateurs de variation adapt´es

Les op´erateurs de variation modifient plus souvent les variables ayant de mauvaises adaptations partielles. Les variables(πi) d´efinissant le classement des avions sont toujours modifi´ees par paires, ce qui revient `a n’effectuer que des transpositions ´el´ementaires sur le classement d’un parent :

La mutation d’un individuA modifie les variables de deux avions i et j ayant de mauvaises adapta-

tions partielles. Le nouvel individuA0est d´efini par l’inversion des niveaux de priorit´e des deux avions et par le choix de deux nouveaux chemins :

– π_i0 = πj etπj0 = πi;

– ν_i0etν_j0 sont choisis al´eatoirement dans leur domaine de d´efinition.

Le croisement de deux individusA et B donne deux individus A0 etB0, o`uA0(respectivementB0) est une copie deA (resp B) dans laquelle les variables d’un avion i ayant une mauvaise adap-

tation partielle prennent les valeurs apport´ees par l’autre parent. Lorsque le niveau de priorit´e h´erit´eπB_i par l’avioni dans A0 est modifi´e (π_iB 6= πA

i ), l’avion ayant le niveau de priorit´eπiB dansA est ´egalement modifi´e : il prend l’ancienne priorit´e de i `a savoir π_iA(il en est de mˆeme r´eciproquement pourB0).

Ces op´erateurs poss`edent les mˆemes caract´eristiques que ceux d´efinis au chapitre pr´ec´edent : – Ils ne d´ependent d’aucun param`etre.

– Leur niveau de d´eterminisme ne d´epend que des diff´erences entre les fonctions d’adaptation partielles d’un individu : plus elles sont grandes, plus l’op´erateur est d´eterministe (car le choix des variables modifi´ees est moins al´eatoire). Lorsque la population s’oriente vers le domaine admissible, les adaptations partielles se ress`erent et les op´erateurs deviennent de plus en plus al´eatoires.

9.4.5 Sharing

Le d´eterminisme important des op´erateurs de variation lors des premi`eres g´en´erations de l’al- gorithme doit ˆetre associ´e `a une technique de sharing pour assurer le maintien de la diversit´e de la population. Comme pr´ec´edemment, le sharing clusteris´e est utilis´e. Il n´ecessite la d´efinition d’une distanced et du barycentre pond´er´e entre deux individus A et B :

– La distance n’est calcul´ee qu’en fonction des diff´erences de classement :

d(A, B) = PN

i=1|πAi − πBi |

N2

Cette d´efinition correspond `a une simplification de la notion de distance (la distance entre deux individus diff´erents peut ˆetre nulle) mais permet de ne consid´erer que le classement des avions, qui est d´eterminant sur la solution apport´ee.

– Le barycentre de deux ´el´ementsA et B pond´er´e par les coefficients αAetαB est un individu

C d´efini `a partir des barycentres entiers (πi) entre les niveaux de priorit´e (πiA) et (πiB) des avions. Les niveaux de priorit´es r´esultants(πC

i ) sont obtenus apr`es r´eajustement des variables

(πi), pour qu’elles repr´esentent une permutation des N avions. La d´efinition des distances ne faisant pas intervenir les chemins, les variables(ν_iC) du nouvel individu form´e n’ont aucune

9.4. ALGORITHME G ´EN ´ETIQUE POUR LA R ´ESOLUTION1 CONTRE N 133 600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Pénalité totale Taux de croisement (%) Résolution le 22/03/2002 à 12:00 (Roissy, 23 avions)

Taux de renouvellement = 60% 70% 80% 90% 5100 5200 5300 5400 5500 5600 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Pénalité totale Taux de croisement (%) Résolution le 22/03/2002 à 13:10 (Roissy, 35 avions)

Taux de renouvellement = 60% 70% 80% 90%

FIG. 9.4 – Influence du taux de croisement de l’AG1 contre n