2 3 4 1 2 3 4 5 6 7
FIG. 5.3 – Clusters d’avions en conflit
5.3.3 Domaine d’admissibilit´e et optimum
Comme dans tout probl`eme de minimisation sous contraintes, les solutions optimales se trouvent souvent sur les fronti`eres du domaine admissible : dans le cas du crit`ere global d´efini au 5.2.3 en fonction des d´elais et des d´etours, une diminution ´el´ementaire du d´elai d’un seul avionai dans une solution optimale repr´esente n´ecessairement une violation de contrainte, alors qu’une seule variable bool´eennetij aura ´et´e modifi´ee.
5.4
D´ecomposition en probl`emes ind´ependants
5.4.1 Principes
La complexit´e ´elev´ee du probl`eme pos´e par chaque situation de trafic incite `a le diviser autant que possible en sous probl`emes ind´ependants. Dans cette partie, une m´ethode simple pour diviser le probl`eme, tr`es utilis´ee pour la r´esolution des conflits en route ([Durand 96a]) est reprise et appliqu´ee au trafic au roulage : l’ensemble des avions est divis´e en groupes d’avions en conflits, appel´es clusters. Chaque cluster peut initialement ˆetre r´esolu s´epar´ement des autres.
5.4.2 Clusters d’avions en conflit
La relation est en conflit avec d´efinie sur l’ensembleA des N avions est trivialement sym´etrique. Une fermeture transitive peut donc ˆetre appliqu´ee dans l’ensembleP des paires d’avions en conflit sur l’horizon de pr´ediction. Le r´esultat est une partition(Ai)1≤i≤mde l’ensemble des avions qui ont au moins un conflit. Les trajectoires initiales de deux avions appartenant `a deux sous-ensembles distincts ne peuvent donc pas ˆetre en conflit :
∀i ∈ {1, ..., m}, ∀a ∈ Ai,
½
∃ a0∈ A
i(a, a0)∈ P
∀b ∈ A/Ai, (a, b) /∈ P
Les ´el´ements (Ai) de cette partition sont les clusters d’avions en conflit. Chaque cluster forme un sous probl`eme a priori ind´ependant des autres : si une solution optimale est trouv´ee pour chacun d’eux, sans que de nouveaux conflits n’apparaissent entre avions de diff´erents clusters, la juxtaposition de ces solutions forme une solution optimale au probl`eme desN avions.
56 CHAPITRE 5. FORMULATION DU PROBL `EME – Dans le premier, trois conflits r´eunissent quatre avions (exemple classique d’avions r´eunis pen-
dant la phase de roulage proprement dite, lors du passage d’une intersection).
– Dans le deuxi`eme, sept avions sont presque tous en conflits deux `a deux `a cause des s´eparations impos´ees sur la piste (le cluster contient 19 conflits).
Ces deux exemples font apparaˆıtre l’´eventuelle limite de la s´eparation du probl`eme en clusters ind´ependants, dans le cas sp´ecifique du trafic au sol : la piste peut en effet ˆetre vue comme une res- source partag´ee par tous les avions et les s´eparations en temps impos´ees pour cette ressource sont suf- fisamment p´enalisantes pour rendre conflictuelles toutes les paires d’avions, au sein d’un mˆeme clus- ter de grande taille : le nombre maximal de composantes connexes calcul´e dans la partie pr´ec´edente (complexit´e du pire cas) risque d’ˆetre fr´equemment atteint.
5.4.3 R´esolution it´erative
La r´esolution du probl`eme global `a N avions se d´efinit en fonction de la r´esolution s´epar´ee de
chaque cluster, de mani`ere it´erative et ´eventuellement parall´elis´ee :
1. Initialement, chaque avion constitue un cluster particulier (d’un seul ´el´ement) et se voit attribu´e sa trajectoire initiale d´efinie dans la partie 4.2.3.
2. `A chaque it´eration :
(a) Les paires d’avions en conflit sont d´etect´ees, `a partir des trajectoires courantes des avions. (b) Les nouveaux clusters sont form´es, en appliquant la fermeture transitive d´efinie par les paires d’avions en conflits sur les clusters pr´ec´edents (chaque conflit entre avions de diff´erents clusters unifie leur cluster).
(c) Chaque cluster de plus d’un avion est r´esolu s´epar´ement (cette op´eration peut ˆetre pa- rall´elis´ee par clusters).
3. La r´esolution s’arrˆete lorsque l’ensemble des clusters n’´evolue plus :
– S’il n’y a plus de conflit, les trajectoires courantes des avions forment la solution trouv´ee. – Sinon, aucune solution ne peut ˆetre trouv´ee pour le probl`eme global.
Cette forme de r´esolution permet de simplifier et d’acc´el´erer significativement la r´esolution de conflits (la plupart des probl`emes impliquant un grand nombre d’avions ne pourraient d’ailleurs pas ˆetre r´esolus sans cette approche). Un point important doit cependant ˆetre soulign´e : le caract`ere optimal de la solution finale peut ˆetre remis en cause si les trajectoires initiales des avions ne sont pas en accord avec le crit`ere global `a optimiser. En effet, les trajectoires des avions sans conflit ne sont jamais remises en cause dans cette m´ethode de r´esolution.
5.5
Conclusion
Le probl`eme global pos´e par chaque situation de trafic s’exprime sous la forme d’un probl`eme de minimisation sous contraintes qui peut ˆetre d´ecompos´e en plusieurs sous-probl`emes initialement ind´ependants, en fonction des clusters d’avions en conflit. Chaque sous-probl`eme reste n´eanmoins for- tement combinatoire, d`es lors que plusieurs chemins et plusieurs attentes sont envisag´es pour chaque avion.
La r´esolution du probl`eme n´ecessite par cons´equent soit sa simplification, pour ˆetre trait´ee par des m´ethodes d´eterministes, soit la mise-en-œuvre de m´ethodes non d´eterministes, plus adapt´ees aux probl`emes de grande taille.
Troisi`eme partie
M´ethodes de r´esolution
Chapitre 6
Affectation de chemins
6.1
Introduction
Dans ce chapitre, le graphe repr´esentant les voies de circulation de l’a´eroport est utilis´e pour af- fecter un ensemble de chemins `a chaque mouvement sur l’a´eroport. Il faut souligner que la recherche de cheminements admissibles est en r´ealit´e indissociable de l’optimisation du trafic au sol, puisqu’elle en d´efinit justement l’espace de recherche : la qualit´e des chemins propos´es aux mouvements influen- cera directement le r´ealisme et la perspicacit´e des solutions trouv´ees. Le principal dilemme pour la recherche de chemins d´ecoule de ces consid´erations et concerne le nombre de chemins `a envisager :
– Ce nombre doit ˆetre suffisamment grand pour que toutes les d´eviations susceptibles d’´eviter la congestion de certaines zones de l’a´eroport soient ´etudi´ees. Ceci sera illustr´e tout au long ce cette partie, o`u l’on pourra constater que certains cheminements, r´eguli`erement impos´es par le contrˆole au sol, repr´esentent en fait un d´etour cons´equent.
– Cependant, plus ce nombre sera grand, plus l’optimisation des situations de trafic sera difficile : chaque chemin de chaque mouvement d´efinit une composante connexe particuli`ere de l’espace de recherche et la taille de ce dernier croˆıt exponentiellement avec le nombre de chemins pro- pos´es.
L’objectif est donc de trouver une m´ethode d’´enum´eration des chemins qui ne soit pas seulement efficace (en terme de temps de calcul), mais qui soit ´egalement suffisamment adapt´ee au cheminement des avions sur un a´eroport. Sur ce sujet, l’absence de base de donn´ees r´epertoriant plus directement les chemins op´erationnellement valides (mˆeme sur des grands a´eroports comme Roissy ou Orly) est une justification suppl´ementaire `a l’´elaboration d’une telle m´ethode (les enregistrements des traces radar des avions pourraient servir `a former une telle base de donn´ees, mais risquerait d’aboutir `a des ´echantillons de chemins trop restrictifs, qui seraient de plus inutilisables pour ´evaluer l’impact de nouvelles proc´edures ou de nouvelles infrastructures).